Đề 004-TN THPT QG

Đề 004-TN THPT QG

Câu 42. [Mức độ 3] Cho hình lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}’$có $AB=A{A}’=2a$, $AC=a$, $\widehat{BAC}=120{}^\circ $. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $A.BC{C}'{B}’$ bằng

A. $\frac{a\sqrt{30}}{3}$.                                  

B. $\frac{a\sqrt{10}}{3}$.      

C. $\frac{a\sqrt{30}}{10}$.                                     

D. $\frac{a\sqrt{33}}{3}$.

Hướng dẫn và Lời giải

Chọn đáp án A

Gọi $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $A.BC{C}'{B}’$.

Vì $IA=IB=IC$ nên $I$ nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$. Mà $ABC.{A}'{B}'{C}’$ là

Hình lăng trụ đứng nên $I$ nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp $\Delta {A}'{B}'{C}’$.

Vì $IB=I{B}’$ nên $I$ nằm trên mp trung trực của $B{B}’$. Do đó $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}’$.

Gọi $r$ là bán kính đường trong ngoại tiếp $\Delta ABC$. Áp dụng định lý côsin trong $\Delta ABC$ ta có

Ta có $B{{C}^{2}}={{\left( 2a \right)}^{2}}+{{a}^{2}}-2.2a.a.\cos 120{}^\circ =7{{a}^{2}}$$\Rightarrow BC=a\sqrt{7}$.

Áp dụng định lý sin trong $\Delta ABC$ ta có $r=\frac{BC}{2\sin 120{}^\circ }=\frac{a\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$.

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $A.BC{C}'{B}’$ là

$R=\sqrt{{{r}^{2}}+\frac{{A}'{{A}^{2}}}{4}}=\sqrt{\frac{7{{a}^{2}}}{3}+{{a}^{2}}}=\frac{a\sqrt{30}}{3}$.

Trở lại đề thi