ĐỊNH NGHĨA BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC BẤT ĐẲNG THỨC KINH ĐIỂN

1. Định nghĩa: 

Các mệnh đề:

  • a nhỏ hơn b, kí hiệu: a<b
  • a lớn hơn b, kí hiệu: a>b
  • a nhỏ hơn hoặc bằng b, kí hiệu: a≤b
  • a lớn hơn hoặc bằng b, kí hiệu: a≥b

            được gọi là các bất đẳng thức.

2. Một số tính chất cơ bản

*Tính chất 1: 

  a > b  và  b > c   $\Rightarrow $ a > c

*Tính chất 2:

    a > b  <=> a + c > b + c

Hệ quả:   
  • a > b  <=> a – c > b – c
  • a + c > b  <=>  a > b – c

*Tính chất 3:  

  • a > c và  b > d    $\Rightarrow $ a + c > b + d
  • a > b và c < d    $\Rightarrow $ a – c > b – d

*Tính chất 4:         

  • a > b và  c > 0      $\Rightarrow $  ac > bc
  •    a > b  và  c < 0    $\Rightarrow $   ac < bc

*Tính chất 5: 

        a > b > 0  ; c > d > 0 $\Rightarrow $ ac > bd

*Tính chất 6:        

  • a > b > 0   $\Rightarrow $ an > bn
  • a > b    <=>  an > bn  với n lẻ.                                  
  • $\left| a \right|$ > $\left| b \right|$   $\Rightarrow $  a$^{n}$ > b$^{n}$  với n chẵn.

 *Tính chất 7:   

  • m > n > 0 và   a > 1  $\Rightarrow $ a$^{m}$ >$$a$^{n}$
  • m > n > 0 và   0 <a < 1   $\Rightarrow $  a$^{m}$ <   a$^{n}$ 

*Tính chất 8 :

a < b và  ab > 0    $\Rightarrow $   $\frac{1}{a}>\frac{1}{b}$

*Tính chất 9: 

  • $-\left| a \right|\le a\le \left| a \right|\,\,\,\,\forall a\in \mathbb{R}$
  • $\left| x \right|<a\Leftrightarrow -a\le x\le a$  với a>0
  •  $\left| x \right|>a\Leftrightarrow x<-a$ hoặc  x > a với a>0

*Tính chất 10: 

  • $\left| a+b \right|\ge \left| a \right|+\left| b \right|$ dấu bằng xảy ra khi  ab $\ge $0
  •  $\left| a-b \right|\le \left| a \right|-\left| b \right|$  dấu bằng xảy ra khi ab$\le \$ 0

3. CÁC BẤT ĐẲNG THỨC KINH ĐIỂN

A. Bất đẳng thức Cauchy

Trong toán học, bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân của n số thực không âm được phát biểu như sau:

  • Với 2 số dương: $\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b

  • Với n số dương:

$\frac{{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+…+{{a}_{n}}}{n}\ge \sqrt[n]{{{a}_{1}}{{a}_{2}}…{{a}_{n}}}$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi :${{a}_{1}}={{a}_{2}}=…={{a}_{n}}$

B. Tổng quát hóa

I. Trung bình có hệ số

Cho n số x1, x2, …, xn ≥ 0 và các hệ số α1, α2, …, αn > 0.

Đặt $\alpha ={{\alpha }_{1}}+{{\alpha }_{2}}+…+{{\alpha }_{n}}$

Bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân cũng đúng nếu hai giá trị trung bình có hệ số, như sau:

$\frac{{{\alpha }_{1}}{{x}_{1}}+{{\alpha }_{2}}{{x}_{2}}+…+{{\alpha }_{n}}{{x}_{n}}}{\alpha }\ge \sqrt[\alpha ]{x_{1}^{{{\alpha }_{1}}}x_{2}^{{{\alpha }_{2}}}…x_{n}^{{{\alpha }_{n}}}}$

Dấu ” = ” xảy ra khi và chỉ khi ${{x}_{1}}={{x}_{2}}=…={{x}_{n}}$

 II. Với các loại trung bình khác

Trung bình điều hòa ≤ trung bình nhân ≤ trung bình cộng

$\frac{n}{\frac{1}{{{x}_{1}}}+\frac{1}{{{x}_{2}}}+…+\frac{1}{{{x}_{n}}}}\le \sqrt[n]{{{x}_{1}}{{x}_{2}}…{{x}_{n}}}\le \frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+…+{{x}_{n}}}{n}$

Đẳng thức khi và chỉ khi ${{x}_{1}}={{x}_{2}}=…={{x}_{n}}$

*Hệ quả 1:

Nếu ${{x}_{1}};{{x}_{2}};…;{{x}_{n}}$ dương và ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+…+{{x}_{n}}=C=c\text{onst}$

thì $M\text{ax}\left( {{x}_{1}}.{{x}_{2}}…{{x}_{n}} \right)={{\left( \frac{C}{n} \right)}^{n}}$  khi  ${{x}_{1}}={{x}_{2}}=…={{x}_{n}}=\frac{C}{n}$

*Hệ quả 2:

  Nếu ${{x}_{1}};{{x}_{2}};…;{{x}_{n}}$ dương và ${{x}_{1}}.{{x}_{2}}…{{x}_{n}}=C=c\text{onst}$

thì $Min\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+…+{{x}_{n}} \right)=n\sqrt[n]{C}$  khi  ${{x}_{1}}={{x}_{2}}=…={{x}_{n}}=\sqrt[n]{C}$

Bất đẳng thức Bunyakovsky dạng thông thường

(a² + b²)(c² + d²) ≥ (ac + bd)²

Dấu ” = ” xảy ra khi $\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$

Bất đẳng thức này dễ dàng được chứng minh bằng cách khai triển, rút gọn và biến đổi thành: (ad – bc)² ≥ 0

Bất đẳng thức Bunyakovsky cho 2 bộ số

Với hai bộ số ( a1, a2,…,an  ) và (b1, b2,…,bn) ta có:

${{\left( {{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}}+…+{{a}_{n}}{{b}_{n}} \right)}^{2}}\le \left( a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+…+a_{n}^{2} \right)\left( b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+…+b_{n}^{2} \right)$

       Dấu bằng xảy ra khi : $\frac{{{a}_{1}}}{{{b}_{1}}}=\frac{{{a}_{2}}}{{{b}_{2}}}=…=\frac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}$

                          ( quy ước nếu tử bằng 0 thì mẫu bằng 0)

 Hệ quả 1:

Nếu ${{a}_{1}}{{x}_{1}}+{{a}_{2}}{{x}_{2}}+…+{{a}_{n}}{{x}_{n}}=C=c\text{onst}$ thì:

                 $Min\left( x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+…+x_{n}^{2} \right)=\frac{{{C}^{2}}}{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+…+a_{n}^{2}}$  khi  $\frac{{{x}_{1}}}{{{a}_{1}}}=\frac{{{x}_{2}}}{{{a}_{2}}}=…=\frac{{{x}_{n}}}{{{a}_{n}}}$

 Hệ quả 2: 

Nếu $ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+…+x_{n}^{2}={{C}^{2}}=c\text{onst}$ thì    $Max\left( {{a}_{1}}{{x}_{1}}+{{a}_{2}}{{x}_{2}}+…+{{a}_{n}}{{x}_{n}} \right)=\left| C \right|\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+…+a_{n}^{2}}$   khi $\frac{{{x}_{1}}}{{{a}_{1}}}=\frac{{{x}_{2}}}{{{a}_{2}}}=…=\frac{{{x}_{n}}}{{{a}_{n}}}\ge 0$

$Min\left( {{a}_{1}}{{x}_{1}}+{{a}_{2}}{{x}_{2}}+…+{{a}_{n}}{{x}_{n}} \right)=-\left| C \right|\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+…+a_{n}^{2}}$   khi $\frac{{{x}_{1}}}{{{a}_{1}}}=\frac{{{x}_{2}}}{{{a}_{2}}}=…=\frac{{{x}_{n}}}{{{a}_{n}}}\le 0$

Bất đẳng thức cộng Chebyshev

Trong toán học, Bất đẳng thức cộng Chebyshev, được đặt theo tên nhà toán học Pafnuty Chebyshev, được phát biểu rằng: Nếu cho: ${{a}_{1}}\ge {{a}_{2}}\ge …\ge {{a}_{n}}$ và ${{b}_{1}}\ge {{b}_{2}}\ge …\ge {{b}_{n}}$ 

thì

$\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n}{{{a}_{k}}{{b}_{k}}}\ge \left( \frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n}{{{a}_{k}}} \right)\left( \frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n}{{{b}_{k}}} \right)$

Bất đẳng thức Bernoulli

Trong toán học, bất đẳng thức Bernoulli là một bất đẳng thức cho phép tính gần đúng các lũy thừa của 1 + x.

Bất đẳng thức này được phát biểu như sau:

${{\left( 1+x \right)}^{r}}\ge 1+rx$

Với mọi số nguyên r ≥ 0 và với mọi số thực x > −1. Nếu số mũ r là chẵn, thì bất đẳng thức này đúng với mọi số thực x. Bất đẳng thức này trở thành bất đẳng thức nghiêm ngặt như sau:

${{\left( 1+x \right)}^{r}}>1+rx$

với mọi số nguyên r ≥ 2 và với mọi số thực x ≥ −1 với x ≠ 0.

Bất đẳng thức Minkowski

Bất đẳng thức Minkowski về các trường hợp đặc biệt cho các dãy và các vector bẳng cách dùng khái niệm độ đo kiểu đếm được:

${{\left( \sum\limits_{k=1}^{n}{{{\left| {{x}_{k}}+{{y}_{k}} \right|}^{p}}} \right)}^{\frac{1}{p}}}\le {{\left( \sum\limits_{k=1}^{n}{{{\left| {{x}_{k}} \right|}^{p}}} \right)}^{\frac{1}{p}}}+{{\left( \sum\limits_{k=1}^{n}{{{\left| {{y}_{k}} \right|}^{p}}} \right)}^{\frac{1}{p}}}$

với mọi số thực (hay số phức) x1, …, xn, y1, …, yn và n là số chiều của S.

Bất đẳng thức Nesbitt

Trong toán học, bất đẳng thức Nesbitt là một trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức Shapiro khi số phần tử là 3. Nó được phát biểu như sau:

Cho a,b,c là ba số thực dương. Khi đó ta có:

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge \frac{3}{2}$

Bất đẳng thức Jensen

+ Với mọi hàm lồi  f  trên $\left[ a;b \right]$và mọi ${{a}_{1}};{{a}_{2}};…;{{a}_{n}}\in \left[ a;b \right]$ ta có

$f\left( {{a}_{1}} \right)+f\left( {{a}_{n}} \right)+…+f\left( {{a}_{1n}} \right)\ge nf\left( \frac{{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+…+{{a}_{n}}}{n} \right)$.

+ Với mọi hàm lõm f trên $\left[ a;b \right]$ và mọi ${{a}_{1}};{{a}_{2}};…;{{a}_{n}}\in \left[ a;b \right]$ ,ta có:

$f\left( {{a}_{1}} \right)+f\left( {{a}_{n}} \right)+…+f\left( {{a}_{1n}} \right)\le nf\left( \frac{{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+…+{{a}_{n}}}{n} \right)$.

Lưu ý: f là hàm lồi khi ta có f’’(x) > 0 trên $\left[ a;b \right]$và là hàm lõm khi ta có f’’(x)< 0 trên$\left[ a;b \right]$. Bất đẳng thức Jensen là trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức Karamata.

Bất đẳng thức tam giác

Bất đẳng thức tam giác cho hai số thực bất kỳ xy như sau:

$\left| x+y \right|\le \left| x \right|+\left| y \right|$

Trong giải tích toán học, bất đẳng thức tam giác thường được dùng để ước lượng chặn trên tốt nhất cho giá trị tổng của hai số, theo giá trị của từng số trong hai số đó.

Cũng có một ước lượng chặn dưới mà có thể tìm được bằng cách dùng bất đẳng thức tam giác đảo chiều, mà phát biểu rằng với bất kỳ hai số thực x và y:

$\left| \left| x \right|-\left| y \right| \right|\le \left| x+y \right|$.

Bất đẳng thức Schur

Bất đẳng thức Schur, đặt tên theo Issai Schur, phát biểu rằng với a,b,c là các số thưc không âm và một số dương r, ta có bất đẳng thức sau:

${{a}^{r}}\left( a-b \right)\left( a-c \right)+{{b}^{r}}\left( b-c \right)\left( b-a \right)+{{c}^{r}}\left( c-a \right)\left( c-b \right)\ge 0$

dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c hoặc hai trong số chúng bằng nhau và số còn lại bằng không. Khi r là một số nguyên dương chẵn, thì bất đẳng thức trên đúng với mọi số thực x, y, và z.

Bất đẳng thức SVACXƠ

Bất đẳng thức Svacxơ được phát biểu như sau: Cho hai dãy số thực $\left( {{a}_{1}};{{a}_{2}};…;{{a}_{n}} \right);\left( {{b}_{1}};{{b}_{2}};…;{{b}_{n}} \right);{{b}_{i}}>0;i=1,2,…$ thì ta có:

  $\frac{a_{1}^{2}}{b_{1}^{{}}}+\frac{a_{2}^{2}}{b_{2}^{{}}}+…+\frac{a_{n}^{2}}{b_{n}^{{}}}\ge \frac{{{\left( {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+…+{{a}_{n}} \right)}^{2}}}{{{b}_{1}}+{{b}_{2}}+…+{{b}_{n}}}(1)$

Ta sẽ chứng minh BĐT (1) bằng BĐT Bunhiacôpxki: Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho hai bộ số $\left( \frac{{{a}_{1}}}{\sqrt{{{b}_{1}}}};\frac{{{a}_{2}}}{\sqrt{{{b}_{2}}}};…;\frac{{{a}_{n}}}{\sqrt{{{b}_{n}}}} \right);\left( \sqrt{{{b}_{1}}};\sqrt{{{b}_{2}}};…;\sqrt{{{b}_{n}}} \right)$ta được BĐT (1).

Đẳng thức xảy ra khi $\frac{{{a}_{1}}}{{{b}_{1}}}=\frac{{{a}_{2}}}{{{b}_{2}}}=…=\frac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}$


Xem thêm:


0 Bình luận

Trả lời

Avatar placeholder