Dấu nhị thức bậc nhất

Dấu nhị thức bậc nhất $f(x)=ax+b$;($a \ne 0$;a,b $\in$ R).

I – LÝ THUYẾT

1. Nhị thức bậc nhất

       Nhị thức bậc nhất đối với $x$  là biểu thức dạng $f\left( x \right)=ax+b$ trong đó $a,b$ là hai số đã cho, $a\ne 0$.

2. Dấu của nhị thức bậc nhất

Định lí. Nhị thức $f\left( x \right)=ax+b$ có giá trị cùng dấu với hệ số $a$ khi $x$ lấy các giá trị trong khoảng $\left( -\frac{b}{a};+\,\infty  \right),$ trái dấu với hệ số $a$ khi $x$ lấy giá trị trong khoảng $\left( -\,\infty ;-\frac{b}{a} \right).$

a. Sử dụng bảng xét dấu  (phải cùng – trái trái: với hệ số a)

x		$ – \infty $		-b/a		$ + \infty $
f(x)=ax+b		a>0	–	0	+
f(x)=ax+b		a<0	+	0	–

b. Sử dụng trục số

●  Nếu $a>0$ thì : 

●  Nếu $a<0$ thì : 

●  Minh họa bằng đồ thị

3. Quy trình xét dấu.

a. Xét dấu biểu thức tích

Ví dụ:

Xét dấu biểu thức sau: $f(x) = \left( {x – 1} \right)\left( {x – 2} \right)(3 – x)$.

Giải

Bước 1: Nghiệm f(x)=0.

$f(x) = 0 \Leftrightarrow x = – 3;x = 1;x = 2$

Bước 2: Lập bảng xét dấu f(x).

x	$ – \infty $		-3		1		2		$ + \infty $
x-1		–	|	–	0	+	|	+
x-2		–	|	–	|	–	0	+
3-x		+	0	–	|	–	|	–
f(x)		+	0	–	0	+	0	–

Kết luận:

• $f(x) > 0,\forall x \in \left( { – \infty ; – 3} \right) \cup \left( {1;2} \right)$.
• $f(x) < 0,\forall x \in \left( { – 3;1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)$.

Ví dụ 2:

Xét dấu biểu thức: $f(x) = (3x – 2)(2 – 3x)$.

Giải

Bước 1. Tìm nghiệm f(x)=0.

$f(x) = 0 \Leftrightarrow (3x – 2)(3 – 2x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{2}{3};x = \frac{3}{2}$.

Bước 2. Lập bảng xét dấu f(x).

x	$ – \infty $	$\frac{2}{3}$		$\frac{3}{2}$	$ + \infty $
3x-2	–	0	+	|	+
3-2x	+	|	+	0	–
f(x)	–	0	+	0	–

Kết luận:

• $f(x) < 0,\forall x \in \left( { – \infty ;\frac{2}{3}} \right) \cup \left( {\frac{3}{2}; + \infty } \right)$.
• $f(x) > 0,\forall x \in \left( {\frac{2}{3};\frac{3}{2}} \right)$.

b. Xét dấu biểu thức chứa ẩn dưới mẫu.

Ví dụ 1.

Xét dấu biểu thức sau: $f(x) = \frac{{(x – 1)(x – 3)}}{{5 – x}}$.

Giải

Bước 1: Tìm nghiệm tử; nghiệm mẫu.

• $TS = 0 \Leftrightarrow (x – 1)(x – 3) = 0 \Leftrightarrow x = 1;x = 3$.
• $MS = 0 \Leftrightarrow 5 – x = 0 \Leftrightarrow x = 5$.

Bước 2: Lập bảng xét dấu f(x).

x	$ – \infty $		1		3		5		$ – \infty $
x-1		–	0	+	|	+	|	+
x-3		–	|	–	o	+	|	+
5-x		+	|	+	|	+	0	–
f(x)		+	0	–	0	+	||	–

Kết luận:

• $f(x) > 0,\forall x \in \left( { – \infty ;1} \right) \cup \left( {3;5} \right)$.
• $f(x) < 0,\forall x \in \left( {1;3} \right) \cup \left( {5; + \infty } \right)$.

Ví dụ 2.

Xét dấu biểu thức sau: $f(x) = \frac{{2x – 1}}{{\left( {2 – x} \right)(x – 3)}}$.

Giải

Bước 1. Tìm nghiệm tử; tìm nghiệm mẫu.

• $TS = 0 \Leftrightarrow 2x – 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}$.
• $MS = 0 \Leftrightarrow \left( {2 – x} \right)(x – 3) = 0 \Leftrightarrow x = 2;x = 3$.

Bước 2. Lập bảng xét dấu f(x).

x	$ – \infty $	$\frac{1}{2}$		2		3	$ + \infty $
2x-1	–	0	+	|	+	|	+
2-x	+	|	+	0	–	|	–
x-3	–	|	–	|	–	o	+
f(x)	+	0	–	||	+	||	–

Kết luận:

• $f(x) < 0,\forall x \in \left( {\frac{1}{2};2} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)$.
• $f(x) > 0,\forall x \in \left( { – \infty ;\frac{1}{2}} \right) \cup \left( {2;3} \right)$.

II. Vận dụng

Dạng 1: Xét dấu của nhị thức bậc nhất

Ví dụ 1:  Cho nhị thức bậc nhất $f\left( x \right)=23x-20$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $f\left( x \right)>0$ với $\forall x\in \mathbb{R}$.                             

B. $f\left( x \right)>0$ với $\forall x\in \left( -\infty ;\frac{20}{23} \right)$.

C. $f\left( x \right)>0$ với $x>-\frac{5}{2}$.    

D. $f\left( x \right)>0$ với $\forall x\in \left( \frac{20}{23};+\infty  \right)$

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Ví dụ 2: Các số tự nhiên bé hơn $4$ để $f\left( x \right)=\frac{2x}{5}-23-\left( 2x-16 \right)$ luôn âm là?

A. $\left\{ \left. -4;-3;-2;-1;0;1;2;3 \right\} \right.$.                                  

B. $-\frac{35}{8}<x<4$.

C. $\left\{ \left. 0;1;2;3 \right\} \right.$.              

D. $\left\{ \left. 0;1;2;-3 \right\} \right.$

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ví dụ 3:  Với $x$ thuộc tập hợp nào dưới đây thì $f\left( x \right)=5x-\frac{x+1}{5}-4-\left( 2x-7 \right)$ luôn âm

A. $\varnothing $.                                                 B. $\mathbb{R}$.       

C. $\left( -\infty ;-1 \right)$.                                  D. $\left( -1;+\infty  \right)$.

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ví dụ 4: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để $f\left( x \right)=m\left( x-m \right)-\left( x-1 \right)$ không âm với mọi $x\in \left( -\infty ;m+1 \right].$

A. $m=1$.                       B. $m>1$.                     C. $m<1$.                     D. $m\ge 1$.

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Dạng 2: Ứng dụng dấu của nhị thức bậc nhất giải bất phương trình tích

Ví dụ 1: Tập nghiệm của bất phương trình $f\left( x \right)=x\left( {{x}^{2}}-1 \right)\ge 0$

A.$\left( -\infty ;-1 \right)\cup \left[ 1;+\infty  \right)$.                        

B.$\left[ -1;0 \right]\cup \left[ 1;+\infty  \right)$.                                   

C.$\left( -\infty ;-1 \right]\cup \left[ 0;1 \right)$. 

D.$\left[ -1;1 \right]$.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Bảng xét dấu

Căn cứ bảng xét dấu ta được $x\in \left[ -1;0 \right]\cup \left[ 1;+\infty  \right)$

Ví dụ 2: Số các giá trị nguyên âm của$x$ để biểu thức$f\left( x \right)=\left( x+3 \right)\left( x-2 \right)\left( x-4 \right)$không âm là

A.$0$.                             B.$1$.                           C.$2$.                           D.$3$.

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Ta có $\left( x+3 \right)\left( x-2 \right)\left( x-4 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
& x=-3 \\
& x=4 \\
& x=2 \\
\end{align} \right.$

Bảng xét dấu $f\left( x \right)$

Dựa vào bảng xét dấu, để $f\left( x \right)$ không ấm thì $x\in \left[ -3,2 \right]\cup \left[ 4,+\infty  \right)$.

Vậy có 3 số nghiệm nguyên âm $x$ thỏa YCBT.

III. Thực hành

Câu 1. Cho biểu thức $f\left( x \right)=\left( x+5 \right)\left( 3-x \right).$ Tập hợp tất cả các giá trị của $x$ thỏa mãn bất phương trình $f\left( x \right)\le 0$ là

A. $x\in \left( -\,\infty ;5 \right)\cup \left( 3;+\,\infty  \right).$                

B. $x\in \left( 3;+\,\infty  \right).$                       

C. $x\in \left( -\,5;3 \right).$                     

D. $x\in \left( -\,\infty ;-\,5 \right]\cup \left[ 3;+\,\infty  \right).$

Câu 2. Cho biểu thức $f\left( x \right)=\left( 2x-1 \right)\left( {{x}^{3}}-1 \right).$ Tập hợp tất cả các giá trị của $x$ để $f\left( x \right)\ge 0$ là

A. $\left[ \frac{1}{2};1 \right].$                                                                

B. $\left( -\infty ;-\frac{1}{2} \right)\cup \left( 1;+\infty  \right).$          

C. $\left( -\infty ;\frac{1}{2} \right]\cup \left[ 1;+\infty  \right).$                       

D. $\left( \frac{1}{2};1 \right).$

Câu 3. Tập nghiệm của bất phương trình $\left( 2x+8 \right)\left( 1-x \right)>0$ có dạng $\left( a;b \right).$ Khi đó $b-a$ bằng

                 A. $3.$                             B. $5.$                          C. $9.$                          D. không giới hạn.

Câu 4. Nghiệm nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình $\left( x-1 \right)\sqrt{x\left( x+2 \right)}\ge 0$ là

                 A. $x=-2.$                     B. $x=0.$                      C. $x=1.$                      D. $x=2.$

Câu 5. Tập nghiệm của bất phương trình $f\left( x \right)=\frac{2-x}{2x+1}\ge 0$

A. $S=\left( -\frac{1}{2};2 \right)$.                  

B. $S=\left( -\infty ;-\frac{1}{2} \right)\cup \left( 2;+\infty  \right)$.

C. $S=\left( -\infty ;-\frac{1}{2} \right)\cup \left[ 2;+\infty  \right)$.      

D. $S=\left( -\frac{1}{2};2 \right]$.

—————————-