Đề 004-TN THPT QG

Đề 004-TN THPT QG

Câu 41. [Mức độ 3] Cho đồ thị $\left( C \right):y=\frac{x}{x-1}$. Đường thẳng $d$ đi qua điểm $I\left( 1;1 \right)$, cắt $\left( C \right)$ tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$. Khi diện tích tam giác $MAB$, với $M\left( 0;3 \right)$ đạt giá trị nhỏ nhất thì độ dài $AB$ bằng

A. $\sqrt{10}$.               

B. $\sqrt{6}$.              

C. $2\sqrt{2}$.            

D. $2\sqrt{3}$.

Hướng dẫn và Lời giải

Chọn đáp án A

Gọi $k$ là hệ số góc của đường thẳng $d$.

Phương trình của $d$ là $y=k\left( x-1 \right)+1\Leftrightarrow y=kx+1-k$.

Xét pt hoành độ giao điểm của $d$ và $\left( C \right)$: $\frac{x}{x-1}=kx+1-k$$\Leftrightarrow k{{x}^{2}}-2kx-1+k=0$ (1)

Đường thẳng $d$ cắt $\left( C \right)$ tại 2 điểm phân biệt $\left( 1 \right)$ có 2 nghiệm phân biệt khác 1.

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} k \ne 0\\ \Delta ‘ = {k^2} – k\left( {k – 1} \right) > 0\\ k – 2k – 1 + k \ne 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} k \ne 0\\ k > 0\\ – 1 \ne 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow k > 0 \end{array}$

Khi đó, giả sử $A\left( {{x}_{1}};k{{x}_{1}}+1-k \right)$, $B\left( {{x}_{2}};k{{x}_{2}}+1-k \right)$ là giao điểm của 2 đồ thị.

Ta có $AB=\sqrt{{{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}}+{{k}^{2}}{{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}}}=\sqrt{\left( {{k}^{2}}+1 \right){{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}}}$.

$d\left( M,AB \right)=\frac{\left| -3+1-k \right|}{\sqrt{{{k}^{2}}+1}}=\frac{\left| k+2 \right|}{\sqrt{{{k}^{2}}+1}}=\frac{k+2}{\sqrt{{{k}^{2}}+1}}$ (do $k>0$).

$\Rightarrow {{S}_{\Delta MAB}}=\frac{1}{2}AB.d\left( M,AB \right)=\frac{1}{2}\sqrt{\left( {{k}^{2}}+1 \right){{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}}.\frac{k+2}{\sqrt{{{k}^{2}}+1}}=\frac{k+2}{2}\sqrt{{{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}}}$.

$\Rightarrow {{S}_{\Delta MAB}}=\frac{k+2}{2}\sqrt{{{\left( {{x}_{2}}+{{x}_{1}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}}$ (2)

Áp dụng Vi et ta có ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2;\text{ }{{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\frac{k-1}{k}$. Thay vào (2) ta được

${{S}_{\Delta MAB}}=\frac{k+2}{2}\sqrt{4-\frac{4\left( k-1 \right)}{k}}=\frac{k+2}{2}\sqrt{\frac{4}{k}}=\sqrt{\frac{{{\left( k+2 \right)}^{2}}}{k}}$. Gọi $g\left( k \right)=\frac{{{\left( k+2 \right)}^{2}}}{k}=k+4+\frac{4}{k};\text{ }k>0$.

Có

$\begin{array}{l} g’\left( k \right) = \frac{{{k^2} – 4}}{{{k^2}}};{\rm{ }}\\ g’\left( k \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} k = 2\\ k = – 2(L) \end{array} \right. \end{array}$

Bảng biến thiên

Do đó, ${{S}_{\Delta MAB}}$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow k=2$.

Khi đó $AB=\sqrt{\left( {{2}^{2}}+1 \right)\left[ {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right]}=\sqrt{5.\left( 4-4.\frac{1}{2} \right)}=\sqrt{10}$.

Trở lại đề thi