Đề 002-TN THPT QG

Đề 002-TN THPT QG

Câu 42. Cho hàm số $f(x)$ liên tục và dương trên $\left( 0;+\infty  \right)$ thỏa mãn ${f}’\left( x \right)+\left( 2x+4 \right){{f}^{2}}\left( x \right)=0$ và $f\left( 0 \right)=\frac{1}{3}$. Tính tổng $S=f\left( 0 \right)+f\left( 1 \right)+f\left( 2 \right)+…+f\left( 2018 \right)=\frac{a}{b}$ với $a\in \mathbb{Z},b\in \mathbb{N},\frac{a}{b}$ tối giản. Khi đó $b-a=?$

A. $\frac{1}{2}\left( \frac{2020}{2021}+\frac{1009}{2020} \right)$.   

B. $\frac{1}{2}\left( \frac{2020}{2021}-\frac{1009}{2020} \right)$.

C. $\frac{1}{2}\left( \frac{2020}{2021}+1 \right)$.

D. 2019.

Hướng dẫn và lời giải

Đáp án A

Xét ${f}’\left( x \right)+\left( 2x+4 \right){{f}^{2}}\left( x \right)=0\Leftrightarrow \frac{-{f}’\left( x \right)}{{{f}^{2}}\left( x \right)}=2x+4$

$\Rightarrow \int{\frac{-{f}’\left( x \right)}{{{f}^{2}}\left( x \right)}dx=\int{\left( 2x+4 \right)dx\Rightarrow \frac{1}{f\left( x \right)}={{x}^{2}}+4x+C}}$.

Vì $f\left( 0 \right)=\frac{1}{3}\Rightarrow C=3\Rightarrow f\left( x \right)=\frac{1}{{{x}^{2}}+4x+3}=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+3} \right)$.

Vậy $S=\left[ f\left( 0 \right)+f\left( 2 \right)+…+f\left( 2018 \right) \right]+\left[ f\left( 1 \right)+f\left( 3 \right)+…+f\left( 2017 \right) \right]$

$S=\frac{1}{2}\left[ 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2019}-\frac{1}{2021} \right]+\frac{1}{2}\left[ \frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+…+\frac{1}{2018}-\frac{1}{2020} \right]$ $S=\frac{1}{2}\left[ 1+\frac{1}{2}-\frac{1}{2020}-\frac{1}{2021} \right]=\frac{1}{2}\left[ \frac{2020}{2021}+\frac{1009}{2020} \right]$.

Trở về đề thi