Đề 001-TN THPT QG

Đề 001-TN THPT QG

Câu 47. Cho hàm số bậc ba $y=f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ, biết $f\left( x \right)$ đạt cực tiểu tại điểm $x=1$ và thỏa mãn $\left[ f\left( x \right)+1 \right]$ và $\left[ f\left( x \right)-1 \right]$ lần lượt chia hết cho ${{\left( x-1 \right)}^{2}}$ và ${{\left( x+1 \right)}^{2}}$. Gọi ${{S}_{1}},{{S}_{2}}$ lần lượt là diện tích như trong hình bên. Tính $2{{S}_{2}}+8{{S}_{1}}$

A. $4$                             B. $\frac{3}{5}$           C. $\frac{1}{2}$           D. $9$

Hướng dẫn giải

Chọn A

Đặt $f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ theo giả thiết có

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {f\left( x \right) + 1 = a{{\left( {x – 1} \right)}^2}\left( {x + m} \right)}\\ {f\left( x \right) – 1 = a{{\left( {x + 1} \right)}^2}\left( {x + n} \right)} \end{array}} \right.$

Do đó:

$\begin{array}{l} \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {f\left( 1 \right) + 1 = 0}\\ {f\left( { – 1} \right) – 1 = 0}\\ {f\left( 0 \right) = 0}\\ {f’\left( 1 \right) = 0} \end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {a + b + c + d + 1 = 0}\\ { – a + b – c + d – 1 = 0}\\ {d = 0}\\ {3a + 2b + c = 0} \end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {a = \frac{1}{2}}\\ {b = 0}\\ {c = – \frac{3}{2}}\\ {d = 0} \end{array}} \right. \end{array}$

$ \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{1}{2}{x^3} – \frac{3}{2}x$

Với $x=1\Rightarrow f\left( 1 \right)=-1$ Ta có:

$f\left( x \right) = \frac{1}{2}{x^3} – \frac{3}{2}x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 0}\\ {x = \pm \sqrt 3 } \end{array}} \right.$

${{S}_{1}}$ là diện tích giới hạn bởi đồ thị $y=\frac{1}{2}{{x}^{3}}-\frac{3}{2}x$,$y=-1$, $x=0,x=1$

\[\Rightarrow {{S}_{1}}=\int\limits_{0}^{1}{\left| \frac{1}{2}{{x}^{3}}-\frac{3}{2}x+1 \right|=\frac{3}{8}}\]

$\left( 1 \right)$

${{S}_{2}}$ là diện tích giới hạn bởi đồ thị $y=\frac{1}{3}{{x}^{2}}-\frac{3}{2}x$, $y=0,x=1,x=\sqrt{3}$

$\Rightarrow {{S}_{2}}=\int\limits_{1}^{\sqrt{3}}{\left| \frac{1}{2}{{x}^{3}}-\frac{3}{2}x \right|=\frac{1}{2}}$

$\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right)$

                  $\Rightarrow 2{{S}_{2}}+8{{S}_{1}}=2.\frac{1}{2}+8.\frac{3}{8}=4$.

Trở lại đề thi