Đường thẳng song song với mặt phẳng

1. Định nghĩa

Một đường thẳng a và một mặt phẳng (P) gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung. Kí hiệu: a//(P).

2. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho một đường thẳng a và một mặt phẳng $\left( P \right)$. Có ba vị trí tương đối của đường thẳng a và (P):

2.1. Đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P).

Định lý

Nếu đường thẳng có hai điểm chung phân biệt thì chúng còn điểm chung khác nữa.

Hệ quả

Nếu đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P) thì mọi điểm của đường thẳng a đều thuộc mặt phẳng (P). $a \in (P) \Leftrightarrow \forall A \in a,A \in (P)$.

2.2. Đường thẳng cắt mặt phẳng

Đường thẳng a cắt (P) khi và chỉ khi chúng có điểm chung duy nhất. kí hiệu: $a \cap (P) = A$.

2.3. Đường thẳng song song mặt phẳng

Đường thẳng a và $mp\left( P \right)$ không có điểm chung nào cả. Khi đó ta nói rằng đường thẳng a song song với $mp\left( P \right)$, hoặc $mp\left( P \right)$ song song với đường thẳng a, hoặc a và $\left( P \right)$song song với nhau, và viết $a//\left( P \right)$.

3. Điều kiện để một đường thẳng song song với một mặt phẳng

ĐỊNH LÝ 1

        Nếu đường thẳng a không nằm trên mặt phẳng $\left( P \right)$ và song song với một đường thẳng nào đó nằm trên $\left( P \right)$ thì a song song với $\left( P \right)$

4. Tính chất

ĐỊNH LÝ 2

         Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng$\left( P \right)$ thì mọi mặt phẳng$\left( Q \right)$ chứa a mà cắt $\left( P \right)$ thì cắt theo giao tuyến song song với a

HỆ QUẢ 1

         Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì nó song song với một đường thẳng nào đó trong mặt phẳng.

HỆ QUẢ 2

         Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng cũng song song với đường thẳng đó.

ĐỊNH LÝ 3

         Nếu a và b là hai đường thẳng chéo nhau thì có duy nhất một mặt phẳng chứa b và song song với a.

5. Phương pháp chứng minh đường thẳng song song mặt phẳng

Phương pháp:

Để chứng minh đường thẳng \(d\) songsong với mặt phẳng  \(\left( \alpha  \right)\) ta chứng minh \(d\) song song với một đường thẳng \(d’\) nằm trong \(\left( \alpha  \right)\).

Ví dụ 1.

Cho tứ diện ABCD. Gọi M là một điểm nằm trên cạnh AB (M khác A và B). Giả sử $\left( P \right)$ là mặt phẳng qua M song song với các đường thẳng AC và BD. Hãy xác định thiết diện của hình tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng$\left( P \right)$. Thiết diện là hình gì?

Giải

           Từ M kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC tại N và kẻ đường thẳng song song với BD cắt AD tại F. Khi ấy, $\left( P \right)$ chính là $mp\left( {MNF} \right)$. Gọi E là giao điểm của$\left( P \right)$ với CD thì thiết diện là tứ giác MNEF. Vì đường thẳng MN song song với $mp\left( {ACD} \right)$ nên $mp\left( P \right)$ qua MN cắt  $mp\left( {ACD} \right)$theo giao tuyến EF song song với MN. Tương tự, NE song song với MF. Vậy thiết diện cần tìm là hình bình hành MNEF.

Ví dụ 2

Cho hai hình bình hành \(ABCD\) và \(ABEF\) không cùng nằm trong một mặt phẳng có tâm lần lượt là \(O\) và \(O’\).

a) Chứng minh \(OO’\) song song với các mặt phẳng \(\left( {ADF} \right)\) và \(\left( {BCE} \right)\).

b) Gọi \(M,N\) lần lượt là hai điểm trên các cạnh \(AE,BD\) sao cho \(AM = \frac{1}{3}AE,BN = \frac{1}{3}BD\). Chứng minh \(MN\) song song với \(\left( {CDEF} \right)\).

Giải

a) Ta có \(OO’\) là đường trung bình của tam giác \(BDF\) ứng với cạnh \(DF\) nên \(OO’\parallel DF\), \(DF \subset \left( {ADF} \right)\)

\( \Rightarrow OO’\parallel \left( {ADF} \right)\).

Tương tự, \(OO’\) là đường trung bình của tam giác \(ACE\) ứng với cạnh \(CE\) nên \(OO’\parallel CE\), \(CE \subset \left( {CBE} \right) \Rightarrow OO’\parallel \left( {BCE} \right)\).

b) Trong \(\left( {ABCD} \right)\), gọi \(I = AN \cap CD\)

Do \(AB\parallel CD\) nên \(\frac{{AN}}{{AI}} = \frac{{BN}}{{BD}} \Rightarrow \frac{{AN}}{{AI}} = \frac{1}{3}\).

Lại có \(\frac{{AM}}{{AE}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{AN}}{{AI}} = \frac{{AM}}{{AE}}\)\( \Rightarrow MN\parallel IE\). Mà \(I \in CD \Rightarrow IE \subset \left( {CDEF} \right) \Rightarrow MN\parallel \left( {CDEF} \right)\).

Ví dụ 3.

Cho hình chóp \(S.ABCD\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(BC\); \({G},{G’}\) tương ứng là trọng tâm các tam giác \(SAB,SBC\).

a) Chứng minh \(AC\parallel \left( {SMN} \right)\).

b) \({G}{G’}\parallel \left( {SAC} \right)\).

Giải

a) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}MN\parallel AC\\AC \subset \left( {SAC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow MN\parallel \left( {SAC} \right)\).

b) \({G_1},{G_2}\) lần lượt là trọng tâm các tam giác \(SAB\) và \(SBC\) nên

\(\frac{{S{G}}}{{SM}} = \frac{{S{G’}}}{{SN}} = \frac{2}{3} \Rightarrow {G}{G’}\parallel MN\) mà \(MN\parallel AC \Rightarrow {G}{G’}\parallel AC\).

Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}{G}{G’}\parallel AC\\AC \subset \left( {SAC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow {G}{G’}\parallel \left( {SAC} \right)\).

6. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Cho hai đường thẳng phân biệt \(a,\;b\) và mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\). Giả sử \(a\,\parallel \,\left( \alpha  \right)\), \(b \subset \left( \alpha  \right)\). Khi đó: 

  • A. \(a\,\parallel \,b.\)
  • B. \(a,\;b\) chéo nhau.          
  • C. \(a\,\parallel \,b\) hoặc \(a,\;b\) chéo nhau.
  • D. \(a,\;b\) cắt nhau.

Câu 2: Cho mặt phẳng \(\left( P \right)\) và hai đường thẳng song song \(a\) và \(b\). Khẳng định nào sau đây đúng? 

  • A. Nếu \(\left( P \right)\) song song với \(a\) thì \(\left( P \right)\) cũng song song với \(b.\)
  • B. Nếu \(\left( P \right)\) cắt \(a\) thì \(\left( P \right)\) cũng cắt \(b.\)
  • C. Nếu \(\left( P \right)\) chứa \(a\) thì \(\left( P \right)\) cũng chứa \(b.\)
  • D. Các khẳng định A, B, C đều sai.

Câu 3: Có bao nhiêu mặt phẳng song song với cả hai đường thẳng chéo nhau? 

  • A. 1.
  • B. 2.
  • C. 3.
  • D. Vô số.

Câu 4. Cho tứ diện ABCD. Gọi IJ lần lượt là trung điểm của BC và BD. Giao tuyến của hai mặt phẳng (AIJ) và (ACD) là đường nào sau đây?

   A. đường thẳng d đi qua A và d // BC.

   B. đường thẳng d đi qua A và d // BD.

   C. đường thẳng d đi qua A và d // CD.

   D. đường thẳng d đi qua A, M trong đó M là giao điểm IJ và CD.

Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB và SAD. E, F lần lượt là trung điểm của AB và AD. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

 A. IJ // (SBD)      

B. IJ // (SEF)

C. IJ // (SAB)      

D. IJ // (SAD)

Câu 6. Cho hình chóp S.ABCD đấy ABCD là hình bình hành tâm O. gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB. Giao tuyến của hai mặt phẳng (MNC) và (ABD) là đường nào trong các đường thẳng sau đây?

 A. OA      

B. OM

 C. OC      

D. CD

Câu 7. Cho hình chóp S.ABCD đấy ABCD là hình bình hành tâm O. gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB. Giao tuyến của hai mặt phẳng (MNO) và (ABCD) là đường nào trong các đường thẳng sau đây?

 A. OA      

B. OM

 C. ON      

D. đường thẳng d qua O và d // AB

Câu 8. Cho đường thẳng d song song với mặt phẳng (∝), mặt phẳng (β) chứa d và cắt (∝) theo giao tuyến d’. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

 A. d’ // d hoặc d’ ≡ d      

B. d’ // d

C. d’ ≡ d      

D. d’ và d chéo nhau

Câu 9. Cho tứ diện ABCD. Lấy M là một điểm thuộc miền trong của tam giác ABC. Gọi (∝) là mặt phẳng qua M và song song với các đường thẳng AB và CD. Thiết diện tạo bởi (∝) và tứ diện ABCD là hình gì?

 A. tam giác      

B. hình thoi

C. hình bình hành      

D. hình ngũ giác

Câu 10. Cho hai đường thẳng a, b và mặt phẳng (∝). Giả sử a // b và b // (∝). Kết luận về vị trí tương đối của a và (∝) nào sau đây là đúng?

A. a // (∝)      

B. a ⊂ (∝)

C. a // (∝) hoặc a ⊂ (∝)      

D. không xác định

Câu 11. Cho tứ diện ABCD, G là trọng tâm của tam giác ABD, M là điểm trên cạnh BC sao cho MB = 2MC. Khẳng định nào sau đây là đúng?

 A. MG // (ACD)      

B. MG // (ABC)

C. MG // AB      

D. MG cắt AC

Câu 12. Cho hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng, có tâm lần lượt là O và O’. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

 A. OO’ // (ABCD)      

B. OO’ // (ABEF)

C. OO’ // (BDF)      

D. OO’ / /(ADF)

—————————————————-

Xem thêm: