Đề 004-TN THPT QG

Đề 004-TN THPT QG

Câu 35. Giả sử $f\left( x \right)$ là một hàm số có đạo hàm liên tục trên$\mathbb{R}$. Biết rằng $G\left( x \right)={{x}^{3}}$ là một nguyên hàm của hàm số $g\left( x \right)={{e}^{-2x}}f\left( x \right)$ trên $\mathbb{R}$. Họ tất cả các nguyên hàm của ${{e}^{-2x}}f’\left( x \right)$ là

A. $-2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+C$.                        

B. $2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+C$.         

C. ${{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+C$.                                

D. $-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+C$.

Hướng dẫn và Lời giải

Chọn đáp án B

Ta có $G\left( x \right)={{x}^{3}}$ là một nguyên hàm của hàm số $g\left( x \right)={{e}^{-2x}}f\left( x \right)$ trên $\mathbb{R}$, suy ra $\left( {{x}^{3}} \right)’={{e}^{-2x}}f\left( x \right)$. Hay ${{e}^{-2x}}f\left( x \right)=3{{x}^{2}}$.

Xét

$\left\{ \begin{array}{l} u = {e^{ – 2x}}\\ dv = f’\left( x \right)dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = – 2{e^{ – 2x}}\\ v = f\left( x \right) \end{array} \right.$

Vậy $I={{e}^{-2x}}f\left( x \right)-\int{\left( -2{{e}^{-2x}} \right)}f\left( x \right)dx={{e}^{-2x}}f\left( x \right)+2\int{{{e}^{-2x}}f\left( x \right)dx}=3{{x}^{2}}+2{{x}^{3}}+C=2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+C$.

Trở lại đề thi