Phương pháp tính tích phân bằng phép nhân liên hợp

Phương pháp: ${a^2} – {b^2} = \left( {a – b} \right)\left( {a + b} \right)$

Ví dụ 1.

Tính tích phân: $I = \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{\sqrt {x + 1} + \sqrt x }}} $

Giải

Ta có: $I = \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{\sqrt {x + 1} + \sqrt x }}} $

$ = \int\limits_0^1 {\left( {\sqrt {x + 1} – \sqrt x } \right)dx} $

$ = \frac{2}{3}\left[ {{{\left( {x + 1} \right)}^{\frac{3}{2}}} – {x^{\frac{3}{2}}}} \right]\left| \begin{array}{l}
1\\
0
\end{array} \right.$

$ = \frac{2}{3}\left( {2\sqrt 2 – 2} \right)$

Ví dụ 2:

Tính tích phân : $I = \int\limits_0^1 {\frac{{{x^3}dx}}{{x + \sqrt {1 + {x^2}} }}} $

Giải

$I = \int\limits_0^1 {\frac{{{x^3}dx}}{{x + \sqrt {1 + {x^2}} }}} $

$ = \int\limits_0^1 {({x^3}\sqrt {1 + {x^2}} – {x^4})dx} $

$ = \int\limits_0^1 {{x^3}\sqrt {1 + {x^2}} dx – \int\limits_0^1 {{x^4}dx} } = {I_1} + {I_2}$

Đặt: $t = \sqrt {1 + {x^2}} $

$ \Rightarrow dt = \frac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}dx \Rightarrow xdx = tdt$

Đổi cận: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 0 \to t = 1}\\
{x = 1 \to t = \sqrt 2 }
\end{array}} \right.$

Tính: $ \Rightarrow {I_1} = \int\limits_1^{\sqrt 2 } {\left( {{t^2} – 1} \right){t^2}dt = \left( {\frac{{{t^5}}}{5} – \frac{{{t^3}}}{3}} \right)} \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{\sqrt 2 }\\
1
\end{array}} \right. = \frac{{7\sqrt 2 + 2}}{{15}}$

Có: ${I_2} = \frac{{{x^5}}}{5}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1\\
0
\end{array}} \right. = \frac{1}{5}$

$ = > I = {I_1} + {I_2} = \frac{{2\sqrt 2 – 1}}{{15}}$

Bài tập thực hành

Tính các tích phân sau:

a) $I = \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{\sqrt {x + 1} + \sqrt {x + 2} }}} $

b) $I = \int\limits_0^1 {\frac{{xdx}}{{\sqrt {{x^2} + 1} – x}}} $

c) $I = \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^3} + 1} – x}}} $


0 Bình luận

Trả lời

Avatar placeholder
Translate »
error: Content is protected !!