Dấu tam thức bậc hai

Dấu tam thức bậc hai

A. LÝ THUYẾT.

1. Tam thức bậc hai

Tam thức bậc hai (đối với $x$) là biểu thức dạng $a{{x}^{2}}+bx+c$. Trong đó $a,b,c$ là nhứng số cho trước với $a\ne 0$.

Nghiệm của phương trình $a{{x}^{2}}+bx+c=0$ được gọi là nghiệm của tam thức bậc hai $f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c$; $\Delta ={{b}^{2}}-4ac$ và $\Delta ‘=b{{‘}^{2}}-ac$ theo thứ tự được gọi là biệt thức và biệt thức thu gọn của tam thức bậc hai $f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c$.

2. Dấu của tam thức bậc hai

Dấu của tam thức bậc hai được thể hiện trong bảng sau

$f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c,\,\,\left( a\ne 0 \right)$
$\Delta <0$	$a.f\left( x \right)>0,\,\,\forall x\in \mathbb{R}$
$\Delta =0$	$a.f\left( x \right)>0,\,\,\forall x\in \mathbb{R}\backslash \left\{ -\frac{b}{2\text{a}} \right\}$
$\Delta >0$	$a.f\left( x \right)>0,\,\,\forall x\in \left( -\infty ;{{x}_{1}} \right)\cup \left( {{x}_{2}};+\infty  \right)$
$a.f\left( x \right)<0,\,\,\forall x\in \left( {{x}_{1}};\text{ }{{x}_{2}} \right)$

Nhận xét: Cho tam thức bậc hai $a{{x}^{2}}+bx+c$

• $a{{x}^{2}}+bx+c>0,\,\forall x\in R\,\,\Leftrightarrow \,\left\{ \begin{align}
& a>0 \\
& \Delta <0 \\ \end{align} \right.$;

• $a{{x}^{2}}+bx+c\ge 0,\,\forall x\in R\,\,\Leftrightarrow \,\left\{ \begin{align}
& a>0 \\
& \Delta \le 0 \\
\end{align} \right.$

• $a{{x}^{2}}+bx+c<0,\,\forall x\in R\,\,\Leftrightarrow \,\left\{ \begin{align} & a<0 \\ & \Delta <0 \\ \end{align} \right.$;

• $a{{x}^{2}}+bx+c\le 0,\,\forall x\in R\,\,\Leftrightarrow \,\left\{ \begin{align}
& a<0 \\ & \Delta \le 0 \\ \end{align} \right.$

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

Phương pháp bảng

Dựa vào định lí về dấu của tam thức bậc hai để xét dấu của biểu thức chứa nó.

* Đối với đa thức bậc cao $P(x)$ ta làm như sau

       · Phân tích đa thức $P\left( x \right)$ thành tích các tam thức bậc hai (hoặc có cả nhị thức bậc nhất)

       · Lập bảng xét dấu của$P\left( x \right)$ . Từ đó suy ra dấu của nó .

* Đối với phân thức $\frac{P(x)}{Q(x)}$(trong đó $P\left( x \right),\,\,Q\left( x \right)$ là các đa thức) ta làm như sau

       · Phân tích đa thức $P\left( x \right),\,\,Q\left( x \right)$ thành tích các tam thức bậc hai (hoặc có cả nhị thức bậc nhất)

       · Lập bảng xét dấu của $\frac{P(x)}{Q(x)}$. Từ đó suy ra dấu của nó.

Dạng 1: Xét dấu biểu thức chứa tam thức bậc hai.

Ví dụ 1. Xét dấu tam thức sau: $f(x) = {x^2} – x + 1$.

Giải

• a=1>0.
• $\Delta = {1^2} – 4.1.1 = – 3 < 0$.

Vậy : $f(x) = {x^2} – x + 1 > 0,\forall x \in R.$

Ví dụ 2. Xét dấu tam thức sau: $f(x) = {x^2} – 2x + 1$.

Giải

• a=1>0.
• $\Delta ‘ = {1^2} – 1.1 = 0$.
• $ – \frac{b}{{2a}} = – \frac{{ – 2}}{{2.1}} = 1$.

Dấu của f(x).

x	$ – \infty $		1		$ + \infty $
$f(x) = {x^2} – 2x + 1$		+	0	+

Vậy: $f(x) > 0,\forall x \ne 1.$

Ví dụ 3: Xét dấu tam thức sau: $f(x) = – {x^2} – 2x + 3$.

Giải

• a=-1<0.
• $\Delta ‘ = {1^2} – ( – 1).3 = 4 > 0$.
• $f(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1;x = – 3$.

Dấu f(x).

x	$ – \infty $		-3		1		$ + \infty $
$f(x) = {x^2} – 2x + 1$		–	0	+	0	–

Vậy:

• $f(x) > 0,\forall x \in \left( { – 3;1} \right)$.
• $f(x) < 0,\forall x \in \left( { – \infty ; – 3} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)$.

Chú ý: Dùng phương pháp nhẩm nghiệm ta có thể tìm ngay được hai nghiệm của tam thức. Khi đó delta hiển nhiên dương. Do vậy, việc tính delta là không cần thiết.

Dạng 2 . Xét dấu biểu thức dạng tích

Ví dụ.

Xét dấu biểu thức sau: $f(x) = \left( { – {x^2} + x – 1} \right)\left( {6{x^2} – 5x + 1} \right)$.

A. $f(x)>0$ khi và chỉ khi $x\in \left( \frac{1}{3};\frac{1}{2} \right)$

 B. $f(x)<0$ khi và chỉ khi $x\in \left( \frac{1}{3};\frac{1}{2} \right)$

C. $f(x)>0$ khi và chỉ khi  $x\in \left( -\infty ;\frac{1}{3} \right)\cup \left( \frac{1}{2};+\infty  \right)$

D. $f(x)<0$ khi và chỉ khi  $x\in \left( -\infty ;\frac{1}{3} \right)$

Giải

Bước 1. Tìm nghiệm f(x)=0.

Ta có:

• $-{{x}^{2}}+x-1=0$ vô nghiệm.
• $6{{x}^{2}}-5x+1=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}$ hoặc $x=\frac{1}{3}$

Bước 2. Bảng xét dấu f(x).

x	$-\infty $	$\frac{1}{3}$		$\frac{2}{3}$	$+\infty $
$-{{x}^{2}}+x-1$	–	|	–	|	–
$6{{x}^{2}}-5x+1$	+	0	–	0	+
f(x)	–	0	+	0	–

Vậy: Suy ra $f(x)>0$ khi và chỉ khi $x\in \left( \frac{1}{3};\frac{1}{2} \right)$ .

Chọn: A

Dạng 3. Xét dấu biểu thức dạng chứa ẩn dưới mẫu (dạng thương)

Ví dụ: Xét dấu biểu thức sau: $f(x) = \frac{{{x^2} – x – 2}}{{ – {x^2} + 3x + 4}}$.

Giải

Bước 1. Tìm nghiệm tử và mẫu.

• $TS = 0 \Leftrightarrow {x^2} – x – 2 = 0 \Leftrightarrow x = – 1;x = 2.$
• $MS = 0 \Leftrightarrow – {x^2} + 3x + 4 = 0 \Leftrightarrow x = – 1;x = 4$.

Bước 2. Lập bảng dấu f(x).

x	$ – \infty $		-1		2		4		$ + \infty $
${{x}^{2}}-x-2$		+	0	–	0	+	|	+
$-{{x}^{2}}+3x+4$		–	0	+	|	+	0	–
f(x)		–	||	–	0	+	||	–

Suy ra:

• $f(x)>0$ dương khi và chỉ khi $x\in \left( 2;4 \right)$.
• $f(x)<0$ âm khi và chỉ khi  $x\in \left( -\infty ;-1 \right)\cup \left( -1;2 \right)\cup \left( 4;+\infty  \right)$.

Chọn: B

Dạng 4: Bài toán Tam thức bậc hai luôn mang một dấu

Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi giá trị của $m$ thì phương trình $m{{x}^{2}}-\left( 3m+2 \right)x+1=0$ luôn có nghiệm

Giải

• Với $m=0$ phương trình trở thành $-2x+1=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}$ suy ra phương trình có nghiệm

• Với $m\ne 0$, ta có $\Delta ={{\left( 3m+2 \right)}^{2}}-4m=9{{m}^{2}}+8m+4$

Vì tam thức $9{{m}^{2}}+8m+4$ có ${{a}_{m}}=9>0,\,\,\Delta {{‘}_{m}}=-20<0$ nên $9{{m}^{2}}+8m+4>0$ với mọi $m$

Do đó phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi $m$.

Ví dụ 2: Tìm các giá trị của  để biểu thức: $f\left( x \right)=m{{x}^{2}}-x-1$ sau luôn âm.

 A. $-\frac{1}{4}<m<0$         B. $-\frac{1}{4}<m$ 

C. $m<0$        D.$m\in \left( -\infty ;-\frac{1}{4} \right)\cup \left( 0;+\infty  \right)$.

Giải

• Với  thì $f\left( x \right)=-x-1$ lấy cả giá trị dương(chẳng hạn $f\left( -2 \right)=1$) nên $m=0$ không thỏa mãn yêu cầu bài toán

• Với $m\ne 0$ thì $f\left( x \right)=m{{x}^{2}}-x-1$ là tam thức bậc hai dó đó

\[\begin{array}{l}
f\left( x \right) < 0,\,\,\forall x\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = m < 0}\\ {\Delta = 1 + 4m < 0} \end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m < 0}\\ {m > – \frac{1}{4}}
\end{array} \Leftrightarrow – \frac{1}{4} < m < 0} \right. \end{array}\]

Vậy với $-\frac{1}{4}<m<0$ thì biểu thức $f\left( x \right)$ luôn âm.

III. Vận dụng

Bài 1: Xét dấu các tam thức sau: $f(x)=-2{{x}^{2}}+3x-1$

 A. $f(x)<0$ $\Leftrightarrow x\in (\frac{1}{2};1)$;                              

B. $f(x)>0$ $\Leftrightarrow x\in (-\infty ;\frac{1}{2})\cup (1;+\infty )$.

C. $f(x)<0$ $\Leftrightarrow x\in (-\infty ;\frac{1}{2})\cup (1;+\infty )$.    

D. $f(x)<0$$\Leftrightarrow x\in (-\infty ;\frac{1}{2})$.                                    

Bài 2. Xét dấu: $f(x)=\frac{3x+7}{{{x}^{2}}-x-2}+5$

A. $f(x)<0\Leftrightarrow x\in (-\infty ;-1)\cup \left( -\frac{3}{5};1 \right)\cup (2;+\infty )$

B. $f(x)>0\Leftrightarrow x\in (-\infty ;-1)\cup \left( -\frac{3}{5};1 \right)$

C. $f(x)<0\Leftrightarrow x\in \left( -1;-\frac{3}{5} \right)\cup \left( 1;2 \right)$           

D. $f(x)>0\Leftrightarrow x\in \left( -1;-\frac{3}{5} \right)\cup \left( 1;2 \right)$

Bài 3. Tìm các giá trị của $m$ để biểu thức sau luôn âm:$g\left( x \right)=\left( m-4 \right){{x}^{2}}+\left( 2m-8 \right)x+m-5$.

 A. $m<4$                      B. $m\le 4$                   

C. $m>4$                      D.$m\le 2$

Bài 4: Tìm các giá trị của $m$ để biểu thức sau luôn dương: $h\left( x \right)=\frac{-{{x}^{2}}+4\left( m+1 \right)x+1-4{{m}^{2}}}{-4{{x}^{2}}+5x-2}$                                             

 A. $m<-\frac{5}{8}$   B. $m\le -\frac{5}{8}$

C. $m>-\frac{5}{8}$   D.$m<-\frac{3}{8}$

————————-