Dãy số

Dãy số

I. Các định nghĩa

1.Dãy số

a) Mỗi hàm số \(u\) xác định trên tập số nguyên dương \(\mathbb N\)^* được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số).

Kí hiệu:

\(u: {\mathbb N}^* \to \mathbb R\)

\(n → u(n)\)

Dãy số thường được viết dưới dạng khai triển u₁, u₂,u₃, ….,u_n,….,

trong đó:

• u₁ là số hạng đầu của dãy số (u_n )
• u_n = u(n) là số hạng thứ n và gọi nó là số hạng tổng quát.

Ta có thể viết dãy số dưới dạng khai triển \({u_1},{u_2},…,{u_n},…\) hoặc dạng rút gọn \(({u_n})\)

b) Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1, 2, 3, …, m}, với \(m \in {\mathbb N}^*\) được gọi là một dãy số hữu hạn.

Dạng khai triển của nó là: u₁, u₂,u₃, ….,u_m,

trong đó:

• u₁ là số hạng đầu.
• U_m là số hạng cuối.

2. Cách cho một dãy số

a) Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát.

Khi đó u_n= f(n), trong đó f là một hàm số xác định trên \({\mathbb N}^*\)

Đây là cách khá thông dụng (giống như hàm số) và nếu biết giá trị của n (hay cúng chính là số thứ tự của số hạng) thì ta có thể tính ngay được U_n.

b) Dãy số cho bằng phương pháp mô tả

Người ta cho một mệnh đề mô tả cách xác định các số hạng liên tiếp của dãy số. Tuy nhiên, thường thì không tìm ngay được U_n với n tuỳ ý.

c) Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi (hay quy nạp)

– Cho số hạng thứ nhất (hoặc một vài số hạng đầu).

– Với n ≥ 2, cho một công thức tính Un nếu biết U_n-1 (hoặc một vài số hạng đứng trước đó)

Chẳng hạn, các công thức có thể là:

\(\left\{ \matrix{
{u_1} = a \hfill \cr
{u_n} = f({u_{n – 1}}),n \ge 2 \hfill \cr} \right.\)

Hoặc

\(\left\{ \matrix{
{u_1} = a,{u_2} = b \hfill \cr
{u_n} = f({u_{n – 1}},{u_{n – 2}}),n \ge 3 \hfill \cr} \right.\)

3) Dãy số tăng, dãy số giảm

– Dãy số U_n được gọi là dãy số tăng nếu u_n+1 > u_n với mọi \(n \in {\mathbb N}^*\) ;

– Dãy số U_n được gọi là dãy số giảm nếu u_n+1 < u_n với mọi \(n \in {\mathbb N}^*\) .

4. Dãy số bị chặn

– Dãy số U_n được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho:

U_n ≤ M, với mọi \(n \in {\mathbb N}^*\)^.

– Dãy số U_n được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho:

U_n ≥ m, với mọi \(n \in {\mathbb N}^*\)^.

– Dãy số U_n được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới tức là tồn tại hai số m, M sao cho:

m ≤ U_n ≤ M, với mọi \(n \in {\mathbb N}^*\)

II. Các dạng bài tập

Dạng 1. Xác định dãy số

Ví dụ 1.

Cho hàm số f(n)=12n−1, n ∈ N*. Tính f(1), f(2), f(3), f(4), f(5).

Giải

f(1)=12.1−1=12−1=11=1

f(2)=12.2−1=14−1=13

f(3)=12.3−1=16−1=15

f(4)=14.2−1=18−1=17

f(5)=15.2−1=110−1=19

Ví dụ 2.

Viết năm số hạng đầu và số hạng tổng quát của các dãy số sau:

• Dãy nghịch đảo của các số tự nhiên lẻ.

• Dãy các số tự nhiên chia cho 3 dư 1.

Lời giải:

a) Dãy các số tự nhiên lẻ là:1; 2; 3; 4; 5;…

• Nghịch đảo của chúng là: $1;\frac{1}{2};\frac{1}{3};\frac{1}{4};\frac{1}{5};…$.

• Số hạng tổng quát: $\frac{1}{{2n + 1}};n \in {N^*}$

b) Dãy các số tự nhiên là: 1; 2; 3; 4; 5;…

• Dãy các số tự nhiên chia cho 3 dư 1 là: 1;4;7;10;13; 15;…

• Số hạng tổng quát của dãy số: $3n + 1;n \in {N^*}$

Ví dụ 3.

Cho các dãy số (u_n) và (v_n) với ${u_n}\; = {\rm{ }}1{\rm{ }} + \;\frac{1}{n}$ ; v_n = 5n – 1. Tính u_n+1, v_n+1.

Lời giải

Thay giá trị n+1 vào hai dãy tìm u_n+1, v_n+1

Ta có

${u_{n + 1}}\; = {\rm{ }}1{\rm{ }} + \;\frac{1}{{n + 1}}$.

v_n+1= 5(n + 1) – 1 = 5n + 4

Ví dụ 4

Cho dãy số \(({u_n})\) được xác định bởi \({u_n} = \frac{{{n^2} + 3n + 7}}{{n + 1}}\)

a) Viết năm số hạng đầu của dãy;

b) Dãy số có bao nhiêu số hạng nhận giá trị nguyên.

Giải

a) Ta có năm số hạng đầu của dãy

\({u_1} = \frac{{{1^2} + 3.1 + 7}}{{1 + 1}} = \frac{{11}}{2}\), \({u_2} = \frac{{17}}{3},{u_3} = \frac{{25}}{4},{u_4} = 7,{u_5} = \frac{{47}}{6}\)

b) Ta có: \({u_n} = n + 2 + \frac{5}{{n + 1}}\), do đó \({u_n}\) nguyên khi và chỉ khi \(\frac{5}{{n + 1}}\) nguyên hay \(n + 1\) là ước của 5. Điều đó xảy ra khi \(n + 1 = 5 \Leftrightarrow n = 4\)

Vậy dãy số có duy nhất một số hạng nguyên là \({u_4} = 7\).

Ví dụ 5:

Cho dãy số \(({u_n})\)xác định bởi:\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_n} = 2{u_{n – 1}} + 3{\rm{  }}\forall n \ge 2\end{array} \right.\).

a) Viết năm số hạng đầu của dãy;

b) Chứng minh rằng \({u_n} = {2^{n + 1}} – 3\);

c) Số hạng thứ \({2012^{2012}}\) của dãy số có chia hết cho 7 không?

Hướng dẫn:

a) Ta có 5 số hạng đầu của dãy là:

\({u_1} = 1;\)\({u_2} = 2{u_1} + 3 = 5\); \({u_3} = 2{u_2} + 3 = 13;{\rm{ }}{u_4} = 2{u_3} + 3 = 29\)

\({u_5} = 2{u_4} + 3 = 61\).

b) Ta chứng minh bài toán bằng phương pháp quy nạp

* Với \(n = 1 \Rightarrow {u_1} = {2^{1 + 1}} – 3 = 1 \Rightarrow \) bài toán đúng với \(N = 1\)

* Giả sử \({u_k} = {2^{k + 1}} – 3\), ta chứng minh \({u_{k + 1}} = {2^{k + 2}} – 3\)

Thật vậy, theo công thức truy hồi ta có:

\({u_{k + 1}} = 2{u_k} + 3 = 2({2^{k + 1}} – 3) + 3 = {2^{k + 2}} – 3\) đpcm.

c) Ta xét phép chia của \(n\) cho 3

* \(n = 3k \Rightarrow {u_n} = 2({2^{3k}} – 1) – 1\)

Do \({2^{3k}} – 1 = {8^k} – 1 = 7.A \vdots 7 \Rightarrow {u_n}\) không chia hết cho 7

* \(n = 3k + 1 \Rightarrow {u_n} = 4({2^{3k}} – 1) + 1 \Rightarrow {u_n}\) không chia hết cho 7

* \(n = 3k + 2 \Rightarrow {u_n} = 8({2^{3k}} – 1) + 5 \Rightarrow {u_n}\) không chia hết cho 7

Vậy số hạng thứ \({2012^{2012}}\) của dãy số không chia hết cho 7.

 

Dạng 2. Khảo sát tính đơn điệu của dãy số (U_n)

Phương pháp khảo sát tính đơn điệu của dãy số (U_n)

Phương pháp 1: Xét hiệu H = u_n+1 – u_n.

– Nếu H > 0 với mọi \(n \in {\mathbb N}^*\) thì dãy số tăng

– Nếu H < 0 với mọi \(n \in {\mathbb N}^*\) thì dãy số giảm.

Phương pháp 2:

Nếu u_n > 0 với mọi \(n \in {\mathbb N}^*\) thì lập tỉ số \({{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}}\), rồi so sánh với 1.

– Nếu \({{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}} > 1\) với mọi \(n \in {\mathbb N}^*\) thì dãy số tăng.

– Nếu \({{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}} < 1\) với mọi \(n \in {\mathbb N}^*\) thì dãy số giảm.

Ví dụ 1.

Cho các dãy số (u_n) và (v_n) với ${u_n}\; = {\rm{ }}1{\rm{ }} + \;\frac{1}{n}$ ; v_n = 5n – 1. Khỏa sát tính đơn điệu của dãy.

Giải

Phương pháp 1:

Xét hiệu u_n+1−u_n,v_n+1−v_n

${u_{n + 1}} – {u_n} = (1 + \frac{1}{{n + 1}}) – (1 + \frac{1}{n}) = \frac{1}{{n + 1}} – \frac{1}{n} = \frac{{ – 1}}{{n(n + 1)}}$

$ \Rightarrow {\rm{ }}{u_{n + 1}}\; < {\rm{ }}{u_n}\;,{\rm{ }}\forall n{\rm{ }} \in {\rm{ }}N*$

Vậy ${u_n} < {u_{n + 1}}$ suy ra dãy ${u_n}\; = {\rm{ }}1{\rm{ }} + \;\frac{1}{n}$ tăng.

${v_{n + 1}} – {v_n} = (5n + 4) – (5n – 1) = 5 > 0$

$ \Rightarrow \;{v_{n + 1}}\; > {\rm{ }}{v_n}\;,\forall n{\rm{ }} \in {\rm{ }}N*$

Vậy: ${u_n} < {u_{n + 1}}$ suy ra dãy v_n = 5n – 1 tăng

Phương pháp 2.

$\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}\; = {\rm{ }}\frac{{1{\rm{ }} + \;\frac{1}{{n + 1}}}}{{1 + \frac{1}{n}}} = \frac{{\frac{{n + 2}}{{n + 1}}}}{{\frac{{n + 1}}{n}}} = \frac{{n + 2}}{n} = 1 + \frac{2}{n} > 1$

Suy ra: ${u_n} < {u_{n + 1}}$. Vậy dãy ${u_n}\; = {\rm{ }}1{\rm{ }} + \;\frac{1}{n}$ tăng.

$\frac{{{v_{n + 1}}}}{{{v_n}}} = \frac{{5n + 4}}{{5n – 1}} = \frac{{\left( {5n – 1} \right) + 5}}{{5n – 1}} = 1 + \frac{5}{{5n – 1}} > 1;\forall n \in {N^*}$ $ \Rightarrow {v_n} < {v_{n + 1}}$

Vậy dãy v_n = 5n – 1 tăng.

Dạng 3. Dãy bị chặn

Ví dụ 1:

Cho dãy số \(({u_n}):\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\{u_n} = \frac{{{u_{n – 1}} + 1}}{2}{\rm{ }}\forall n \ge 2\end{array} \right.\). Chứng minh rằng dãy \(({u_n})\) là dãy giảm và bị chặn.

Giải:

Ta có: \({u_n} – {u_{n – 1}} = \frac{{1 – {u_{n – 1}}}}{2}\)

Do đó, để chứng minh dãy (u_n) giảm ta chứng minh \({u_n} > 1{\rm{ }}\forall n \ge 1\)

Thật vậy:

Với \(n = 1 \Rightarrow {u_1} = 2 > 1\)

Giả sử \({u_k} > 1 \Rightarrow {u_{k + 1}} = \frac{{{u_k} + 1}}{2} > \frac{{1 + 1}}{2} = 1\)

Theo nguyên lí quy nạp ta có \({u_n} > 1{\rm{ }}\forall n \ge 1\)

Suy  ra \({u_n} – {u_{n – 1}} < 0 \Leftrightarrow {u_n} < {u_{n – 1}}{\rm{  }}\forall n \ge 2\) hay dãy (u_n) giảm

Theo chứng minh trên, ta có: \(1 < {u_n} < {u_1} = 2{\rm{ }}\forall n \ge 1\)

Vậy dãy (u_n) là dãy bị chặn.

III. Luyện tập

Câu 1: Tìm số hạng thứ 100 và 200 của dãy số \({u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}}.\)

• A. ${u_{100}} = \frac{7}{{34}}; {u_{200}} = \frac{{401}}{{202}}$
• B. ${u_{100}} = \frac{{67}}{{34}};{u_{200}} = \frac{{401}}{{22}}$
• C. ${u_{100}} = \frac{{67}}{4}; {u_{200}} = \frac{{401}}{{202}}$
• D. ${u_{100}} = \frac{{67}}{{34}}; {u_{200}} = \frac{{401}}{{202}}$

Câu 2: Dãy số \({u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}}\) có bao nhiêu số hạng là số nguyên.

• • A. 1
  • B. 12
  • C. 2
  • D. 0

Câu 3: Dãy số ${u_n} = 2n + \sqrt {{n^2} + 4}$ có bao nhiêu số hạng là những số nguyên.

• • A. 1
  • B. 2
  • C. 3
  • D. 0

Câu 4: Cho dãy số $({u_n})$ được xác định bởi ${u_n} = {5.2^{n – 1}} – 3$ với $\forall n \ge 2$. Số hạng có 3 chữ số lớn nhất của dãy là bao nhiêu?

• • A. \({u_{11}}\)
  • B. \({u_{10}}\)
  • C. \({u_{22}}\)
  • D. \({u_{21}}\)

Câu 5: Cho dãy số \(({u_n})\) có 4 số hạng đầu là :\({u_1} = 1,{u_2} = 3,\) \({u_3} = 6,{u_4} = 10\). Hãy tìm một quy luật của dãy số trên.

• • A. \({u_n} = \frac{{3n(n + 1)}}{2}\)
  • B. \({u_n} = \frac{{n(n + 2)}}{2}\)
  • C. \({u_n} = \frac{{n(n + 1)}}{3}\)        
  • D. \({u_n} = \frac{{n(n + 1)}}{2}\)