Dấu nhị thức bậc nhất $f(x)=ax+b$;($a \ne 0$;a,b $\in$ R).
I – LÝ THUYẾT
1. Nhị thức bậc nhất
Nhị thức bậc nhất đối với $x$ là biểu thức dạng $f\left( x \right)=ax+b$ trong đó $a,b$ là hai số đã cho, $a\ne 0$.
2. Dấu của nhị thức bậc nhất
Định lí. Nhị thức $f\left( x \right)=ax+b$ có giá trị cùng dấu với hệ số $a$ khi $x$ lấy các giá trị trong khoảng $\left( -\frac{b}{a};+\,\infty \right),$ trái dấu với hệ số $a$ khi $x$ lấy giá trị trong khoảng $\left( -\,\infty ;-\frac{b}{a} \right).$
a. Sử dụng bảng xét dấu (phải cùng – trái trái: với hệ số a)
x | $ – \infty $ | -b/a | $ + \infty $ | |||
f(x)=ax+b | a>0 | – | 0 | + | ||
f(x)=ax+b | a<0 | + | 0 | – |
b. Sử dụng trục số
● Nếu $a>0$ thì :

● Nếu $a<0$ thì :

● Minh họa bằng đồ thị

3. Quy trình xét dấu.
a. Xét dấu biểu thức tích
Ví dụ:
Xét dấu biểu thức sau: $f(x) = \left( {x – 1} \right)\left( {x – 2} \right)(3 – x)$.
Giải
Bước 1: Nghiệm f(x)=0.
$f(x) = 0 \Leftrightarrow x = – 3;x = 1;x = 2$
Bước 2: Lập bảng xét dấu f(x).
x | $ – \infty $ | -3 | 1 | 2 | $ + \infty $ | ||||
x-1 | – | | | – | 0 | + | | | + | ||
x-2 | – | | | – | | | – | 0 | + | ||
3-x | + | 0 | – | | | – | | | – | ||
f(x) | + | 0 | – | 0 | + | 0 | – |
Kết luận:
- $f(x) > 0,\forall x \in \left( { – \infty ; – 3} \right) \cup \left( {1;2} \right)$.
- $f(x) < 0,\forall x \in \left( { – 3;1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)$.
Ví dụ 2:
Xét dấu biểu thức: $f(x) = (3x – 2)(2 – 3x)$.
Giải
Bước 1. Tìm nghiệm f(x)=0.
$f(x) = 0 \Leftrightarrow (3x – 2)(3 – 2x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{2}{3};x = \frac{3}{2}$.
Bước 2. Lập bảng xét dấu f(x).
x | $ – \infty $ | $\frac{2}{3}$ | $\frac{3}{2}$ | $ + \infty $ | |
3x-2 | – | 0 | + | | | + |
3-2x | + | | | + | 0 | – |
f(x) | – | 0 | + | 0 | – |
Kết luận:
- $f(x) < 0,\forall x \in \left( { – \infty ;\frac{2}{3}} \right) \cup \left( {\frac{3}{2}; + \infty } \right)$.
- $f(x) > 0,\forall x \in \left( {\frac{2}{3};\frac{3}{2}} \right)$.
b. Xét dấu biểu thức chứa ẩn dưới mẫu.
Ví dụ 1.
Xét dấu biểu thức sau: $f(x) = \frac{{(x – 1)(x – 3)}}{{5 – x}}$.
Giải
Bước 1: Tìm nghiệm tử; nghiệm mẫu.
- $TS = 0 \Leftrightarrow (x – 1)(x – 3) = 0 \Leftrightarrow x = 1;x = 3$.
- $MS = 0 \Leftrightarrow 5 – x = 0 \Leftrightarrow x = 5$.
Bước 2: Lập bảng xét dấu f(x).
x | $ – \infty $ | 1 | 3 | 5 | $ – \infty $ | ||||
x-1 | – | 0 | + | | | + | | | + | ||
x-3 | – | | | – | o | + | | | + | ||
5-x | + | | | + | | | + | 0 | – | ||
f(x) | + | 0 | – | 0 | + | || | – |
Kết luận:
- $f(x) > 0,\forall x \in \left( { – \infty ;1} \right) \cup \left( {3;5} \right)$.
- $f(x) < 0,\forall x \in \left( {1;3} \right) \cup \left( {5; + \infty } \right)$.
Ví dụ 2.
Xét dấu biểu thức sau: $f(x) = \frac{{2x – 1}}{{\left( {2 – x} \right)(x – 3)}}$.
Giải
Bước 1. Tìm nghiệm tử; tìm nghiệm mẫu.
- $TS = 0 \Leftrightarrow 2x – 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}$.
- $MS = 0 \Leftrightarrow \left( {2 – x} \right)(x – 3) = 0 \Leftrightarrow x = 2;x = 3$.
Bước 2. Lập bảng xét dấu f(x).
x | $ – \infty $ | $\frac{1}{2}$ | 2 | 3 | $ + \infty $ | ||
2x-1 | – | 0 | + | | | + | | | + |
2-x | + | | | + | 0 | – | | | – |
x-3 | – | | | – | | | – | o | + |
f(x) | + | 0 | – | || | + | || | – |
Kết luận:
- $f(x) < 0,\forall x \in \left( {\frac{1}{2};2} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)$.
- $f(x) > 0,\forall x \in \left( { – \infty ;\frac{1}{2}} \right) \cup \left( {2;3} \right)$.
II. Vận dụng
Dạng 1: Xét dấu của nhị thức bậc nhất
Ví dụ 1: Cho nhị thức bậc nhất $f\left( x \right)=23x-20$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $f\left( x \right)>0$ với $\forall x\in \mathbb{R}$.
B. $f\left( x \right)>0$ với $\forall x\in \left( -\infty ;\frac{20}{23} \right)$.
C. $f\left( x \right)>0$ với $x>-\frac{5}{2}$.
D. $f\left( x \right)>0$ với $\forall x\in \left( \frac{20}{23};+\infty \right)$
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Ví dụ 2: Các số tự nhiên bé hơn $4$ để $f\left( x \right)=\frac{2x}{5}-23-\left( 2x-16 \right)$ luôn âm là?
A. $\left\{ \left. -4;-3;-2;-1;0;1;2;3 \right\} \right.$.
B. $-\frac{35}{8}<x<4$.
C. $\left\{ \left. 0;1;2;3 \right\} \right.$.
D. $\left\{ \left. 0;1;2;-3 \right\} \right.$
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ví dụ 3: Với $x$ thuộc tập hợp nào dưới đây thì $f\left( x \right)=5x-\frac{x+1}{5}-4-\left( 2x-7 \right)$ luôn âm
A. $\varnothing $. B. $\mathbb{R}$.
C. $\left( -\infty ;-1 \right)$. D. $\left( -1;+\infty \right)$.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ví dụ 4: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để $f\left( x \right)=m\left( x-m \right)-\left( x-1 \right)$ không âm với mọi $x\in \left( -\infty ;m+1 \right].$
A. $m=1$. B. $m>1$. C. $m<1$. D. $m\ge 1$.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Dạng 2: Ứng dụng dấu của nhị thức bậc nhất giải bất phương trình tích
Ví dụ 1: Tập nghiệm của bất phương trình $f\left( x \right)=x\left( {{x}^{2}}-1 \right)\ge 0$
A.$\left( -\infty ;-1 \right)\cup \left[ 1;+\infty \right)$.
B.$\left[ -1;0 \right]\cup \left[ 1;+\infty \right)$.
C.$\left( -\infty ;-1 \right]\cup \left[ 0;1 \right)$.
D.$\left[ -1;1 \right]$.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Cho $x\left( {{x}^{2}}-1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=0 \\
x=1 \\
x=-1 \\
\end{matrix} \right.$ .
Bảng xét dấu

Căn cứ bảng xét dấu ta được $x\in \left[ -1;0 \right]\cup \left[ 1;+\infty \right)$
Ví dụ 2: Số các giá trị nguyên âm của$x$ để biểu thức$f\left( x \right)=\left( x+3 \right)\left( x-2 \right)\left( x-4 \right)$không âm là
A.$0$. B.$1$. C.$2$. D.$3$.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Ta có $\left( x+3 \right)\left( x-2 \right)\left( x-4 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
& x=-3 \\
& x=4 \\
& x=2 \\
\end{align} \right.$
Bảng xét dấu $f\left( x \right)$

Dựa vào bảng xét dấu, để $f\left( x \right)$ không ấm thì $x\in \left[ -3,2 \right]\cup \left[ 4,+\infty \right)$.
Vậy có 3 số nghiệm nguyên âm $x$ thỏa YCBT.
III. Thực hành
Câu 1. Cho biểu thức $f\left( x \right)=\left( x+5 \right)\left( 3-x \right).$ Tập hợp tất cả các giá trị của $x$ thỏa mãn bất phương trình $f\left( x \right)\le 0$ là
A. $x\in \left( -\,\infty ;5 \right)\cup \left( 3;+\,\infty \right).$
B. $x\in \left( 3;+\,\infty \right).$
C. $x\in \left( -\,5;3 \right).$
D. $x\in \left( -\,\infty ;-\,5 \right]\cup \left[ 3;+\,\infty \right).$
Câu 2. Cho biểu thức $f\left( x \right)=\left( 2x-1 \right)\left( {{x}^{3}}-1 \right).$ Tập hợp tất cả các giá trị của $x$ để $f\left( x \right)\ge 0$ là
A. $\left[ \frac{1}{2};1 \right].$
B. $\left( -\infty ;-\frac{1}{2} \right)\cup \left( 1;+\infty \right).$
C. $\left( -\infty ;\frac{1}{2} \right]\cup \left[ 1;+\infty \right).$
D. $\left( \frac{1}{2};1 \right).$
Câu 3. Tập nghiệm của bất phương trình $\left( 2x+8 \right)\left( 1-x \right)>0$ có dạng $\left( a;b \right).$ Khi đó $b-a$ bằng
A. $3.$ B. $5.$ C. $9.$ D. không giới hạn.
Câu 4. Nghiệm nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình $\left( x-1 \right)\sqrt{x\left( x+2 \right)}\ge 0$ là
A. $x=-2.$ B. $x=0.$ C. $x=1.$ D. $x=2.$
Câu 5. Tập nghiệm của bất phương trình $f\left( x \right)=\frac{2-x}{2x+1}\ge 0$
A. $S=\left( -\frac{1}{2};2 \right)$.
B. $S=\left( -\infty ;-\frac{1}{2} \right)\cup \left( 2;+\infty \right)$.
C. $S=\left( -\infty ;-\frac{1}{2} \right)\cup \left[ 2;+\infty \right)$.
D. $S=\left( -\frac{1}{2};2 \right]$.
—————————-
0 Bình luận