Lý thuyết: GIỚI HẠN DÃY SỐ

Lý thuyết:GIỚI HẠN DÃY SỐ

A. Lý thuyết

1. Giới hạn hữu hạn

+) \(\underset{n\rightarrow +\infty }{lim }u_{n} = 0\) khi và chỉ khi \(|u_n|\) có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

+) \(\underset{n\rightarrow +\infty }{lim }u_{n} = a \Leftrightarrow \underset{n\rightarrow +\infty }{lim }(u_{n}-a) = 0\).

2. Giới hạn vô cực

+) \(\underset{n\rightarrow +\infty }{lim }u_{n}= +∞\) khi và chỉ khi \(u_n\) có thể lớn hơn một số dương tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

+ \(\underset{n\rightarrow +\infty }{lim }u_{n} = -∞ \Leftrightarrow \underset{n\rightarrow +\infty }{lim}(-u_{n})= +∞\).

3. Các giới hạn đặc biệt

a) \(\lim \frac{1}{n} = 0\);

\(\lim \frac{1}{n^{k}} = 0\);

\(\lim n^k= +∞\), với \(k\) nguyên dương.

b) \(\lim q^n= 0\) nếu \(|q| < 1\);

\(\lim q^n= +∞\) nếu \(q > 1\).

c) \(\lim c = c\) (\(c\) là hằng số).

4. Định lí về giới hạn hữu hạn

a) Nếu \(\lim u_n=a\) và \(\lim v_n= b\), thì:

\(lim\left( {{u_{n}}+{v_n}} \right)= a +b\)

\(lim{\rm{ }}({u_n} – {v_n}){\rm{ }} = {\rm{ }}a – b\)

\(lim{\rm{ }}({u_n}.{v_n}) = ab\)

\(lim{{{u_n}} \over {{v_n}}} = {a \over b}\) (nếu \(b ≠ 0\)).

b) Nếu \(u_n≥ 0\) với mọi \(n\) và \(lim u_n= a\) thì \(a > 0\) và \(lim \sqrt{u_n}= \sqrt a\).

5. Định lí liên hệ giữa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực.

a) Nếu \(\lim u_n=a\) và \(\lim v_n= ± ∞\) thì \(\lim \frac{u_{n}}{v_{n}}= 0\).

b) Nếu \(\lim u_n=a > 0\), \(\lim v_n= 0\) và \(v_n> 0\) với mọi \(n\) thì \(\lim \frac{u_{n}}{v_{n}} = +∞\)

c) Nếu \(\lim u_n= +∞\) và \(\lim v_n= a > 0\) thì \(\lim (u_n.v_n) = +∞\).

6. Cấp số nhân lùi vô hạn

+ Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn có công bội \(q\) thỏa mãn \(|q| <1\).

B. Tổng hợp các giới hạn dãy thường gặp

·Nếu $\left| {{u}_{n}} \right|<{{v}_{n}}\forall n,\lim {{v}_{n}}=0\Rightarrow \lim {{u}_{n}}=0$                 

·$\lim c=c$

· $\lim {{u}_{n}}=L\Rightarrow \lim \left| {{u}_{n}} \right|=\left| L \right|$       

· $\text{lim}{{u}_{n}}=L\Rightarrow \lim \sqrt[3]{{{u}_{n}}}=\sqrt[3]{L}$;

·$\lim {{u}_{n}}=L,{{u}_{n}}>0\forall n\Rightarrow L>0,\lim \sqrt[{}]{{{u}_{n}}}=\sqrt[{}]{L}$        ·$S={{u}_{1}}+{{u}_{1}}q+{{u}_{1}}{{q}^{2}}+…=\frac{{{u}_{1}}}{1-q}$

·$\lim \left| {{u}_{n}} \right|=+\infty \Rightarrow \lim \frac{1}{{{u}_{n}}}=0$

Bảng xét dấu một số giới hạn đặc biệt

Với $\lim {{u}_{n}}=\pm \infty $,$\lim {{v}_{n}}=\pm \infty $ .

$\lim {{u}_{n}}$	$\lim {{v}_{n}}$	$\lim {{u}_{n}}.{{v}_{n}}$
$ + \infty $	$ + \infty $	$ + \infty $
$ + \infty $	$ – \infty $	$ – \infty $
$ – \infty $	$ + \infty $	$ – \infty $
$ – \infty $	$ – \infty $	$ + \infty $

Với $\lim {{u}_{n}}=\pm \infty $,$\lim {{v}_{n}}=L\ne 0$. 

$\lim {{u}_{n}}$	Dấu của L	$\lim {{u}_{n}}.{{v}_{n}}$
$ + \infty $	+	$ + \infty $
$ + \infty $	–	$ – \infty $
$ – \infty $	+	$ – \infty $
$ – \infty $	–	$ + \infty $

Với $\lim {{u}_{n}}=L\ne 0$,$\lim {{v}_{n}}=0$ .

Dấu của L	Dấu của ${{v}_{n}}$	$\lim \frac{{{u}_{n}}}{{{v}_{n}}}$
+	+	$ + \infty $
+	–	$ – \infty $
–	+	$ – \infty $
–	–	$ + \infty $

Một số giới hạn thường gặp

$\lim \frac{1}{n} = 0$	$\lim \frac{1}{{\sqrt n }} = 0$	$\lim \frac{1}{{\sqrt[3]{n}}} = 0$
$\lim \sqrt[3]{n} = + \infty $	$\lim \frac{1}{{{n^k}}} = 0,k \in {N^*}$	$\lim \frac{c}{{{n^k}}} = 0$
$\lim n = + \infty $	$\lim \sqrt n = + \infty $
$\lim {{q}^{n}}=0$ nếu $\left| q \right|<1$	$\lim {{q}^{n}}=+\infty $ nếu $q>1$

C. Một số kỹ thuật tính giới hạn dãy

• Kỹ thuật Nhóm.
• Kỹ thuật Chia phân phối.
• Kỹ thuật nhân chia liên hợp.

——————————-

Xem thêm: Phân dạng bài tập và ví dụ minh họa