Đề 002-TN THPT QG

Đề 002-TN THPT QG

Câu 43. Cho số phức z thỏa mãn $\left| z-1-i \right|+\left| z-3-2i \right|=\sqrt{5}$. Giá trị lớn nhất của $\left| z+2i \right|$ bằng

A. 10.                               

B. 5.                                 

C. $\sqrt{10}$.                

D. $2\sqrt{10}$.

Hướng dẫn và lời giải

Đáp án B

Gọi $z=x+yi,\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$.

Khi đó $\left| z-1-i \right|+\left| z-3-2i \right|=\sqrt{5}\Leftrightarrow \left| \left( x-1 \right)+\left( y-1 \right)i \right|+\left| \left( x-3 \right)+\left( y-2 \right)i \right|=\sqrt{5}\,\,\,\left( 1 \right)$.

Trong mặt phẳng Oxy, đặt $A\left( 1;1 \right);B\left( 3;2 \right);M\left( a;b \right)$.

$\Rightarrow $ Số phức z thỏa mãn (1) là tập hợp điểm $M\left( a;b \right)$ trên mặt phẳng hệ tọa độ Oxy thỏa mãn $MA+MB=\sqrt{5}$.

Mặt khác $AB=\sqrt{{{\left( 3-1 \right)}^{2}}+{{\left( 2-1 \right)}^{2}}}=\sqrt{5}$ nên quỹ tích điểm M là đoạn thẳng AB.

Ta có $\left| z+2i \right|=\left| a+\left( b+2 \right)i \right|$. Đặt $N\left( 0;-2 \right)$ thì $\left| z+2i \right|=MN$.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của N trên đường thẳng AB.

Phương trình AB: $x-2y+1=0$.

$\left\{ \begin{array}{l} AN = \sqrt {{1^2} + {3^2}} = \sqrt {10} \\ BN = \sqrt {{3^2} + {{\left( {2 + 2} \right)}^2}} = 5 \end{array} \right.$

Vì M thuộc đoạn thẳng AB nên áp dụng tính chất đường xiên và hình chiếu ta có $AN\le MN\le BN=5$.

Vậy giá trị lớn nhất của $\left| z+2i \right|$ bằng 5 đạt được khi $M\equiv B\left( 3;2 \right)$, tức là $z=3+2i$.

Trở về đề thi