Đề 002-TN THPT QG

Đề 002-TN THPT QG

Câu 48. Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ.

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình $\sqrt{2x}+\sqrt{3-x}=mf\left( x \right)$ có nghiệm trên đoạn $\left[ 0;3 \right]$?

• A. 2.

• B. 3.

• C. 4.

• D. 5.

Hướng dẫn và lời giải

Đáp án B

TXĐ: $D\in \left[ 0,3 \right]$. Ta có $m=\frac{\sqrt{2x}+\sqrt{3-x}}{f\left( x \right)}$.

Vì

$\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {2x} + \sqrt {3 – x} \le \sqrt {x + 3 – x} .\sqrt {2 + 1} = 3\\
f\left( x \right) \ge f\left( 2 \right) = 1
\end{array} \right.$

nên $\frac{\sqrt{2x}+\sqrt{3-x}}{f\left( x \right)}\le 3,\forall x\in \left[ 0;3 \right]$.

Dấu $”=”$ xảy ra khi $x=2$.

Vì

$\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {2x} + \sqrt {3 – x} \ge \sqrt {2x + 3 – x} = \sqrt {3 + x} \ge \sqrt 3 \\
f\left( x \right) \le f\left( 0 \right) = 5
\end{array} \right.$

nên $\frac{\sqrt{2x}+\sqrt{3-x}}{f\left( x \right)}\ge \frac{\sqrt{3}}{5},\forall x\in \left[ 0;3 \right]$.

Dấu $”=”$ xảy ra khi $x=0$.

Vậy $\frac{\sqrt{3}}{5}\le m\le 3\xrightarrow{m\in \mathbb{Z}}m\in \left\{ 1;2;3 \right\}$.

Trở lại đề thi