Bất phương trình mũ

Định nghĩa

Bất phương trình có dạng: $a > 0,a \ne 1$ và: ${a^x} > b$

Hoặc: ${a^x} \ge b,\,{a^x} < b,\,{a^x} \le b$

Tập nghiệm

${a^x} > b$	Tập nghiệm	Tập nghiệm
	a>1	0<a<1
$b \le 0$	R	R
b>0	$\left( {{{\log }_a}b; + \infty } \right)$	$\left( { – \infty ;{{\log }_a}b} \right)$

Chú ý: Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn số thì:  ${{a^M} > {a^N} \Leftrightarrow \left( {a – 1} \right)\left( {M – N} \right) > 0}$

Ví dụ minh họa

Giải bất phương trình sau: ${3^{{x^2} – x}} < 9$

Giải

Đưa về cơ số 3.

$pt \Leftrightarrow {3^{{x^2} – x}} < {3^2}$ $ \Leftrightarrow {x^2} – x < 2$ $ \Leftrightarrow –1{\rm{ }} < {\rm{ }}x{\rm{ }} < {\rm{ }}2$

Các phương pháp giải thường gặp

I. Phương pháp1. Nhóm nhân tử chung

Ví dụ

Giải bất phương trình: ${6^x} – {3.2^x} – {3^x} + 3 \ge 0$

Giải

$pt \Leftrightarrow \left( {{2^x} – 1} \right)\left( {{3^x} – 3} \right) \ge 0$

$\begin{array}{l}
pt \Leftrightarrow \left( {{2^x} – 1} \right)\left( {{3^x} – 3} \right) \ge 0\\
\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{2^x} \ge 1}\\
{{3^x} \ge 3}
\end{array}} \right.}\\
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{2^x} \le 1}\\
{{3^x} \le 3}
\end{array}} \right.}
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x \ge 1}\\
{x \le 0}
\end{array}} \right.
\end{array}$

II. Phương pháp 2. Đặt ẩn phụ loại 1.

Ví dụ

Giải bất phương trình: ${4^x} – {2.5^{2{\rm{x}}}} < {10^x}$

Giải

Chia 2 vế cho ${10^x}$. Đặt $t = {\left( {\frac{2}{5}} \right)^x};t > 0$

Phương trình có dạng:

${4^x} – {2.5^{2{\rm{x}}}} < {10^x}$

$ \Leftrightarrow {\left( {\frac{2}{5}} \right)^{2x}} – 2.{\left( {\frac{2}{5}} \right)^x} – 1 < 0$

$ \Leftrightarrow t – 2\frac{1}{t} – 1 < 0$

$ \Leftrightarrow {t^2} – t – 2 < 0$

$ \Leftrightarrow – 1 < t < 2$

Do: $t > 0$ suy ra: $0 < t < 2$

$ \Rightarrow {\left( {\frac{2}{5}} \right)^x} < 2$

Suy ra: $x > {\log _{\frac{2}{5}}}2$

Vậy tập nghiệm là: $T = \left( {{{\log }_{\frac{2}{5}}}2; + \infty } \right)$

III. Phương pháp 3. Hàm số

Ví dụ

Giải bất phương trình: ${3^x} \le 5 – 2x$

Giải

$Bpt \Leftrightarrow f = {3^x} + 2x – 5 \le 0$

$f’ = {3^x}\ln 3 + 2 > 0,\forall x$

=> hàm số ĐB trên R. mặt khác: f(1)=0. Suy ra: f(x)≤0=f(1) =>x≤1.

IV. Phương pháp 4. Đặt ẩn phụ loại 2

Ví dụ

Giải phương trình: ${9^x} + 2(x – 2){.3^x} + 2x – 5 < 0$

Giải

Đặt: t=3^x>0

$Bpt \Leftrightarrow {t^2} + 2(x – 2)t + 2x – 5 < 0$

$ \Leftrightarrow (t + 1)(t + 2x – 5) < 0$

$ \Leftrightarrow {3^x} + 2x – 5 < 0. (1)$

$Bpt \Leftrightarrow f = {3^x} + 2x – 5 \le 0$

$f’ = {3^x}\ln 3 + 2 > 0,\forall x$

=> hàm số ĐB trên R. mặt khác: f(1)=0. Suy ra: f(x)≤0=f(1) =>x≤1.

Vậy bất phương trình có nghiệm: x≤1 .

Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Tập nghiệm của bất phương trình: ${2^x} + {2^{x + 1}} \le {3^x} + {3^{x – 1}}$

A.$x\in \left[ 2;+\infty  \right)$                     B. $x\in \left( 2;+\infty  \right)$        

C.  $x\in \left( -\infty ;2 \right)$        D. $\left( 2;+\infty  \right)$

Hướng dẫn giải

${{2}^{x}}+{{2}^{x+1}}\le {{3}^{x}}+{{3}^{x-1}}$$\Leftrightarrow {{3.2}^{x}}\le \frac{4}{3}{{.3}^{x}}$ $\Leftrightarrow {{\left( \frac{3}{2} \right)}^{x}}\ge \frac{9}{4}$$\Leftrightarrow x\ge 2$

Câu 2. Nghiệm của bất phương trình : ${{\left( \frac{1}{9} \right)}^{x}}>{{3}^{\frac{2x}{x+1}}}$ là :

A.${x <  – 2; – 1 < x < 0}$                       B. $x<-2$                   

C. $-1<x<0$           D. $-1\le x<0$

Hướng dẫn giải

Điều kiện: $x \ne – 1$

$\begin{array}{l}
pt \Leftrightarrow {3^{ – 2x}} > {3^{\frac{{2x}}{{x + 1}}}}\\
\Leftrightarrow – 2x > \frac{{2x}}{{x + 1}}\\
\Leftrightarrow \frac{{2x}}{{x + 1}} + 2x < 0\\ \Leftrightarrow 2x\left( {\frac{1}{{x + 1}} + 1} \right) < 0 \end{array}$

$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \frac{{2x\left( {x + 2} \right)}}{{x + 1}} < 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x < - 2\\ - 1 < x < 0 \end{array} \right. \end{array}$

Kết hợp với điều kiện : $ \Rightarrow x \in ( – \infty ; – 2) \cup \left( { – 1;0} \right)$

Câu 3. Nghiệm của bất phương trình: ${{16}^{x}}-{{4}^{x}}-6\le 0$ là

A. $x\le {{\log }_{4}}3.$                             B. $x>{{\log }_{4}}3.$   

C. $x\ge 1.$         D. $x\ge 3$

Hướng dẫn giải

Đặt $t={{4}^{x}}$ ;($t>0$), khi đó bất phương trình đã cho tương đương với:

$\begin{array}{l}
{t^2} – t – 6 \le 0\\
\Leftrightarrow – 2 \le t \le 3\\
\Leftrightarrow 0 < t \le 3\\ \Leftrightarrow x \le {\log _4}3. \end{array}$

• Câu 4. Tập nghiệm của bất phương trình $\frac{{{3}^{x}}}{{{3}^{x}}-2}<3$ là:

A.$x\in (-\infty ;{{\log }_{3}}2)\cup (1;+\infty )$  B. $x>{{\log }_{3}}2$         

C. $x<1$         D. ${{\log }_{3}}2<x<1$

Hướng dẫn giải

$\begin{array}{l}
\frac{{{3^x}}}{{{3^x} – 2}} < 3\\ \Leftrightarrow \frac{{{3^x} - 3}}{{{3^x} - 2}} > 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{3^x} > 3\\
{3^x} < 2 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x > 1\\
x < {\log _3}2 \end{array} \right. \end{array}$

• Câu 5. Tập nghiệm của bất phương trình $\frac{1}{{{3}^{x}}+5}\le \frac{1}{{{3}^{x+1}}-1}$ là:

A.$-1<x\le 1$            B. $x\le -1$                  C. $x>1$                       D. $1<x<2$

Hướng dẫn giải Đặt $t={{3}^{x}}$ ;($t>0$), khi đó bất phương trình đã cho tương đương với

$\begin{array}{l}
\frac{1}{{t + 5}} \le \frac{1}{{3t – 1}}\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3t – 1 > 0\\
3t – 1 \le t + 5
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \frac{1}{3} < t \le 3\\ \Leftrightarrow - 1 < x \le 1. \end{array}$

Chúc các bạn thành công!