BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

Các phương pháp giải bất phương trình logarit

A. Dạng cơ bản

Dạng 1.1. Dạng ${{\log }_{a}}x\ge b.$

Trường hợp 1: $0<a<1$:

$+{{\log }_{a}}x>b\Leftrightarrow 0<x<{{a}^{b}}$

$+{{\log }_{a}}x<b\Leftrightarrow x>{{a}^{b}}$

Trường hợp 2: $a>1$

$+{{\log }_{a}}x>b\Leftrightarrow x>{{a}^{b}}.$

$+{{\log }_{a}}x<b\Leftrightarrow 0<x<{{a}^{b}}.$

Ví dụ 1.

Giải bất phương trình: ${{\log }_{2}}x>2.$

Lời giải

Do 2>1 , nên BPT đã cho $\Leftrightarrow x>{{2}^{2}}\Leftrightarrow x>4$.

Ví dụ 2.

Giải bất phương trình: ${{\log }_{\frac{2}{3}}}\left( x+1 \right)>2.$

Lời giải

Do $0<\frac{2}{3}<1$ , nên BPT đã cho $\Leftrightarrow 0<x+1<{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{2}}\Leftrightarrow -1<x<-\frac{5}{9}.$

Dạng 1.2. Dạng ${{\log }_{a}}u(x)\ge {{\log }_{a}}v(x)$

Trường hợp 1: $0<a<1$:

$+{{\log }_{a}}u(x)\ge {{\log }_{a}}v(x)\Leftrightarrow 0<u(x)\le v(x)$

$+{{\log }_{a}}u(x)\le {{\log }_{a}}v(x)\Leftrightarrow u(x)\ge v(x)>0$

Trường hợp 2: $a>1$

$+{{\log }_{a}}u(x)\ge {{\log }_{a}}v(x)\Leftrightarrow u(x)\ge v(x)>0$

$+{{\log }_{a}}u(x)\le {{\log }_{a}}v(x)\Leftrightarrow 0<u(x)\le v(x)$

Ví dụ 1.

Giải bất phương trình: ${{\log }_{2}}x>{{\log }_{2}}\left( 1-x \right).$

Lời giải

Do 2>1 , nên BPT đã cho $\Leftrightarrow x>1-x>0$

$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x > 1 – x}\\ {1 – x > 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x > \frac{1}{2}}\\ {x < 1} \end{array}} \right.$

Tập nghiệm của bpt là: $D=\left( \frac{1}{2};1 \right)$

Ví dụ 2.

Giải bất phương trình: ${{\log }_{\frac{2}{3}}}\left( x+1 \right)>{{\log }_{\frac{2}{3}}}(3\text{x}-1).$

Lời giải

Do $0<\frac{2}{3}<1$ , nên BPT đã cho $\Leftrightarrow 0<x+1<3\text{x}-1$

$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0 < x + 1}\\ {x + 1 < 3{\rm{x}} - 1} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x > – 1}\\ {2{\rm{x}} > 2} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow x > 1$

B. Phương pháp khoảng

Ví dụ 1:

Giải bất phương trình: ${{\log }_{2}}\left( x-1 \right){{\log }_{3}}\left( x-2 \right){{\log }_{5}}\left( x-3 \right)\ge 0.$

Lời giải

Điều kiện:$x>1.$

$VT = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\log }_2}\left( {x – 1} \right) = 0}\\ {{{\log }_3}\left( {x – 2} \right) = 0}\\ {{{\log }_5}\left( {x – 3} \right) = 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x – 1 = 1}\\ {x – 2 = 1}\\ {x – 3 = 1} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 2}\\ {x = 3}\\ {x = 4} \end{array}} \right.$

Bảng dấu vế trái:

$x$	1		2		3		4		$+\infty $
$VT$	|	–	0	+	0	–	0	+

Vậy bất phương trình có nghiệm: $D=\left[ 2;3 \right]\cup \left[ 4;+\infty  \right)$.

Ví dụ 2:

Giải bất phương trình: $\left( {{\log }_{2}}x-1 \right)\left( {{\log }_{3}}x-2 \right)\left( {{\log }_{5}}x-3 \right)\le 0.$

Lời giải

Điều kiện:$x>0.$

Xét:

$VT = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\log }_2}x = 1}\\ {{{\log }_3}x = 2}\\ {{{\log }_5}x = 3} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 2}\\ {x = 9}\\ {x = 125} \end{array}} \right.$

Bảng dấu vế trái:

$x$	0		2		9		125		$+\infty $
$VT$	|	–	0	+	0	–	0	+

Vậy bất phương trình có nghiệm: $D=\left( 0;2 \right]\cup \left[ 9;125 \right]$.

Lưu ý: nếu $f(x)=0$có nghiệm ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$ và $c\in \left( {{x}_{1}};{{x}_{2}} \right)$thì dấu của $f(x)$trên $\left( {{x}_{1}};{{x}_{2}} \right)$trùng dấu $f\left( c \right)$.

C. Các phương pháp giải bất phương trình logarit thường gặp

1. Phương pháp biến đổi đưa về cùng cơ số

Ví dụ

Giải Bất phương trình: ${{\log }_{4}}\left( x+7 \right)>{{\log }_{2}}\left( x+1 \right)$.

Lời giải

Điều kiện: $x>-1.$

Ta có : ${{\log }_{4}}\left( x+7 \right)>{{\log }_{2}}\left( x+1 \right)$$\Leftrightarrow \frac{1}{2}{{\log }_{2}}\left( x+7 \right)>{{\log }_{2}}\left( x+1 \right)$$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( x+7 \right)>{{\log }_{2}}{{\left( x+1 \right)}^{2}}$

$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x > – 1}\\ {\left( {x + 7} \right) > {{\left( {x + 1} \right)}^2}} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} + x – 6 < 0}\\ {x > – 1} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow – 1 < x < 2$

Vậy tập nghiệm của BPT là : $D=\left( -1;2 \right)$.

Bài tập

Giải các bpt sau :

a) ${{\log }_{2}}\left( 7-x \right)+{{\log }_{\frac{1}{2}}}\left( x-1 \right)\le 0$

b) $1+{{\log }_{2}}\left( x-2 \right)>{{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}-3x+2 \right)$

c) ${{\log }_{2+\sqrt{3}}}\left( 2x-5 \right)\ge {{\log }_{2-\sqrt{3}}}\left( x-1 \right)$

d) $2{{\log }_{2}}\left( x-1 \right)\le {{\log }_{2}}\left( 5-x \right)+1$

2. Phương pháp mũ hóa

Ví dụ:

Giải bất phương trình ${{\log }_{2}}\left( {{5}^{x}}+2 \right)+2.{{\log }_{\left( {{5}^{x}}+2 \right)}}2>3$.

Lời giải

Đặt ${{\log }_{2}}({{5}^{x}}+2)=t$. Do ${{5}^{x}}+2>2$ với mọi $x$ nên ${{\log }_{2}}({{5}^{x}}+2)>lo{{g}_{2}}2=1$hay $t>1$(*).

Bất phương trình đã cho trở thành: $t+\frac{2}{t}>3\Leftrightarrow {{t}^{2}}-3t+2>0$(do $t>1$)

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {t < 1}\\ {t > 2} \end{array}} \right.\mathop \Rightarrow \limits^{(*)} t > 2$

Khi đó:  ${{\log }_{2}}({{5}^{x}}+2)>2\Leftrightarrow {{5}^{x}}>2\Leftrightarrow x>{{\log }_{5}}2$.

Vậy bất phương trình có nghiệm là $S=({{\log }_{5}}2;+\infty )$.

Ví dụ 2

Giải bất phương trình $\log _{3}^{{}}\left( 10-{{3}^{x+1}} \right)\ge 1-x$.

Lời giải

Ta có $\log _{3}^{{}}\left( 10-{{3}^{x+1}} \right)\ge 1-x\Leftrightarrow 10-{{3}^{x+1}}\ge {{3}^{1-x}}\Leftrightarrow {{3.3}^{x}}+\frac{3}{{{3}^{x}}}-10\le 0$(*).

Giải (*) ta có $\frac{1}{3}\le {{3}^{x}}\le 3\Leftrightarrow -1\le x\le 1$.

Bài tập

Giải bất phương trình sau:

a) $\log _{2}^{{}}\left( 6-{{2}^{x}} \right)\ge 3-x$

b) $\log _{3}^{{}}\left( 10-{{3}^{x}} \right)\ge 2-x$

c) $\log _{7}^{{}}\left( 10-{{3}^{x+1}} \right)\ge 1-x$

3. Phương pháp đặt ẩn phụ loại 1.

Ví dụ:

Giải bất phương trình: $\log _{2}^{2}x-5{{\log }_{2}}x-6\le 0$.

Lời giải

$\log _{2}^{2}x-5{{\log }_{2}}x-6\le 0\,\,\left( 1 \right)$

ĐK: $x>0\,\,\left( * \right)$

Đặt $t={{\log }_{2}}x\,\,\left( 2 \right)$

$\left( 1 \right)$ thành ${{t}^{2}}-5t-6\le 0\Leftrightarrow -1\le t\le 6\overset{\left( 2 \right)}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,-1\le {{\log }_{2}}x\le 6\Leftrightarrow \frac{1}{2}\le x\le 64$

So với $\left( * \right)$: $\left( 1 \right)\Leftrightarrow \frac{1}{2}\le x\le 64$

Vậy $S=\left[ \frac{1}{2};64 \right]$.

Bài tập

Giải các bất phương trình sau:

a) $\log _{\sqrt{5}}^{2}{{x}^{5}}-25{{\log }_{\sqrt{5}}}{{x}^{2}}-75\le 0$.

b) $\log _{2}^{2}x-3{{\log }_{2}}x+2<0$.

c) $\log _{2}^{2}x-5{{\log }_{2}}x+4\ge 0$.

4. Phương pháp hàm số

Dạng 4.1. Dạng $\log (ax+b)\ge c\text{x}+d$

Ví dụ.

Giải phương trình sau:${{\log }_{3}}(x+1)\ge 3-x.$

Hướng dẫn và lời giải

Điều kiện: $D=\left( -1;+\infty  \right)$.

Bất phương trình đã cho tương đương với:${{\log }_{3}}(x+1)+\text{x}-3\ge 0.$

Cách 1.

Đặt: $f(x)={{\log }_{3}}(x+1)+x-3$

$=>f'(x)=\frac{1}{(x+1)\ln 3}+1>0;\forall x>-1.$

Hàm số $f(x)$đồng biến trên $(-1;+\infty )$.

Mặt khác: $f(2)=0$.

Bất phương trình $f(x)\ge 0\Leftrightarrow x\ge 2.$

Kết hợp điều kiện, Suy ra bất phương trình đã cho có tập nghiệm:\[x\ge 2.\]

Cách 2.

Xét: ${{\log }_{3}}(x+1)+\text{x}-3=0.$

Đặt: $f(x)={{\log }_{3}}(x+1)+x-3$

$=>f'(x)=\frac{1}{(x+1)\ln 3}+1>0;\forall x>-1.$

Hàm số $f(x)$đồng biến trên $(-1;+\infty )$.

Mặt khác: $f(2)=0$.

Phương trình $f(x)=0$có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow x=2$.

Bảng xét dấu vế trái:

$x$	-1		2		$+\infty $
VT	|	–	0	+

Suy ra bất phương trình đã cho có tập nghiệm: $x\ge 2.$

Dạng 4.2. Dạng ${{\log }_{a}}(b\text{x}+c)\ge {{\log }_{d}}(ex+h)$

Ví dụ 1

 Giải bất phương trình: ${{\log }_{7}}x\ge {{\log }_{3}}(\sqrt{x}+2)$.

Hướng dẫn và lời giải

Điều kiện:$x>0$.

Đặt: $t={{\log }_{7}}x\left( * \right)$.

Khi đó $x={{7}^{t}}$

Bất Phương trình trở thành: $t\ge {{\log }_{3}}(\sqrt{{{7}^{t}}}+2)$$\Leftrightarrow {{3}^{t}}\ge \sqrt{{{7}^{t}}}+2$$\Leftrightarrow {{\left( \frac{\sqrt{7}}{3} \right)}^{t}}+2.{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{t}}-1\le 0.(**)$

Đặt: $f(t)={{\left( \frac{\sqrt{7}}{3} \right)}^{t}}+2.{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{t}}-1$

$f'(t)={{\left( \frac{\sqrt{7}}{3} \right)}^{t}}\ln \left( \frac{\sqrt{7}}{3} \right)+2.{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{t}}\ln \left( \frac{1}{3} \right)<0;\forall t\in \mathbb{R}.$

Suy ra $f(x)$nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

Mặt khác: $f(2)=0$. nên bất phương trình: $f(t)\le 0\Leftrightarrow t\ge 2$$\Leftrightarrow {{\log }_{7}}x\ge 2\Leftrightarrow x\ge 49.$

Vậy tập nghiệm của BPT: $\left[ 49;+\infty  \right)$

Ví dụ 2.

Giải phương trình:${{\log }_{6}}\left( x+1 \right)\ge {{\log }_{5}}x$

Hướng dẫn và lời giải

Điều kiện:$x>0$.

Đặt: $t={{\log }_{5}}x\left( * \right)$.

Khi đó $x={{5}^{t}}$

Bất Phương trình trở thành: ${{\log }_{6}}({{5}^{t}}+1)\ge t\Leftrightarrow {{5}^{t}}+1\ge {{6}^{t}}\Leftrightarrow {{\left( \frac{5}{6} \right)}^{t}}+{{\left( \frac{1}{6} \right)}^{t}}-1\ge 0.(**)$

Đặt: $f(t)={{\left( \frac{5}{6} \right)}^{t}}+{{\left( \frac{1}{6} \right)}^{t}}-1$

$f'(t)={{\left( \frac{5}{6} \right)}^{t}}\ln \frac{5}{6}+{{\left( \frac{1}{6} \right)}^{t}}\ln \frac{1}{6}<0;\forall t\in \mathbb{R}.$

Suy ra $f(x)$nghịch biến trên $\mathbb{R}$,

Mặt khác: $f(1)=0$. nên bất phương trình: $f(t)\ge 0\Leftrightarrow t\le 1$$\Leftrightarrow {{\log }_{5}}x\le 1\Leftrightarrow 0<x\le 5$

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm: $0<x\le 5.$

Bài tập

Giải phương trình sau:

a) ${{\log }_{5}}\left( x+2 \right)\ge {{\log }_{3}}x$.

b) ${{\log }_{7}}\left( x+5 \right)={{\log }_{2}}x$.

Ví dụ 3

Giải bất phương trình ${{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+3 \right)-{{\log }_{2}}x+{{x}^{2}}-4x+1\le 0$.

Lời giải

Điều kiện: $x>0$.

Ta có:${{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+3 \right)-{{\log }_{2}}x+{{x}^{2}}-4x+1\le 0\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+3 \right)+{{x}^{2}}+3\le {{\log }_{2}}4x+4x\,\,\,\left( * \right)$.

Xét hàm số $f\left( t \right)={{\log }_{2}}t+t$ trên $D=\left( 0;\,\,+\infty  \right)$. Ta có

${f}’\left( t \right)=\frac{1}{t\ln 2}+1>0\,\,\,\forall t\in D\Rightarrow $hàm số $f$ đồng biến trên $D$.

Suy ra

$\left( * \right)\Leftrightarrow f\left( {{x}^{2}}+3 \right)\le f\left( 4x \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}+3\le 4x\Leftrightarrow 1\le x\le 3$.

Dạng 4.3. Dạng $A.{{a}^{{{\log }_{b}}f(x)}}\ge g(x)$.

Ví dụ 1.

Giải phương trình: ${{2.3}^{{{\log }_{2}}x}}\ge 3-x$

Hướng dẫn và lời giải

Điều kiện: $x>0.$

Bất phương trình đã cho tương đương với:\[{{2.3}^{{{\log }_{2}}x}}+x-3\ge 0\]

Đặt: $f(x)={{2.3}^{{{\log }_{2}}x}}+x-3$

$=>f'(x)={{2.3}^{{{\log }_{2}}x}}.\frac{1}{x\ln 2}+1>0;\forall x\in \left( 0;+\infty  \right).$

Hàm số $f(x)$ đồng biến trên $(0;+\infty )$.

Mặt khác: $f(1)=0$.

Bất pương trình $f(x)\ge 0\Leftrightarrow x\ge 1.$

Kết hợp điều kiện, bất phương trình đã cho có tập nghiệm:$D=\left[ 1;+\infty  \right)$.

Ví dụ 2.

Giải phương trình: ${{\log }_{2}}\left( x+{{3}^{{{\log }_{6}}x}} \right)\ge {{\log }_{6}}x$.

Hướng dẫn và lời giải

Điều kiện: $x>0.$

Đặt $t={{\log }_{6}}x\Leftrightarrow x={{6}^{t}}(*)$, phương trình tương đương: ${{6}^{t}}+{{3}^{t}}\ge {{2}^{t}}\Leftrightarrow {{3}^{t}}+{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{t}}-1\ge 0$.

Đặt: $f(x)={{3}^{t}}+{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{t}}-1$

$f'(x)={{3}^{t}}\ln 3+{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{t}}\ln \frac{3}{2}>0;\forall t\in \mathbb{R}.$

Hàm số $f(t)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Mặt khác: $f(-1)=0$.

Bất phương trình $f(t)\ge 0\Leftrightarrow t\ge -1$$\Leftrightarrow {{\log }_{6}}x\ge -1\Leftrightarrow x\ge {{6}^{-1}}\Leftrightarrow x\ge \frac{1}{6}$.

Suy ra bất phương trình đã cho có tập nghiệm duy nhất$D=\left[ \frac{1}{6};+\infty  \right).$

Bài tập

Giải các bất phương trình sau:

a) ${{7}^{x-1}}\ge 6{{\log }_{7}}(6x-5)+1$

b) ${{\log }_{5}}\left( x+{{3}^{{{\log }_{2}}x}} \right)\ge {{\log }_{2}}x$

5. Phương pháp nhóm nhân tử chung

Ví dụ:

Giải bất phương trình: ${{x}^{3}}.\ln \left( x+5 \right)\le 9x.\ln \left( x+5 \right).$.

Lời giải

Điều kiện: $x>-5$. Cho $BPT\Leftrightarrow \left( {{x}^{3}}-9x \right)\ln \left( x+5 \right)=0$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x^3} – 9x = 0\\ \ln \left( {x + 5} \right) = 0 \end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = – 3\\ x = 0\\ x = 3\\ x = – 4 \end{array} \right.$

Bảng xét dấu:

Dựa vào bảng xét dấu ta thấy

$f\left( x \right) \le 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} – 4 \le x \le – 3\\ 0 \le x \le 3 \end{array} \right.$

Bài tập

Bài 1. Giải các bất phương trình sau:

a) ${{\log }_{2}}x+{{\log }_{3}}x\ge 1+{{\log }_{2}}x.{{\log }_{3}}x$.

b) $\left( \log x+1 \right)\left( 4-\log x \right)>0$.

c) ${{\log }_{2}}x.{{\log }_{3}}x-3{{\log }_{2}}x\ge 6+2{{\log }_{3}}x.$

Bài 2: Giải các bất phương trình sau

a)${{\log }_{2}}x.{{\log }_{3}}x+x.{{\log }_{3}}x+3\ge {{\log }_{2}}x+3{{\log }_{3}}x+x$.  

b) $\log _{2}^{2}x+{{\log }_{2}}x.{{\log }_{2}}\left( x-1 \right)+2\ge 3.{{\log }_{2}}x+2.{{\log }_{2}}\left( x-1 \right)$.

c) ${{\log }_{2}}x.{{\log }_{3}}x+3\le 3.{{\log }_{3}}x+{{\log }_{2}}x$.                         

d) $2.\log _{4}^{2}x\ge {{\log }_{2}}x.{{\log }_{2}}\left( \sqrt{x-7}+1 \right)$.

6. Phương pháp đặt ẩn phụ loại 2.

Ví dụ 1:

Giải phương trình:$\log _{3}^{2}\left( x+1 \right)+\left( x-5 \right){{\log }_{3}}\left( x+1 \right)-2x+6\ge 0$.

Hướng dẫn và lời giải

Điều kiện: $x>-1$

Đặt t = log₃(x+1), ta có: \[{{t}^{2}}+\left( x-5 \right)t-2x+6\ge 0(*)\]

Có $\Delta ={{(x-5)}^{2}}-4(-2\text{x}+6)={{x}^{2}}-2\text{x}+1={{(x-1)}^{2}}$

Bất Phương trình (*) có dạng: \[\left( t-2 \right)\left( t+x-3 \right)\ge 0\]

$\Leftrightarrow \left[ {{\log }_{3}}\left( x+1 \right)-2 \right]\left[ {{\log }_{3}}\left( x+1 \right)+x-3 \right]\ge 0$(**)

* Với ${{\log }_{3}}(x+1)-2=0$ $\Leftrightarrow {{\log }_{3}}(x+1)=2$$\Leftrightarrow x+1={{3}^{2}}$$\Leftrightarrow x=8$.

* Với  ${{\log }_{3}}(x+1)+x-3=0.(***)$

Đặt : $g(x)={{\log }_{3}}(x+1)+x-3$

$g'(x)=\frac{1}{(x+1)\ln 3}+1>0;\forall x\ge 2.$

Mặt khác, $g(2)=0$.

Suy ra phương trình (***) có nghiệm duy nhất: $x=2.$

Lập bảng xét dấu vế trái, ta có:

$x$	-1		2		8		$+\infty $
VT	|	+	0	–	0	+

Vậy bất phương trình đã cho tập nghiệm :$\left( -1;2 \right]\cup \left[ 8;+\infty  \right)$.

Bài tập

a) Giải phương trình sau: ${{\log }^{2}}_{2}x-\left( x-1 \right).{{\log }_{2}}x-2x+6\ge 0.$

b) Giải phương trình sau: ${{\log }^{2}}_{7}\left( x+5 \right)-\left( x+1 \right).{{\log }_{7}}\left( x+5 \right)-2x-2\ge 0.$

c) Giải phương trình:$\text{(x + 1) }\!\![\!\!\text{ log}2\text{x}{{\text{ }\!\!]\!\!\text{ }}^{\mathbf{2}}}\text{ + (2x + 5)log }2\text{x + 6 }\le \text{ 0}$.

d) Giải phương trình: ${{4}^{\log (x+1)}}-(x-1){{.2}^{\log (x+1)}}-x\le 0$.

——————————————————–

Xem thêm: Phương pháp giải phương trình logarit.

——————————————————–