Câu 50. Cho hai số thực $a$, $b$ thỏa mãn ${{\log }_{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2}}\left( 2a+4b+1 \right)\ge 1$. Giá trị lớn nhất của biểu thức $P=2a+b-3$ là
A. $2\sqrt{5}+1$.
B. $2\sqrt{5}-1$.
C. $2\sqrt{5}$.
D. $2\sqrt{5}-3$.
Hướng dẫn và Lời giải
Chọn A
Từ ${{\log }_{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2}}\left( 2a+4b+1 \right)\ge 1\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2a-4b+1\le 0\Leftrightarrow {{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( b-2 \right)}^{2}}\le 4$.
Khi đó: $P=2a+b-3=2\left( a-1 \right)+\left( b-2 \right)+1\le \sqrt{\left( {{2}^{2}}+{{1}^{2}} \right).\left[ {{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( b-2 \right)}^{2}} \right]\text{ }}+1\le \sqrt{20}+1=2\sqrt{5}+1$
(Áp dụng BĐT Bu-nhi-a- Cốp -xki)
Đẳng thức xảy ra khi
$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} \frac{{a – 1}}{2} = \frac{{b – 2}}{1} > 0\\ {\left( {a – 1} \right)^2} + {\left( {b – 2} \right)^2} = {\rm{ }}4 \end{array} \right.{\rm{ }}\\ \Leftrightarrow {\rm{ }}\left\{ \begin{array}{l} a = 1 + \frac{4}{{\sqrt 5 }}\\ b = 2 + \frac{2}{{\sqrt 5 }} \end{array} \right. \end{array}$Vậy ${{P}_{\text{max}}}=2\sqrt{5}+1$ khi
$\left\{ \begin{array}{l} a = 1 + \frac{4}{{\sqrt 5 }}\\ b = 2 + \frac{2}{{\sqrt 5 }} \end{array} \right.$
0 Bình luận