Đề 002-TN THPT QG

Đề 002-TN THPT QG

Câu 38. Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$ và thỏa mãn $2f\left( 3x \right)+3f\left( \frac{2}{x} \right)=-\frac{15x}{2}$, $\int\limits_{3}^{9}{f\left( x \right)dx}=k$. Tính $I=\int\limits_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}}{f\left( \frac{1}{x} \right)dx}$ theo k.

A. $I=-\frac{45+k}{9}$. 

B. $I=\frac{45-k}{9}$.   

C. $I=\frac{45+k}{9}$.  

D. $I=\frac{45-2k}{9}$.

Hướng dẫn và lời giải

Đáp án A

Đặt $t=2x\Rightarrow dx=\frac{1}{2}dt$. Đổi cận

$\left| \begin{array}{l} x = \frac{1}{2} \Rightarrow t = 1\\ x = \frac{3}{2} \Rightarrow t = 3 \end{array} \right.$

Khi đó $I=\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{2}{f\left( \frac{2}{t} \right)dx}$.

Mà $2f\left( 3x \right)+3f\left( \frac{2}{x} \right)=-\frac{15x}{2}\Leftrightarrow f\left( \frac{2}{x} \right)=-\frac{5x}{2}-\frac{2}{3}f\left( 3x \right)$

Nên $I=\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{3}{\left[ -\frac{5x}{2}-\frac{2}{3}f\left( 3x \right) \right]dx}=-\frac{5}{4}\int\limits_{1}^{3}{xdx}-\frac{1}{3}\int\limits_{1}^{3}{f\left( 3x \right)dx}=-5-\frac{1}{3}\int\limits_{1}^{3}{f\left( 3x \right)dx}\,\,\,\left( * \right)$

Đặt $u=3x\Rightarrow dx=\frac{1}{3}dx$. Đổi cận

$\left| \begin{array}{l} x = 1 \Rightarrow u = 3\\ x = 3 \Rightarrow t = 9 \end{array} \right.$

Khi đó $I=-5-\frac{1}{9}\int\limits_{3}^{9}{f\left( t \right)dt}=-5-\frac{k}{9}=-\frac{45+k}{9}$.

Trở lại đề thi