Đề 002-TN THPT QG

Đề 002-TN THPT QG

Câu 49. Trong không gian Oxyz, cho điểm $E\left( 2;1;3 \right)$, mặt phẳng $\left( P \right):2x+2y-z-3=0$ và mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-5 \right)}^{2}}=36$. Gọi $\Delta $ là đường thẳng đi qua E, nằm trong mặt phẳng $\left( P \right)$ và cắt $\left( S \right)$ tại hai điểm có khoảng cách nhỏ nhất. Phương trình của $\Delta $ là

• $A.\left\{ \begin{array}{l}
  x = 2 + 9t\\
  y = 1 + 9t\\
  z = 3 + 8t
  \end{array} \right.$

• $B.\left\{ \begin{array}{l}
  x = 2 – 5t\\
  y = 1 + 3t\\
  z = 3
  \end{array} \right.$

• $C.\left\{ \begin{array}{l}
  x = 2 + t\\
  y = 1 – t\\
  z = 3
  \end{array} \right.$

• $D.\left\{ \begin{array}{l}
  x = 2 + 4t\\
  y = 1 + 3t\\
  z = 3 – 3t
  \end{array} \right.$

Hướng dẫn và lời giải

Đáp án C

$\left( S \right):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-5 \right)}^{2}}=36$, có tâm $I\left( 3;2;5 \right)$ và $R=6$
Ta có: $\overrightarrow{EI}=\left( 1;1;2 \right)\Rightarrow \overrightarrow{\left| EI \right|}=\sqrt{{{1}^{2}}+{{1}^{2}}+{{2}^{2}}}=\sqrt{6}<6=R$. Do đó điểm E nằm trong mặt cầu $(S)$.

Vì $E\in \left( P \right)$ và $\left\{ \begin{align} & E\in \Delta \\ & \Delta \subset \left( P \right) \\ \end{align} \right.$ nên giao điểm của $\left( \Delta \right)$ và $(S)$ nằm trên đường tròn giao tuyến $(C)$ tâm K của mặt phẳng $(P)$ và mặt cầu $(S)$, trong đó K là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng $(P)$.

Gọi $\Delta \cap \left( S \right)=\left\{ A;B \right\}$. Độ dài AB nhỏ nhất khi và chỉ khi $d\left( K,\Delta \right)$ lớn nhất. Gọi F là hình chiếu của K trên $\left( \Delta \right)$ khi đó $d\left( K;\Delta \right)=KF\le KE$. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $F\equiv E$.

Vì $\left\{ \begin{array}{l}
IK \bot \left( P \right)\\
KE \bot \Delta
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
IK \bot \Delta \\
KE \bot \Delta
\end{array} \right. \Rightarrow IE \bot \Delta $

Mặt khác: $\left[ {{\overrightarrow{n}}_{\left( P \right)}},\overrightarrow{EI} \right]=\left( 5;-5;0 \right)$, cùng phương với $\overrightarrow{u}=\left( 1;-1;0 \right)$.

Vì $\left\{ \begin{align} & \Delta \subset \left( P \right) \\ & \Delta \bot IE \\ \end{align} \right.$ nên $\Delta $ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left( 1;-1;0 \right)$.

Vậy $\Delta :\left\{ \begin{align} & x=2+t \\ & y=1-t \\ & z=3 \\ \end{align} \right.$.

Trở lại đề thi