BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ MỘT ẨN

TĂNG HỒNG DƯƠNG

BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ MỘT ẨN

I. Khái niệm bất phương trình một ẩn

1. Định nghĩa: Cho hai hàm số f(x), g(x) có các tập xác định D_f,D_g. Đặt $D = {D_f} \cap {D_g}$.

Mệnh đề chứa biến dạng:

f(x)>g(x) (1).

gọi là bất phương trình một ẩn. D gọi là Tập xác định của Bất phương trình (1).

Ví dụ: 2x+3>3x+6; 2x²+3x < 2x+5; 3x³+6x>5x+3

2. Tập hợp nghiệm: Tập hợp nghiệm của bất phương trình f(x) > g(x) là tập hợp tất cả các giá trị ${x_0} \in D$ thỏa mãn: $f\left( {{x_0}} \right) > g\left( {{x_0}} \right)$

3. Điều kiện của bất phương trình

Là điều kiện của ẩn x sao cho f(x) và g(x) có nghĩa. (Hay các phép toán chỉ ra trong f(x) và g(x) thực hiện được)

Ví dụ: Điều kiện của bất phương trình: $\sqrt {1 – x} + \sqrt {1 + x} > 2x + 1$ là: $x \in \left[ { – 1;1} \right]$

4. Bất phương trình chứa tham số

Là bất phương trình chứa các chữ cái khác ngoài ẩn.

Ví dụ: mx+2>5 (tham số m)

5. Hệ bất phương trình một ẩn

Là hệ gồm từ hai hay nhiều bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Để giải một hệ bất phương trình ta giải từng bất phương trình rồi lấy giao các tập nghiệm đó.

II. Bất phương trình tương đương

1. Định nghĩa: Hai bất phương trình được gọi là tương đương nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm.

2. Định lý

2.1 Định lý 1 (phép cộng, trừ)

Cho f(x) > g(x) xácđịnh trên D.

Nếu h(x) xác định trên D thì: f(x) > g(x) <=> f(x) + h(x) > g(x) + h(x)

* Hệ quả: Nếu chuyển một biểu thức từ vế này sang vế kia của phương trình và đổi dấu thì ta được một bất phương trình mới tương đương với phương trình đã cho.

2.2 Định lý 2 (phép nhân, chia):

Cho $f\left( x \right){\rm{ }} > {\rm{ }}g\left( x \right)$ xác định trên D

+ Nếu h(x) xác định trên D và h(x)>0 với mọi $x \in D$ thì bất phương trình:

f(x) > g(x)<=> f(x).h(x) > g(x).h(x)

+ Nếu h(x) xác định trên D và h(x)<0 với mọi thì bất phương trình:

f(x) > g(x) <=> f(x).h(x) < g(x).h(x)

2.3. Định lí 3 (bình phương)

Nếu f(x) > 0, g(x)>0 thì:

$f\left( x \right) > g\left( x \right) < = > {f^2}\left( x \right) > {g^2}\left( x \right)$

* Chú ý: Khi giải bất phương trình cần lưu ý các vấn đề sau

+ Đặt điều kiện (nếu có) trước khi biến đổi bất phương trình.

+ Khi nhân (chia) hai vế bất phương trình với một biểu thức thì chú ý xem biểu thức đó âm hay dương, hoặc biểu thức đó mang cả hai giá trị âm và dương.

+ Khi qui đồng mẫu số của bất phương trình: nếu biết chắc chắn mẫu dương thì không đổi dấu.

+ Nếu f(x)<0, g(x)<0 thì f(x) -f(x) > -g(x). Khi đó ta có thể bình phương 2 vế.

* Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau:

a) $2x + 3{\rm{ }} > {\rm{ }}x + 7{\rm{ }} < = > {\rm{ }}x{\rm{ }} > {\rm{ }}4$ => tập nghiệm là: $T = \left( {4; + \infty } \right)$

b) $2x – 10{\rm{ }} > {\rm{ }}3x – 2 < = > x < 8$ => tập nghiệm là:$T = \left( { – \infty ; – 8} \right)$

III. Dấu của nhị thức bậc nhất

1. Định nghĩa:

Nhị thức bậc nhất là biểu thức được biến đổi về dạng: $f\left( x \right) = ax + b;\left( {a \ne 0} \right).$

2. Định lý :

Bên trái nghiệm số trái dấu với a, bên phải nghiệm số cùng dấu với a.

x		-b/a
f(x)=ax+b	a.f(x)<0	0	a.f(x)>0

* Ví dụ : xét dấu f(x) = 2x+3

Giải

Đặt: $f\left( x \right) = 0 < = > 2x + 3 = 0 < = > x = – \frac{3}{2}$

x		-3/2
2x+3	–	0	+

IV. Dấu Tam thức bậc hai

1. Định nghĩa: Tam thức bậc hai là biểu thức có dạng: $f(x) = a.{x^2} + bx + c;\left( {a \ne 0} \right)$.

2. Định lý: (về dấu tam thức bậc hai)

Cho tam thức bậc hai: $f(x) = a.{x^2} + bx + c;\left( {a \ne 0} \right)$.

Đặt : $\Delta = {b^2} – 4ac$

+ Nếu $\Delta < 0$ thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi $x \ne – \frac{b}{{2a}}$.

+ Nếu $\Delta = 0$ thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi .

+ Nếu $\Delta > 0$ thì f(x) có hai nghiệm phân biệt x₁,x₂ ( giả sử x₁< x₂) :

x		x₁		x₂
f(x)	a.f(x)>0	0	a.f(x)<0	0	a.f(x)>0

V. Phương pháp giải bất phương trình đại số 1 ấn

Phương pháp 1: Lập bảng

Ví dụ 1: Lập bảng xét dấu f(x)

b) $f\left( x \right){\rm{ }} = {\rm{ }}{x^2} - 4x - 5$

Giải

a) $f(x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}$

Dấu f(x)

x		-3/2
2x-3	–	0	+

Từ bảng dấu suy ra:

${f(x) > 0;\forall x \in \left( {\frac{3}{2}; + \infty } \right)}$
${f(x) < 0;\forall x \in \left( { - \infty ;\frac{3}{2}} \right)}$

b) Cho f(x)= 0<=> ${x_1} = - 1{\rm{ }};{x_2}{\rm{ }} = {\rm{ }}5$

Dấu f(x)

x		-1		5
f(x)	+	0	–	0	+

Từ bảng dáu suy ra:

f(x) > 0; $\forall x \in ( - \infty ; - 1) \cup (5; + \infty )$
f(x) < 0; $\forall x \in ( - 1;5)$

Ví dụ 2: Giải các bất phương trình sau

a) $\left( {x - 2} \right)\left( {5 - x} \right) \le 0$

b) $\frac{{(x - 2)(3 - x)}}{{x - 1}} \le 0$

Giải

*)Nghiệm vế trái: x=2;x=5

*)Dấu vế trái:

x		2		5
x-2	–	0	+	\|	+
5-x	+	\|	+	0	–
VT	–	3	+	3	–

Bất phương trình có nghiệm: $2 \le x \le 5$ .

b) *)Nghiệm tử: x=2;x=3

*) nghiệm mẫu:x=1

*)Dấu vế trái

x		1		2		3
(x-2)(3-x)	–	¦	–	0	+	0	–
x-1	–	0	+	\|	+	\|	+
VT	+	\|\|	–	0	+	0	+

Vậy bất phương trình có nghiệm: $x \in \left( {1;2} \right] \cup \left[ {3; + \infty } \right)$ .

Ví dụ 3: Giải bất phương trình: $\frac{{3x - 4}}{{x - 2}} > 1$

Giải:

Ta biến đổi tương đương bất phương trình đã cho

\Leftrightarrow \frac{{3x - 4}}{{x - 2}} - 1 > 0 \Leftrightarrow \frac{{2x - 2}}{{x - 2}} > 0

Nghiệm tử: 2x-2 = 0 => x=1
Nghiệm mẫu: x-2 = 0 => x = 2
Xét dấu biểu thức: $f(x) = \frac{{2x - 2}}{{x - 2}}$

x		1		2
2x-2	–	0	+	\|	+
x-2	–	\|	–	0	+
f(x)	–	0	–	\|\|	+

vậy S= $x \in ( - \infty ;1) \cup (2; + \infty )$

Ví dụ 4: Gải bất phương trình: $\frac{{ - 4}}{{3x + 1}} < \frac{3}{{2 - x}}$

Giải

Ta biến đổi tương đương bất phương trình đã cho

\frac{{ - 4}}{{3x + 1}} < \frac{3}{{2 - x}}

\Leftrightarrow \frac{{ - 4}}{{3x + 1}} - \frac{3}{{2 - x}} < 0

Nghiệm tử: -5x-11 = 0 => $x = \frac{{ - 11}}{5}$
Nghiệm mẫu: $x = - \frac{1}{3};x = 2$
Xét dấu biểu thức: $f(x) = \frac{{ - 5x - 11}}{{(3x + 1)(2 - x)}}$

S = ( - \infty ; - \frac{{11}}{{15}}) \cup ( - \frac{1}{3};2)

Bài tập tự luyện

Bài 1: Giải các bất phương trình sau

a)\frac{2}{{x - 1}} \le \frac{5}{{2x - 1}}

{\rm{b) }}\frac{1}{{x + 1}} < \frac{1}{{{{(x - 1)}^2}}}

c)\frac{1}{x} + \frac{2}{{x + 4}} < \frac{3}{{x + 3}}

{\rm{d)}}\frac{{{x^2} - 3x + 1}}{{{x^2} - 1}} < 1

Đáp số:

a){\rm{ }}S = \left( {1/2;1} \right) \cup [3; + \infty )

b){\rm{ }}S = {\rm{ }}( - 1; - 1) \cup \left( {0;1} \right) \cup \left( {1;3} \right)

c){\rm{ }}S = {\rm{ }}( - 12; - 4) \cup ( - 3;0)

d){\rm{ }}S = {\rm{ }}( - 1; - 5) \cup ( - 1;1) \cup (1; + \infty )

Bài 2: Giải các bất phương trình sau

a) $\frac{3}{{2 - x}} < 1$

b) $\frac{{{x^2} + x - 3}}{{{x^2} - 4}} \ge 1$

c) $\frac{1}{{x - 1}} + \frac{1}{{x + 2}} > \frac{1}{{x - 2}}$

Đáp số:

a){\rm{ }}S = {\rm{ }}( - 1; - 1) \cup (2; + \infty )

b){\rm{ }}S = {\rm{ }}( - 2; - 1] \cup (2; + \infty )

c){\rm{ }}S = {\rm{ }}( - 2;0) \cup \left( {1;2} \right) \cup (4; + \infty )

Phương pháp 2: Phương pháp trục số

Trước hết xin bật mí rằng, so sánh phương pháp này với phương pháp lập bảng nhanh hơn rất nhiều và nếu số lượng các nhân tử càng lớn thì tốc độ càng nhanh gấp nhiều lần. Xin giới thiệu các bạn phương pháp.

Trước tiên nếu: ${(x - a)^n};n \in {N^*}$
thì ta gọi x=a là nghiệm bội n.
Dấu của $\frac{a}{b}$ trùng dấu a.b.
Cho $h(x) = \frac{{a.f(x)}}{{g(x)}}$
Trong đó

$f(x) = (x - {\alpha _1})(x - {\alpha _2}).....(x - {\alpha _n})$ ;

$g(x) = (x - {\beta _1})(x - {\beta _2}).....(x - {\beta _m})$

có các nghiệm

${x_1} < {x_2} < ... < {x_i};i \le m + n$
. Khi đó: dấu của h(x) được xác định như sau:

+) h(x) cùng dấu a trên khoảng $\left( {{x_i}; + \infty } \right)$ .

+) Các khoảng còn lại:

-/ Nếu với nghiệm bội lẻ của tử hoặc mẫu thì hai khoảng kề nghiệm đó trái dấu nhau .

-/ Nếu tử hoặc mẫu có nghiệm bội chẵn thì hai khoảng kề với nghiệm đó không đổi dấu.

-/ Nếu tử và mẫu có nghiệm chung bội lẻ thì hai khoảng kề với nghiệm đó của không đổi dấu.

Chứng minh: Mời các bạn xem thêm trong chuyên đề Bất phương trình tích thương giải bằng phương pháp khoảng.

Ví dụ 1: Giải bất phương trình sau: $(x - 1)(x - 2)(3 - x)(x - 4) \ge 0$

Giải:

Bước 1: Nghiệm vế trái: x=1;x=2;x=3;x=4.

Bước 2: Xét dấu vế trái

x		1		2		3		4
VT	–	0	+	0	–	0	+	0	–

Bất phương trình có nghiệm: $x \in \left[ {1;2} \right] \cup \left[ {3;4} \right]$

Bình luận: các nghiệm vế trái đều bội lẻ ( bằng 1).

Ví dụ 2: Giải bất phương trình sau: $(x - 1){(x - 2)^3}{(3 - x)^2}(4 - x) \ge 0$

Giải:

Bước 1: Nghiệm vế trái: x=1;x=2;x=3;x=4.

Bước 2: Xét dấu vế trái

x		1		2		3		4
VT	+	0	–	0	+	0	+	0	–

Bất phương trình có nghiệm: $x \in \left( { - \infty ;1} \right] \cup \left[ {2;4} \right]$

Bình luận: Hệ số a= -1<0, các nghiệm x=1;x=2;x=4 đều bội lẻ, Riêng x=3 bội chẵn.

Ví dụ 3: Giải bất phương trình sau: $\frac{{(x - 1)(x - 2)}}{{(3 - x)(x - 4)}} \ge 0$

Giải:

Bước 1:

Nghiệm tử: x=1;x=2

Nghiệm mẫu: x=3;x=4.

Bước 2: Xét dấu vế trái

x		1		2		3		4
VT	–	0	+	0	–	\|\|	+	\|\|	–

Bất phương trình có nghiệm: $x \in \left[ {1;2} \right] \cup \left( {3;4} \right)$

Bình luận: Các nghiệm của tử và mẫu đều bội lẻ ( bằng 1).

Ví dụ 4: Giải bất phương trình sau: $\frac{{(x - 1){{(x - 2)}^2}}}{{(3 - x)(x - 4)}} < 0$

Giải:

Bước 1:

Nghiệm tử: x=1;x=2
Nghiệm mẫu: x=3;x=4.

Bước 2: Xét dấu vế trái

x		1		2		3		4
VT	+	0	–	0	–	\|\|	+	\|\|	–

Bất phương trình có nghiệm: $x \in \left( {1;2} \right) \cup \left( {2;3} \right) \cup \left( {4; + \infty } \right)$

Bình luận: a=-1<0, Nghiệm tử x=2 là nghiệm bội chẵn, các nghiệm còn lại đều bội lẻ.

Ví dụ 5: Giải bất phương trình sau: $\frac{{(x + 1)(x - 3)}}{{(3 - x)(x - 4)}} > 0$

Giải:

Bước 1:

Nghiệm tử: x = -1; x = 3
Nghiệm mẫu: x = 3; x = 4

Bước 2: Xét dấu vế trái

x		-1		3		4
VT	–	0	+	\|\|	+	\|\|	–

Bất phương trình có nghiệm: $x \in \left( { – 1;3} \right) \cup \left( {3;4} \right)$

Bình luận: a=1<0, tử và mẫu đều có nghiệm bội lẻ x=3, các nghiệm còn lại đều bội lẻ.

Tóm lại: Về quy trình, ta có các bước sau

Bước 1: Tìm nghiệm của tử và mẫu (nếu có).

Bước 2: Xét dấu vế trái.

Sắp xếp các nghiệm theo thứ tự tăng dần trên trục số.
Xác định giá trị của f(x) tại các nghiệm x_i; i=1,..n (bằng 0 hoặc không xác định || ).
Xác định hệ số a ( a= tích của hệ số của ẩn có bậc cao nhất của tử và mẫu).
Xét dấu trên khoảng nghiệm lớn nhất đến +∞.
Xác định dấu của các khoảng còn lại: