Bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối

Bất phương trình chứa ẩn dưới dấu Trị tuyệt đối

Lý thuyết

1. Định nghĩa:

$\begin{array}{l}
\left| {f(x)} \right| > 0\\
\left| {f(x)} \right| \ge 0\\
\left| {f(x)} \right| < 0\\
\left| {f(x)} \right| \le 0
\end{array}$

2. Dấu nhị thức bậc nhất: f(x)=ax+b

x		-b/a
f(x)	–	0	+

3. Dấu tam thức bậc 2: ${\bf{f}}\left( {\bf{x}} \right) = {\rm{ }}{\bf{a}}{{\bf{x}}^{\bf{2}}} + {\bf{bx}} + {\bf{c}}$

$+ )\Delta < 0:af(x) > 0;\forall x \in R$

$+ )\Delta = 0:af(x) > 0;\forall x \ne - \frac{b}{{2a}}$

+ $\Delta > 0$, Với x₁;x₂ là nghiệm của f(x)=0 .

x		x₁		x₂
f(x)	a.f(x)>0	0	a.f(x)<0	0	a.f(x)>0

4. Dạng cơ bản

$a)\left| {f(x)} \right| > \left| {g(x)} \right|$

$b)\left| {f(x)} \right| > g(x)$

Phương pháp giải

Phương pháp 1: Khử trị tuyệt đối bằng định nghĩa.

Ví dụ 1: Giải bất phương trình sau: $\left| {2 - 5x} \right| \ge x + 1$

Giải:

Trường hợp 1: $2 - 5x \ge 0 \Leftrightarrow x \le \frac{2}{5}$

Bất phương trình có dạng: $2 - 5x \ge x + 1 \Leftrightarrow 6x \le 1 \Leftrightarrow x \le \frac{1}{6}$ .

Kết hợp điều kiện: $x \in \left( { - \infty ;\frac{1}{6}} \right]$ (1)

Trường hợp 2: $2 - 5x < 0 \Leftrightarrow x > \frac{2}{5}$

Bất phương trình có dạng: $5x - 2 \ge x + 1 \Leftrightarrow 4x \ge 3 \Leftrightarrow x \ge \frac{3}{4}$

Kết hợp điều kiện: $x \in \left[ {\frac{3}{4}; + \infty } \right)$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra bất phương trình có nghiệm : $x \in \left( { - \infty ;\frac{1}{6}} \right] \cup \left[ {\frac{3}{4}; + \infty } \right)$ .

Ví dụ 2: Giải bất phương trình sau: ${x^2} - \left| {x - 3} \right| - 5 \ge 0$

Giải

Trường hợp 1: $x - 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 3$

Bất phương trình có dạng: ${x^2} - x - 2 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{ccccccccccccccc} {x \le - 1}\\ {x \ge 2} \end{array}} \right.$ Kết hợp điều kiện: $x \ge 3$ (1).

Trường hợp 2: $x - 3 < 0 \Leftrightarrow x < 3$

Bất phương trình có dạng:

${x^2} + x - 8 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{ccccccccccccccc} {x \le \frac{{ - 1 - \sqrt {33} }}{2}}\\ {x \ge \frac{{ - 1 + \sqrt {33} }}{2}} \end{array}} \right.$

Kết hợp điều kiện:

$x \in \left( { - \infty ;\frac{{ - 1 - \sqrt {33} }}{2}} \right] \cup \left[ {\frac{{ - 1 + \sqrt {33} }}{2};3} \right)$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra bất phương trình có nghiệm: $x \in \left( { - \infty ;\frac{{ - 1 - \sqrt {33} }}{2}} \right] \cup \left[ {\frac{{ - 1 + \sqrt {33} }}{2}; + \infty } \right)$

Phương pháp 2: Khử trị tuyệt đối bằng bảng

Ví dụ 1: Giải bất phương trình sau: $\left| {x - 3} \right| + \left| {x - 1} \right| \ge x + 1$

Giải

Trước tiên ta lưu ý:

X		1		3
x-3	3-x	\|	3-x	0	x-3
x-1	1-x	0	x-1	\|	x-1
VT	4-2x	1	2	3	2x-4

Bước 1: Lập bảng khử trị tuyệt đối vế trái.

X		1		3
$\left\| {x - 3} \right\|$	3-x	2	3-x	0	x-3
$\left\| {x - 1} \right\|$	1-x	0	x-1	2	x-1
VT	4-2x	2	2	2	2x-4

Từ bảng khử trị tuyệt đối ta có các trường hợp sau:

Với $x \in \left( { - \infty ;1} \right)$ :

Bất phương trình $\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{ccccccccccccccc} {x < 1}\\ {4 - 2x \ge x + 1} \end{array}} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{ccccccccccccccc} {x < 1}\\ {3x \le 3} \end{array}} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{ccccccccccccccc} {x < 1}\\ {x \le 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow x < 1$ (1)

Với $1 \le x < 3$ :

Bất phương trình $\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{ccccccccccccccc} {1 \le x < 3}\\ {2 \ge x + 1} \end{array}} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{ccccccccccccccc} {1 \le x < 3}\\ {x \le 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow x = 1$ (2)

Với $x \ge 3$ :

Bất phương trình $\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{ccccccccccccccc} {x \ge 3}\\ {2x - 4 \ge x + 1} \end{array}} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{ccccccccccccccc} {x \ge 3}\\ {x \ge 5} \end{array}} \right. \Leftrightarrow x \ge 5$ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra bất phương trình có nghiệm: $x \in \left( { - \infty ;1} \right] \cup \left[ {5; + \infty } \right)$ .

Ví dụ 2: Giải bất phương trình: $\left| {3x - \left| {x - 1} \right|} \right| \ge x + 2$

Giải

Bước 1: Lập bảng phá trị tuyệt đối vế trái

x	1/4			1
$\left\| {x - 1} \right\|$	1-x				x-1
$\left\| {3x - \left\| {x - 1} \right\|} \right\|$	$\left\| {4x – 1} \right\|$				$\left\| {2x + 1} \right\|$
VT	1-4x	0	4x-1	3	2x+1

Bước 2: Dựa vào bảng trên ta có các trường hợp sau:

* Trường hợp 1: Với $x < \frac{1}{4}$

Bất phương trình $\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{ccccccccccccccc} {x < \frac{1}{4}}\\ {1 - 4x \ge x + 2} \end{array}} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{ccccccccccccccc} {x < \frac{1}{4}}\\ {5x \le - 1} \end{array}} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{ccccccccccccccc} {x < \frac{1}{4}}\\ {x \le - \frac{1}{5}} \end{array}} \right. \Leftrightarrow x \le - \frac{1}{5}$ (1)

* Trường hợp 1: Với $\frac{1}{4} \le x < 1$

Bất phương trình $\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{ccccccccccccccc} {\frac{1}{4} \le x < 1}\\ {4x - 1 \ge x + 2} \end{array}} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{ccccccccccccccc} {\frac{1}{4} \le x < 1}\\ {3x \ge 3} \end{array}} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{ccccccccccccccc} {\frac{1}{4} \le x < 1}\\ {x \ge 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow x = \phi$ (2)

* Trường hợp 1: Với $x \ge 1$

Bất phương trình $\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{ccccccccccccccc} {x \ge 1}\\ {2x + 1 \ge x + 2} \end{array}} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{ccccccccccccccc} {x \ge 1}\\ {x \ge 1} \end{array} \Leftrightarrow } \right.x \ge 1$ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra bất phương trình có nghiệm: $x \in \left( { - \infty ; - \frac{1}{5}} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)$ .

Phương pháp 3: Sử dụng phép biến đổi tương đương

Ví dụ 1: Giải bất phương trình sau: $\left| {2x - 1} \right| > \left| {x - 2} \right|$

Giải

Bpt $\Leftrightarrow {\left( {2x - 1} \right)^2} > {\left( {x - 2} \right)^2}$ $\Leftrightarrow 3{x^2} - 3 > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{ccccccccccccccc} {x < - 1}\\ {x > 1} \end{array}} \right.$ .

Ví dụ 2: Giải bất phương trình sau: $\left| {2 - 5x} \right| \ge x + 1$

Giải

*Trường hợp 1: x<1. BPT luôn đúng.

* Trường hợp 2:

$Bpt \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x + 1 \ge 0}\\
{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{2 – 5x \ge x + 1}\\
{2 – 5x \le – x – 1}
\end{array}} \right.}
\end{array}} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x \ge – 1}\\
{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x \le \frac{1}{6}}\\
{x \ge \frac{3}{4}}
\end{array}} \right.}
\end{array}} \right.$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{ – 1 \le x \le \frac{1}{6}}\\
{x \ge \frac{3}{4}}
\end{array}} \right.$

Vậy bất phương trình có nghiệm: $\left( { – \infty ;\frac{1}{6}} \right] \cup \left[ {\frac{3}{4}; + \infty } \right)$

Tổng quát:

$\left| {f(x)} \right| \ge g(x) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{g(x) < 0}\\
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{g(x) \ge 0}\\
{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{f(x) \ge g(x)}\\
{f(x) \le – g(x)}
\end{array}} \right.}
\end{array}} \right.}
\end{array}} \right.$

Ví dụ 3: Giải bất phương trình sau: $\left| {3x + 1} \right| \le x - 1$

Giải

$bpt \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x – 1 \ge 0}\\
\begin{array}{l}
– x + 1 \le 3x + 1\\
3x + 1 \le x – 1
\end{array}
\end{array}} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x \ge 1}\\
{x \ge 0}\\
{x \le – \frac{1}{2}}
\end{array}} \right.$

$ \Leftrightarrow x = \phi $

Tổng quát:

$\left| {f(x)} \right| \le g(x) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{g(x) \ge 0}\\
{ – g(x) \le f(x) \le g(x)}
\end{array}} \right.$

Bài luyện tập

Giải các bất phương trình sau:

$a)\left| {4x - 1} \right| \le \left| {2x + 3} \right|$ $b)\left| {3x + 5} \right| \ge 2x - 1$

$c)\left| {5 - 3x} \right| \le x + 3$ $d){x^2} - 2\left| {x - 1} \right| + 1 \le 0$

$e)\left| {x + 3} \right| + \left| {x - 1} \right| \le 2x - 1$ $f)\left| {x - \left| {x - 1} \right|} \right| + \left| {2x - \left| {x - 3} \right|} \right| \ge x + 1$

———————————-

User

Bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối

Đăng bởi ADMIN vào 24/11/201924/11/2019

Bất phương trình chứa ẩn dưới dấu Trị tuyệt đối

Lý thuyết

1. Định nghĩa:

$\begin{array}{l}
\left| {f(x)} \right| > 0\\
\left| {f(x)} \right| \ge 0\\
\left| {f(x)} \right| < 0\\
\left| {f(x)} \right| \le 0
\end{array}$

2. Dấu nhị thức bậc nhất: f(x)=ax+b

3. Dấu tam thức bậc 2: ${\bf{f}}\left( {\bf{x}} \right) = {\rm{ }}{\bf{a}}{{\bf{x}}^{\bf{2}}} + {\bf{bx}} + {\bf{c}}$

$+ )\Delta < 0:af(x) > 0;\forall x \in R$

$+ )\Delta = 0:af(x) > 0;\forall x \ne - \frac{b}{{2a}}$

4. Dạng cơ bản

$a)\left| {f(x)} \right| > \left| {g(x)} \right|$

$b)\left| {f(x)} \right| > g(x)$

Phương pháp giải

Đề xuất cho bạn

0 Bình luận

Trả lời Hủy

Bài viết mới Chủ đề 2. Bất phương trình 1 ẩn

Phương pháp khoảng (trục số) xét dấu biểu thức đại số một ẩn

Bài viết mới Chủ đề 2. Bất phương trình 1 ẩn

GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP KHOẢNG

Chủ đề 2. Bất phương trình 1 ẩn

Phương pháp giải bất phương trình có ẩn dưới dấu căn bậc hai-Dạng cơ bản

Bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối

Đăng bởi ADMIN vào 24/11/201924/11/2019

Bất phương trình chứa ẩn dưới dấu Trị tuyệt đối

Lý thuyết

1. Định nghĩa:

$\begin{array}{l} \left| {f(x)} \right| > 0\\ \left| {f(x)} \right| \ge 0\\ \left| {f(x)} \right| < 0\\ \left| {f(x)} \right| \le 0 \end{array}$

2. Dấu nhị thức bậc nhất: f(x)=ax+b

<img decoding="async" alt=" + )\Delta &lt; 0:af(x) &gt; 0;\forall x \in R" src="http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&amp;chs=1x0&amp;chf=bg,s,FFFFFF00&amp;chco=000000&amp;chl=%20%2B%20%29%5CDelta%20%20%3C%200%3Aaf%28x%29%20%3E%200%3B%5Cforall%20x%20%5Cin%20R" data-eio="l" />

4. Dạng cơ bản

<img decoding="async" alt="a)\left| {f(x)} \right| &gt; \left| {g(x)} \right|" src="http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&amp;chs=1x0&amp;chf=bg,s,FFFFFF00&amp;chco=000000&amp;chl=a%29%5Cleft%7C%20%7Bf%28x%29%7D%20%5Cright%7C%20%3E%20%5Cleft%7C%20%7Bg%28x%29%7D%20%5Cright%7C" data-eio="l" />

<img decoding="async" alt="b)\left| {f(x)} \right| &gt; g(x)" src="http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&amp;chs=1x0&amp;chf=bg,s,FFFFFF00&amp;chco=000000&amp;chl=b%29%5Cleft%7C%20%7Bf%28x%29%7D%20%5Cright%7C%20%3E%20g%28x%29" data-eio="l" />

Phương pháp giải

Đề xuất cho bạn

0 Bình luận

Trả lời Hủy

Bài viết liên quan

Bài viết mới Chủ đề 2. Bất phương trình 1 ẩn

Phương pháp khoảng (trục số) xét dấu biểu thức đại số một ẩn

Bài viết mới Chủ đề 2. Bất phương trình 1 ẩn

GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP KHOẢNG

Chủ đề 2. Bất phương trình 1 ẩn

Phương pháp giải bất phương trình có ẩn dưới dấu căn bậc hai-Dạng cơ bản

$\begin{array}{l}
\left| {f(x)} \right| > 0\\
\left| {f(x)} \right| \ge 0\\
\left| {f(x)} \right| < 0\\
\left| {f(x)} \right| \le 0
\end{array}$

$+ )\Delta < 0:af(x) > 0;\forall x \in R$

$a)\left| {f(x)} \right| > \left| {g(x)} \right|$

$b)\left| {f(x)} \right| > g(x)$