Đề 001-TN THPT QG

Đề 001-TN THPT QG

Câu 48. Có bao nhiêu cặp số nguyên $\left( x,y \right)$ với $1\le x\le 2020$ thỏa mãn $x\left( {{2}^{y}}+y-1 \right)=2-{{\log }_{2}}{{x}^{x}}$

A. $4$                             B. $9$                           C. $10$                         D. $11$

Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có $x\left( {{2}^{y}}+y-1 \right)=2-{{\log }_{2}}{{x}^{x}}\Leftrightarrow x{{\log }_{2}}x+x\left( {{2}^{y}}+y-1 \right)=2$.

Đặt $t={{\log }_{2}}x\Leftrightarrow x={{2}^{t}}$.

Khi đó ${{2}^{t}}.t+{{2}^{t}}\left( {{2}^{y}}+y-1 \right)=2\Leftrightarrow t+{{2}^{y}}+y-1={{2}^{1-t}}\Leftrightarrow {{2}^{y}}+y={{2}^{1-t}}+\left( 1-t \right)$

$\Leftrightarrow y=1-t\Leftrightarrow t=1-{{\log }_{2}}x\Leftrightarrow {{\log }_{2}}x=1-y\Leftrightarrow x={{2}^{1-y}}$

Vì $1\le x\le 2020\Leftrightarrow 1\le {{2}^{1-y}}\le 2020\Leftrightarrow 0\le 1-y\le {{\log }_{2}}2020\Leftrightarrow 1-{{\log }_{2}}2020\le y\le 1$

Khi đó $y\in \left\{ -9;…;1 \right\},x={{2}^{1-y}}\Rightarrow 11.1=11$ cặp số nguyên thỏa mãn.

Trở lại đề thi