ĐIỀU KIỆN ĐỂ TAM THỨC BẬC HAI LUÔN DƯƠNG, LUÔN ÂM VỚI MỌI M

1. Tìm điều kiện để tam thức bậc hai luôn dương, luôn âm

Bài toán 1. Cho tam thức bậc hai \( f(x)=ax^2 +bx+c \), tìm điều kiện của tham số \(m\) để \( f(x) >0\) với mọi \( x \) thuộc \( R \)

Để giải quyết bài toán trên, chúng ta cần xét hai trường hợp:

• Khi \( a=0 \), ta kiểm tra xem lúc đó \( f(x) \) như thế nào, có thỏa mãn yêu cầu bài toán hay không.
• Khi \( a\ne 0 \), thì \( f(x)>0 \) với mọi \( x\in R \) tương đương với

\[\begin{cases}
a>0\\ \Delta <0 \end{cases}\]

Tương tự, chúng ta có các bài toán sau:

Bài toán 2. Cho tam thức bậc hai \( f(x)=ax^2 +bx+c \), tìm điều kiện của tham số \(m\) để \( f(x) <0\) với mọi \( x \) thuộc \( R \)

Để giải quyết bài toán trên, chúng ta cần xét hai trường hợp:

• Khi \( a=0 \), ta kiểm tra xem lúc đó \( f(x) \) như thế nào, có thỏa mãn yêu cầu bài toán hay không.
• Khi \( a\ne 0 \), thì \( f(x)>0 \) với mọi \( x\in R \) tương đương với

\[\begin{cases}
a<0\\ \Delta <0 \end{cases}\]

Bài toán 3. Cho tam thức bậc hai \( f(x)=ax^2 +bx+c \), tìm điều kiện của tham số \(m\) để \( f(x) \ge 0\) với mọi \( x \) thuộc \( R \)

Để giải quyết bài toán trên, chúng ta cần xét hai trường hợp:

• Khi \( a=0 \), ta kiểm tra xem lúc đó \( f(x) \) như thế nào, có thỏa mãn yêu cầu bài toán hay không.
• Khi \( a\ne 0 \), thì \( f(x)>0 \) với mọi \( x\in R \) tương đương với

\[\begin{cases}
a>0\\ \Delta \le 0
\end{cases}\]

Bài toán 4. Cho tam thức bậc hai \( f(x)=ax^2 +bx+c \), tìm điều kiện của tham số \(m\) để \( f(x) \le 0\) với mọi \( x \) thuộc \( R \)

Để giải quyết bài toán trên, chúng ta cần xét hai trường hợp:

• Khi \( a=0 \), ta kiểm tra xem lúc đó \( f(x) \) như thế nào, có thỏa mãn yêu cầu bài toán hay không.
• Khi \( a\ne 0 \), thì \( f(x)>0 \) với mọi \( x\in R \) tương đương với

\[\begin{cases}
a<0\\ \Delta \le 0 \end{cases}\]

2. Tìm điều kiện tham số liên quan đến bất phương trình luôn đúng, vô nghiệm, có tập nghiệm chứa khoảng (a;b), đoạn [a;b]

2.1. Tìm điều kiện tham số liên quan đến bất phương trình luôn đúng, vô nghiệm

Đối với các bài toán tìm điều kiện để bất phương trình luôn đúng (nghiệm đúng) với mọi \(x\) thuộc \( R \) thì ta làm như phần trên. Đối với các bài toán tìm điều kiện để bất phương trình vô nghiệm thì ta sử dụng các lập luận sau

• Bất phương trình \( f(x)>0 \) vô nghiệm tương đương với
  \[ f(x) \le 0, \forall x\in R\]
• Bất phương trình \( f(x)<0 \) vô nghiệm tương đương với
  \[ f(x) \ge 0, \forall x\in R\]
• Bất phương trình \( f(x)\ge 0 \) vô nghiệm tương đương với
  \[ f(x) < 0, \forall x\in R\]
• Bất phương trình \( f(x)\le 0 \) vô nghiệm tương đương với
  \[ f(x) > 0, \forall x\in R\]

2.2. Tìm điều kiện tham số liên quan đến bất phương trình có tập nghiệm chứa khoảng (a;b), đoạn [a;b]