Đề 004-TN THPT QG

Câu 46. [Mức độ 3] Giả sử hàm số $y=f\left( x \right)$là hàm số có đạo hàm liên tục trên $\left( 0;\pi  \right)$và $f’\left( x \right).\sin x=x+f\left( x \right).\cos x\quad \forall x\in \left( 0;\pi  \right)$. Biết $f\left( \frac{\pi }{2} \right)=1;\quad f\left( \frac{\pi }{6} \right)=\frac{1}{12}\left( a+b\ln 2+c\pi \sqrt{3} \right)$ với $a,b,c$ là các số nguyên. Giá trị $a+b+c$ bằng

A. $-1$.                          

B. $1$.                         

C. $11$.                       

D. $-11$.

Hướng dẫn và Lời giải

Chọn đáp án A

Ta có $f’\left( x \right).\sin x=x+f\left( x \right).\cos x\quad \forall x\in \left( 0;\pi  \right)\Rightarrow \frac{f’\left( x \right).\sin x-f\left( x \right).\cos x}{{{\sin }^{2}}x}=\frac{x}{{{\sin }^{2}}x}$

$\Rightarrow \frac{f\left( x \right)}{\sin x}=\int{\frac{x}{{{\sin }^{2}}x}dx}$

Đặt

$\left\{ \begin{array}{l} u = x\\ dv = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = dx\\ v = – \cot x \end{array} \right.$

$\Rightarrow \frac{f\left( x \right)}{\sin x}=-x.\cot x+\int{\cot xdx}\Leftrightarrow \frac{f\left( x \right)}{\sin x}=-x.\cot x+\int{\frac{d\sin x}{\sin x}}$

$\Rightarrow \frac{f\left( x \right)}{\sin x}=-x.\cot x+\ln \left| \sin x \right|+C\Rightarrow f\left( x \right)=-x.\cos x+\sin x\ln \left| \sin x \right|+C\sin x$

Có $f\left( \frac{\pi }{2} \right)=1\Rightarrow C=1$. Khi đó $f\left( x \right)=-x.\cos x+\sin x\ln \left| \sin x \right|+\sin x$

$\Rightarrow f\left( \frac{\pi }{6} \right)=\frac{1}{12}\left( 6-6\ln 2-\pi \sqrt{3} \right)\Rightarrow a+b+c=-1$.

Trở lại đề thi


0 Bình luận

Trả lời

Avatar placeholder