Đề 004-TN THPT QG

Câu 34. [Mức độ 3] Có bao nhiêu số nguyên $m$ để hàm số $f\left( x \right)=3x+m\sqrt{{{x}^{2}}+1}$ đồng biến trên $\mathbb{R}$?

A. $5$.                           

B. $1$.                         

C. $7$.                         

D. $2$.

Hướng dẫn và Lời giải

Chọn đáp án C

Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi ${f}’\left( x \right)=3+\frac{2mx}{2\sqrt{{{x}^{2}}+1}}\ge 0,\,\,\forall x\in \mathbb{R}$

$\Leftrightarrow -2mx\le 3\sqrt{{{x}^{2}}+1},\,\,\forall x\in \mathbb{R}$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – m \le \frac{{3\sqrt {{x^2} + 1} }}{x},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x > 0\\ – m \ge \frac{{3\sqrt {{x^2} + 1} }}{x},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x < 0 \end{array} \right.{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( * \right)$

$\bullet )$ Xét hàm số $g\left( x \right)=\frac{3\sqrt{{{x}^{2}}+1}}{x}$ với $x\ne 0$.

Ta có ${g}’\left( x \right)=-\frac{3}{{{x}^{2}}\sqrt{{{x}^{2}}+1}}<0,\,\,\forall x\ne 0$.

$\bullet )$ Bảng biến thiên của hàm số $g\left( x \right)=\frac{3\sqrt{{{x}^{2}}+1}}{x}$ với $x\ne 0$.

Dựa vào bảng biến thiên ta được

$\left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – m \le 3\\ – m \ge – 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow – 3 \le m \le 3$

Vậy có $7$ giá trị nguyên của $m$.

Trở lại đề thi


0 Bình luận

Trả lời

Avatar placeholder