I. Các kiến thức cơ bản
1. Định lí côsin
Cho tam giác $ABC$ có $BC=a,\,\,AC=b$ và $AB=c$.
Ta có
$\begin{align}
& {{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}-2bc.\cos A; \\
& {{b}^{2}}={{c}^{2}}+{{a}^{2}}-2ca.\cos B; \\
& {{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2ab.\cos C. \\
\end{align}$
Hệ quả
$\cos A=\frac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}}}{2bc};
\text{ }\cos B=\frac{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}{2ca};
\text{ }\cos C=\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}}}{2ab}.$
2. Định lí sin
Cho tam giác $ABC$ có $BC=a,\,\,AC=b$, $AB=c$ và $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp.
Ta có
$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$
3. Độ dài đường trung tuyến
Cho tam giác $ABC$ có ${{m}_{a}},\,\,{{m}_{b}},\,\,{{m}_{c}}$ lần lượt là các trung tuyến kẻ từ $A,\text{ }B,\text{ }C$.
Ta có
$\begin{align}
& m_{a}^{2}=\frac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{2}-\frac{{{a}^{2}}}{4}; \\
& m_{b}^{2}=\frac{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}}{2}-\frac{{{b}^{2}}}{4}; \\
& m_{c}^{2}=\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{2}-\frac{{{c}^{2}}}{4}. \\
\end{align}$
4. Công thức tính diện tích tam giác
Cho tam giác $ABC$ có
- ${{h}_{a}},\,\,{{h}_{b}},\,\,{{h}_{c}}$ là độ dài đường cao lần lượt tương ứng với các cạnh $BC,\text{ }CA,\text{ }AB$;
- $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác;
- $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác;
- $p=\frac{a+b+c}{2}$ là nửa chu vi tam giác;
- $S$ là diện tích tam giác.
Khi đó ta có:
$S=\frac{1}{2}a{{h}_{a}}=\frac{1}{2}b{{h}_{b}}=\frac{1}{2}c{{h}_{c}}$
$\begin{align}
& =\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}ca\sin B=\frac{1}{2}ab\sin C \\
& =\frac{abc}{4R} \\
& =pr \\
& =\sqrt{p\left( p-a \right)\left( p-b \right)\left( p-c \right)}. \\
\end{align}$
II. Dạng toán thường gặp
Bài toán cơ bản 1. Biết 3 cạnh. Tìm các yếu tố còn lại của tam giác.
Ví dụ 1:
Cho tam giác $ABC$ có $AB=3,\,\,AC=7,\,\,BC=8$.
a) Tính diện tích tam giác $ABC$
A. $S=5\sqrt{3}$ B. $S=6\sqrt{3}$
C. $S=4\sqrt{3}$ D. $S=3\sqrt{3}$
b) Tính bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác
A. $R=\frac{\sqrt{3}}{3},\,\,\,r=\frac{\sqrt{3}}{4}$ B. $R=\frac{7\sqrt{3}}{3},\,\,\,r=\frac{4\sqrt{3}}{3}$
C. $R=\frac{8\sqrt{3}}{3},\,\,\,r=\frac{2\sqrt{3}}{3}$ D. $R=\frac{7\sqrt{3}}{3},\,\,\,r=\frac{2\sqrt{3}}{3}$
c) Tính đường đường cao kẻ từ đỉnh A.
A. ${{h}_{a}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$ B. ${{h}_{a}}=-\frac{3\sqrt{6}}{2}$
C. ${{h}_{a}}=\frac{5\sqrt{6}}{2}$ D. ${{h}_{a}}=\frac{3\sqrt{6}}{2}$
Lời giải:
a) Áp dụng công thức Hê – rông ta có:
$p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{3+7+8}{2}=9$
$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=6\sqrt{3}$
b) Áp dụng công thức tính diện tích $S=\frac{abc}{4R}$ và $S=pr$ suy ra $R=\frac{7\sqrt{3}}{3},\,\,\,r=\frac{2\sqrt{3}}{3}$
c) ${{h}_{a}}=\frac{2S}{a}=\frac{12\sqrt{6}}{8}=\frac{3\sqrt{6}}{2}$
Bài toán cơ bản 2. Biết hai cạnh và một góc. Tính các yếu tố còn lại của tam giác.
Ví dụ 2:
Cho tam giác $ABC$ có $AB=4,\,\,AC=5$ và $\cos A=\frac{3}{5}$.
Tính cạnh BC, và độ dài đường cao kẻ từ A.
A. $BC=\sqrt{2}$, ${{h}_{a}}=\frac{\sqrt{29}}{29}$ B. $BC=\sqrt{29}$, ${{h}_{a}}=\frac{6\sqrt{29}}{29}$
C. $BC=\sqrt{29}$, ${{h}_{a}}=\frac{16\sqrt{29}}{29}$ D. $BC=\sqrt{29}$, ${{h}_{a}}=\frac{3\sqrt{29}}{29}$
Lời giải
Áp dụng định lí côsin ta có $B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+\,\,A{{C}^{2}}-2AB.AC.\cos A={{4}^{2}}+{{5}^{2}}-2.4.5.\frac{3}{5}=29$
Suy ra $BC=\sqrt{29}$
Vì ${{\sin }^{2}}A+{{\cos }^{2}}A=1$ nên $\sin A=\sqrt{1-{{\cos }^{2}}A}=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}$
Theo công thức tính diện tích ta có ${{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}AB.AC.\sin A=\frac{1}{2}.4.5.\frac{4}{5}=8$ (1)
Mặt khác ${{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}a.{{h}_{a}}=\frac{1}{2}.\sqrt{29}.{{h}_{a}}$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $\frac{1}{2}.\sqrt{29}.{{h}_{a}}=8\Rightarrow {{h}_{a}}=\frac{16\sqrt{29}}{29}$
Vậy độ dài đường cao kẻ từ A là ${{h}_{a}}=\frac{16\sqrt{29}}{29}$
Bài toán cơ bản 3. Biết hai góc và một cạnh. Tìm các yếu tố còn lại của tam giác.
Ví dụ 3:
Giải tam giác $ABC$ biết $\widehat{A}={{60}^{0}},\,\,\widehat{B}={{40}^{0}}$ và $c=14$. Tính góc C; cạnh a và b.
A. $\widehat{C}={{80}^{0}}$,$a\approx 12,5$, $b\approx 9,1$
B. $\widehat{C}={{80}^{0}}$,$a\approx 12,3$, $b\approx 9,8$
C. $\widehat{C}={{80}^{0}}$,$a\approx 11,3$, $b\approx 9,1$
D. $\widehat{C}={{80}^{0}}$,$a\approx 12,3$, $b\approx 9,1$
Lời giải:
Ta có $\widehat{C}={{180}^{0}}-\widehat{A}-\widehat{B}={{180}^{0}}-{{60}^{0}}-{{40}^{0}}={{80}^{0}}$
Theo định lí sin ta có
$a=\frac{c\sin A}{\sin C}=\frac{14.\sin {{60}^{0}}}{\sin {{80}^{0}}}\Rightarrow a\approx 12,3$
$b=\frac{c\sin B}{\sin C}=\frac{14.\sin {{40}^{0}}}{\sin {{80}^{0}}}\Rightarrow b\approx 9,1$
Chú ý:
- 3 yếu tố về cạnh và 3 yếu tố về góc gọi là 6 yếu tố cơ bản của tam giác.
- Một tam giác luôn giải được khi biết 3 yếu tố cơ bản , trong đó có ít nhất một yếu tố về cạnh.
Bài toán nâng cao
Ví dụ 4.
Cho tam giác $ABC$ cân tại A có cạnh bên bằng b và nội tiếp đường tròn (O;R).
a) Tính côsin góc A của tam giác.
b) Với giá trị nào của b thì tam giác có diện tích lớn nhất ?
Lời giải:
a) Đặt $\widehat{B}=\widehat{C}=\alpha \Rightarrow \alpha <{{90}^{0}}$
Ta có $\sin \alpha =\frac{b}{2R}\Rightarrow \cos B=\cos C=\cos \alpha =\sqrt{1-\frac{{{b}^{2}}}{4{{R}^{2}}}}$
$\cos A=\frac{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}-B{{C}^{2}}}{2AB.AC}=\frac{{{b}^{2}}-2{{R}^{2}}}{2{{R}^{2}}}$
b) $S=\frac{1}{2}BC.AH=\frac{1}{2}.2b\cos \alpha .b\sin \alpha =\frac{{{b}^{3}}\sqrt{4{{R}^{2}}-{{b}^{2}}}}{4{{R}^{2}}}$
Ta phải tìm b để $y={{b}^{3}}\sqrt{4{{R}^{2}}-{{b}^{2}}}$ đạt GTLN
Áp dụng BĐT Cauchy cho bốn số ta có
$y=3\sqrt{3}\sqrt{\frac{{{b}^{2}}}{3}.\frac{{{b}^{2}}}{3}.\frac{{{b}^{2}}}{3}.\left( 4{{R}^{2}}-{{b}^{2}} \right)}\le 3\sqrt{3}\sqrt{{{\left( \frac{\frac{{{b}^{2}}}{3}+\frac{{{b}^{2}}}{3}+\frac{{{b}^{2}}}{3}+\left( 4{{R}^{2}}-{{b}^{2}} \right)}{4} \right)}^{4}}}=3\sqrt{3}{{R}^{4}}$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\frac{{{b}^{2}}}{3}=4{{R}^{2}}-{{b}^{2}}\Leftrightarrow b=R\sqrt{3}$.
Vậy: S tam giác lớn nhất khi và chỉ khi: $b=R\sqrt{3}$.
III. Bài tập luyện tập
Vấn đề 1. GIẢI TAM GIÁC
Câu 1. Tam giác $ABC$ có $AB=5,\ BC=7,\ CA=8$. Số đo góc $\widehat{A}$ bằng:
A. $30{}^\circ .$
B. $45{}^\circ .$
C. $60{}^\circ .$
D. $90{}^\circ .$
Câu 2. Tam giác $ABC$ có $AB=2,\ AC=1$ và $\widehat{A}=60{}^\circ $. Tính độ dài cạnh $BC$.
A. $BC=1.$
B. $BC=2.$
C. $BC=\sqrt{2}.$
D. $BC=\sqrt{3}.$
Câu 3. Tam giác $ABC$ có đoạn thẳng nối trung điểm của $AB$ và $BC$ bằng $3$, cạnh $AB=9$ và $\widehat{ACB}=60{}^\circ $. Tính độ dài cạnh cạnh $BC$.
A. $BC=3+3\sqrt{6}.$
B. $BC=3\sqrt{6}-3.$
C.$BC=3\sqrt{7}.$
D. $BC=\frac{3+3\sqrt{33}}{2}.$
Câu 4. Tam giác $ABC$ có $AB=\sqrt{2},\ AC=\sqrt{3}$ và $\widehat{C}=45{}^\circ $. Tính độ dài cạnh $BC$.
A. $BC=\sqrt{5}.$
B. $BC=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}.$
C. $BC=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}.$
D. $BC=\sqrt{6}.$
Câu 5. Tam giác $ABC$ có $\widehat{B}=60{}^\circ ,\ \widehat{C}=45{}^\circ $ và $AB=5$. Tính độ dài cạnh $AC$.
A. $AC=\frac{5\sqrt{6}}{2}.$
B. $AC=5\sqrt{3}.$
C. $AC=5\sqrt{2}.$
D. $AC=10.$
Vấn đề 2. ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN
Câu 6. Tam giác $ABC$ có $AB=6\text{cm},\text{ }AC=8\text{cm}$ và $BC=10\text{cm}$. Độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh $A$ của tam giác bằng:
A. $4\text{cm}$.
B. $\sqrt{3}\text{cm}$.
C. $7\text{cm}$.
D. $5\text{cm}$.
Câu 7. Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ và có $AB=AC=a$. Tính độ dài đường trung tuyến $BM$ của tam giác đã cho.
A. $BM=1,5a.$
B. $BM=a\sqrt{2}.$
C. $BM=a\sqrt{3}.$
D. $BM=\frac{a\sqrt{5}}{2}.$
Câu 8. Tam giác $ABC$ có $AB=9$cm, $AC=12$cm và $BC=15$cm. Tính độ dài đường trung tuyến $AM$ của tam giác đã cho.
A. $AM=\frac{15}{2}$cm.
B. $AM=10$cm.
C. $AM=9$cm.
D. $AM=\frac{13}{2}$cm.
Câu 9. Tam giác $ABC$ cân tại $C$, có $AB=9\text{cm}$ và $AC=\frac{15}{2}\text{cm}$. Gọi $D$ là điểm đối xứng của $B$ qua $C$. Tính độ dài cạnh $AD.$
A. $AD=6$cm.
B. $AD=9$cm.
C. $AD=12$cm.
D. $AD=12\sqrt{2}$cm.
Câu 10. Tam giác $ABC$ có $AB=3,\,\,BC=8$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Biết $\cos \widehat{AMB}=\frac{5\sqrt{13}}{26}$ và $AM>3$. Tính độ dài cạnh $AC$.
A. $AC=\sqrt{13}$.
B. $AC=\sqrt{7}$.
C. $AC=13$.
D. $AC=7$.
Vấn đề 3. BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP
Câu 11. Tam giác $ABC$ có $BC=10$ và $\widehat{A}={{30}^{\text{O}}}$. Tính bán kính $R$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
A. $R=5$.
B. $R=10$.
C. $R=\frac{10}{\sqrt{3}}$.
D. $R=10\sqrt{3}$.
Câu 12. Tam giác $ABC$ có $AB=3,\text{ }AC=6\] và \[\widehat{A}=60{}^\circ $. Tính bán kính $R$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
A. $R=3$.
B. $R=3\sqrt{3}$.
C. $R=\sqrt{3}$.
D. $R=6$.
Câu 13. Tam giác $ABC$ có $BC=21\text{cm},\text{ }CA=17\text{cm},\text{ }AB=10\text{cm}$. Tính bán kính $R$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
A. $R=\frac{85}{2}\text{cm}$.
B. $R=\frac{7}{4}\text{cm}$.
C. $R=\frac{85}{8}\text{cm}$.
D. $R=\frac{7}{2}\text{cm}$.
Câu 14. Tam giác đều cạnh $a$ nội tiếp trong đường tròn bán kính $R$. Khi đó bán kính $R$ bằng:
A. $R=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
B. $R=\frac{a\sqrt{2}}{3}$.
C. $R=\frac{a\sqrt{3}}{3}$.
D. $R=\frac{a\sqrt{3}}{4}$.
Câu 15. Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có đường cao $AH=\frac{12}{5}\text{cm}$ và $\frac{AB}{AC}=\frac{3}{4}$. Tính bán kính $R$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
A. $R=2,5\text{cm}$.
B. $R=1,5\text{cm}$.
C. $R=2\text{cm}$.
D. $R=3,5\text{cm}$.
Vấn đề 4. DIỆN TÍCH TAM GIÁC
Câu 16. Tam giác $A\left( 1;3 \right),\text{ }B\left( 5;-1 \right)$ có $AB=3,\text{ }AC=6,\text{ }\widehat{BAC}=60{}^\circ $. Tính diện tích tam giác $ABC$.
A. ${{S}_{\Delta ABC}}=9\sqrt{3}$.
B. ${{S}_{\Delta ABC}}=\frac{9\sqrt{3}}{2}$.
C. ${{S}_{\Delta ABC}}=9$.
D. ${{S}_{\Delta ABC}}=\frac{9}{2}$.
Câu 17. Tam giác $ABC$ có $AC=4,\text{ }\widehat{BAC}=30{}^\circ ,\text{ }\widehat{ACB}=75{}^\circ $. Tính diện tích tam giác $ABC$.
A. ${{S}_{\Delta ABC}}=8$.
B. ${{S}_{\Delta ABC}}=4\sqrt{3}$.
C. ${{S}_{\Delta ABC}}=4$.
D. ${{S}_{\Delta ABC}}=8\sqrt{3}$.
Câu 18. Tam giác $ABC$ có $a=21,\text{ }b=17,\text{ }c=10$. Diện tích của tam giác $ABC$ bằng:
A. ${{S}_{\Delta ABC}}=16$.
B. ${{S}_{\Delta ABC}}=48$.
C. ${{S}_{\Delta ABC}}=24$.
D. ${{S}_{\Delta ABC}}=84$.
Câu 19. Tam giác $A\left( 1;3 \right),\text{ }B\left( 5;-1 \right)$ có $AB=3,\text{ }AC=6,\text{ }\widehat{BAC}=60{}^\circ $. Tính độ dài đường cao ${{h}_{a}}$ của tam giác.
A. ${{h}_{a}}=3\sqrt{3}$.
B. ${{h}_{a}}=\sqrt{3}$.
C. ${{h}_{a}}=3$.
D. ${{h}_{a}}=\frac{3}{2}$.
Câu 20. Tam giác $ABC$ có $AC=4,\text{ }\widehat{ACB}=60{}^\circ $. Tính độ dài đường cao $h$ uất phát từ đỉnh $A$ của tam giác.
A. $h=2\sqrt{3}$.
B. $h=4\sqrt{3}$.
C. $h=2$.
D. $h=4$.
Vấn đề 5. BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP
Câu 55. Tam giác $ABC$ có $AB=5,\text{ }AC=8$ và $\widehat{BAC}={{60}^{0}}$. Tính bán kính $r$ của đường tròn nội tiếp tam giác đã cho.
A. $r=1$.
B. $r=2$.
C. $r=\sqrt{3}$.
D. $r=2\sqrt{3}$.
Câu 56. Tam giác $ABC$ có $a=21,\text{ }b=17,\text{ }c=10$. Tính bán kính $r$ của đường tròn nội tiếp tam giác đã cho.
A. $r=16$.
B. $r=7$.
C. $r=\frac{7}{2}$.
D. $r=8$.
Câu 57. Tính bán kính $r$ của đường tròn nội tiếp tam giác đều cạnh $a$.
A. $r=\frac{a\sqrt{3}}{4}$.
B. $r=\frac{a\sqrt{2}}{5}$.
C. $r=\frac{a\sqrt{3}}{6}$.
D. $r=\frac{a\sqrt{5}}{7}$.
Câu 58. Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB=6$cm, $BC=10$cm. Tính bán kính $r$ của đường tròn nội tiếp tam giác đã cho.
A. $r=1$ cm.
B. $r=\sqrt{2}$ cm.
C. $r=2$ cm.
D. $r=3$ cm.
Câu 59. Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$, có $AB=a$. Tính bán kính $r$ của đường tròn nội tiếp tam giác đã cho.
A. $r=\frac{a}{2}$.
B. $r=\frac{a}{\sqrt{2}}$.
C. $r=\frac{a}{2+\sqrt{2}}$.
D. $r=\frac{a}{3}$.
Câu 60. Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ và nội tiếp trong đường tròn tâm $O$ bán kính $R$. Gọi $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$. Khi đó tỉ số $\frac{R}{r}$ bằng:
A. $1+\sqrt{2}$.
B. $\frac{2+\sqrt{2}}{2}$.
C. $\frac{\sqrt{2}-1}{2}$.
D. $\frac{1+\sqrt{2}}{2}$.
Luyện tập
[wp_quiz id=”4455″]
Xem thêm:
0 Bình luận