Đề 002-TN THPT QG

Đề 002-TN THPT QG

Câu 44. Cho hình chóp SABC có $SA=SB=SC=a,\widehat{ASB}=\widehat{ASC}=90{}^\circ ,\widehat{BSC}=60{}^\circ $. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

A. $\frac{7\pi {{a}^{2}}}{18}$.                             

B. $\frac{7\pi {{a}^{2}}}{12}$.  

C. $\frac{7\pi {{a}^{2}}}{3}$.               

D. $\frac{7\pi {{a}^{2}}}{6}$.

Hướng dẫn và lời giải

Đáp án C

Ta có $AB=AC=a\sqrt{2},BC=a$, suy ra tam giác ABC cân tại A.

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, SB và SA.

Gọi $I=SM\cap CN$thì I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC.

Qua I dựng đường thẳng d song song với SA, dễ thấy $SA\bot \left( SBC \right)$ nên $d\bot \left( SBC \right)$, suy ra d là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC.

Trong mặt phẳng $\left( SAM \right)$ dựng trung trực của SA cắt d tại O, khi đó $OA=OS=OB=OC$ nên O là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp $S.ABC$.

Ta có $SM=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow SI=\frac{2}{3}SM=\frac{a}{\sqrt{3}}$. Tứ giác SIOP là hình chữ nhật nên

$O{{S}^{2}}=S{{I}^{2}}+S{{P}^{2}}=\frac{{{a}^{2}}}{3}+\frac{{{a}^{2}}}{4}=\frac{7{{a}^{2}}}{12}\Rightarrow SO=\frac{a\sqrt{21}}{6}$. Diện tích mặt cầu $S=4\pi .S{{O}^{2}}=4\pi .\frac{7{{a}^{2}}}{12}=\frac{7\pi {{a}^{2}}}{3}$.

Trở lại đề thi