Đề 004-TN THPT QG

Đề 004-TN THPT QG

Câu 39. Trong không gian $Oxyz,$cho mặt phẳng $(\alpha )$ vuông góc với đường thẳng $\Delta :\frac{x}{1}=\frac{y}{-2}=\frac{z}{3}$ và $(\alpha )$cắt trục $Ox$, trục $Oy$, tia $Oz$ lần lượt tại $M,N,P$. Biết rằng thể tích khối tứ diện $OMNP$bằng 6. Mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua điểm nào sau đây?

A. $B(1;-1;1)$.              

B. $A(1;-1;-3)$.           

C. $C(1;-1;2)$.            

D. $D(1;-1;-2).$

Hướng dẫn và Lời giải

Chọn đáp án A

Cách 1.

+ Do mặt phẳng $(\alpha )$ vuông góc với đường thẳng $\Delta :\frac{x}{1}=\frac{y}{-2}=\frac{z}{3}$ nên một vectơ pháp tuyến của $(\alpha )$ là $\vec{n}=(1;-2;3)$.

+ Gọi tọa độ của các điểm $M(a;0;0),\,N(0,b,0),\,P(0;0;c)$. Do $(\alpha )$ cắt tia $Oz$ nên $c>0.$

+ Ta có: $\overrightarrow{NM}=(a;-b;0),\,\overrightarrow{NP}=(0;b;-c)$

Do:

$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} \vec n \bot \overrightarrow {NM} \\ \vec n \bot \overrightarrow {NP} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \vec n.\overrightarrow {NM} = \vec 0\\ \vec n.\overrightarrow {NP} = \vec 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a + 2b = 0\\ – 2b – 3c = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = – 2b\\ c = – \frac{2}{3}b \end{array} \right.{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (I) \end{array}$

+ Mặt khác thể tích khối tứ diện $OMNP$ bằng 6 suy ra ${{V}_{OMNP}}=\frac{1}{6}OM.ON.OP=\frac{1}{6}\left| a \right|.\left| b \right|.c=6\Leftrightarrow \left| a \right|.\left| b \right|.c=36\,\,(1)$

+ Thế (I) vào (1) ta được $\left| -2b \right|.\left| b \right|.\left( -\frac{2}{3}b \right)=6\Leftrightarrow {{b}^{3}}=-27\Leftrightarrow b=-3\Rightarrow a=6,c=2.$

+ Khi đó, phương trình mặt phẳng $(\alpha )$là $(\alpha ):\frac{x}{6}+\frac{y}{-3}+\frac{z}{2}=1.$

+ Thay tọa độ các điểm $A,B,C,D$vào phương trình $(\alpha )$ta thấy tọa độ điểm B thỏa mãn.

Cách 2.

+ Do mặt phẳng $(\alpha )$ vuông góc với đường thẳng $\Delta :\frac{x}{1}=\frac{y}{-2}=\frac{z}{3}$ nên một vectơ pháp tuyến của $(\alpha )$ là $\vec{n}=(1;-2;3)$. Phương trình $(\alpha )$có dạng: $(\alpha ):x-2y+3z=D$

+ Do $(\alpha )$ cắt 3 trục tọa độ tại 3 điểm phân biệt nên $D\ne 0.$

+ Nên ta có $(\alpha ):x-2y+3z=D\Leftrightarrow \frac{x}{D}+\frac{y}{\frac{D}{-2}}+\frac{z}{\frac{D}{3}}=1.$

+ Khi đó, $(\alpha )$cắt trục $Ox$, trục $Oy$, tia $Oz$ lần lượt tại $M(D;0;0),\,N\left( 0;\frac{D}{-2};0 \right),\,P\left( 0;0;\frac{D}{3} \right).$

Vì $(\alpha )$cắt tia $Oz$ nên $D>0.$

+ Mặt khác, ${{V}_{OMNP}}=\frac{1}{6}OM.ON.OP=\frac{1}{6}\left| D \right|.\left| \frac{D}{-2} \right|.\frac{D}{3}=6\Leftrightarrow {{D}^{3}}=36\Rightarrow D=6.$

+ Phương trình mặt phẳng $(\alpha )$là: $(\alpha ):x-2y+3z=6.$

+ Thay tọa độ các điểm $A,B,C,D$vào phương trình $(\alpha )$ta thấy tọa độ điểm B thỏa mãn.

Trở lại đề thi