Giới hạn hàm số

Kỹ thuật khôi phục số hạng vắng

Tính giới hạn hàm số dạng $\frac{0}{0}$ chứa căn bậc cao không cùng bậc

———@$@———

A. Kiến thức cốt lõi

1. Video bài giảng

2. Bài giảng trình chiếu

B. Phân loại bài tập

Dạng 1. Dạng $\mathop {\lim }\limits_{u\left( x \right) \to 0} \frac{{\sqrt[m]{{{a_m}.u(x) + 1}} – 1}}{{u(x)}}$

Ví dụ 1. Tính: ${A_1}=\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[3]{{3.x + 1}} – 1}}{x}$.

Giải

• Nhẩm nghiệm: ${a_m} = 3;m = 3 \Rightarrow {A_1} = \frac{{{a_m}}}{m} = \frac{3}{3} = 1$
• Tự luận: ${A_1} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{3x}}{{x\left( {{{\left( {\sqrt[3]{{3.x + 1}}} \right)}^2} + \sqrt[3]{{3.x + 1}} + 1} \right)}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{3}{{{{\left( {\sqrt[3]{{3.x + 1}}} \right)}^2} + \sqrt[3]{{3.x + 1}} + 1}} = \frac{3}{3} = 1$

Ví dụ 2. Tính ${A_2} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt[3]{{3x – 2}} – 1}}{{{x^2} – 1}}$

Giải

Ta có: ${A_2} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt[3]{{3\left( {x – 1} \right) + 1}} – 1}}{{\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}$

• Nhẩm nghiệm:
• $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {u(x) = x – 1}\\
  {{a_m} = 3}\\
  {m = 3}\\
  \begin{array}{l}
  h(x) = 1\\
  {x_0} = 1
  \end{array}
  \end{array}} \right.$

$ \Rightarrow {A_2} = \frac{{{a_m}}}{{m.{{\left[ {h(1)} \right]}^{m – 1}}}}.\frac{1}{{{x_0} + 1}} = \frac{3}{{{{3.1}^2}}}.\frac{1}{{1 + 1}} = \frac{1}{2}$

• Tự luận:

$_2 = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt[3]{{3x – 2}} – 1}}{{\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{3x – 3}}{{\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{{\left( {\sqrt[3]{{3.x – 2}}} \right)}^2} + \sqrt[3]{{3.x – 2}} + 1} \right)}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{3}{{\left( {x + 1} \right)\left[ {{{\left( {\sqrt[3]{{3.x – 2}}} \right)}^2} + \sqrt[3]{{3.x – 2}} + 1} \right]}} = \frac{3}{{2.3}} = \frac{1}{2}$

Dạng 2. Dạng $\mathop {\lim }\limits_{u\left( x \right) \to 0} \frac{{\sqrt[m]{{{a_m}.u(x) + {b^m}}} – b}}{{u(x)}}$

Ví dụ 3. Tính: ${A_3} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt[3]{{x + 7}} – 2}}{{{x^2} – 3x + 2}}$

Giải

• Nhẩm nghiệm: ${A_3} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt[3]{{x + 7}} – 2}}{{{x^2} – 3x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt[3]{{\left( {x – 1} \right) + {2^3}}} – 2}}{{x – 1}}.\frac{1}{{x + 2}} = \frac{{{a_m}}}{m}.\frac{1}{{{x_0} + 2}} = \frac{1}{3}.\frac{1}{4} = \frac{1}{{12}}$
• Tự luận: ${A_3} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x – 1}}{{\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{{\left( {\sqrt[3]{{x + 7}}} \right)}^2} + \sqrt[3]{{x + 7}} + 1} \right)}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left[ {{{\left( {\sqrt[3]{{x + 7}}} \right)}^2} + 2.\sqrt[3]{{x + 7}} + {2^2}} \right]}} = \frac{1}{{3.12}} = \frac{1}{{12}}$

Dạng 3. $\mathop {\lim }\limits_{u\left( x \right) \to 0} \frac{{\sqrt[m]{{{a_m}.u(x) + {{\left[ {h(x)} \right]}^m}}} – h(x)}}{{u(x)}}$

Ví dụ 4. Tính ${A_4} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt[3]{{{x^3} + 2x – 2}} – x}}{{x – 1}}$

Giải

• Nhẩm nhanh: Ta biến đổi về dạng: ${A_4} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt[3]{{{x^3} + 2x – 2}} – x}}{{x – 1}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt[3]{{2\left( {x – 1} \right) + {x^3}}} – x}}{{x – 1}}$

Khi đó: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{u(x) = x – 1}\\
{{a_m} = 2}\\
{m = 3}\\
\begin{array}{l}
h(x) = x\\
{x_0} = 1
\end{array}
\end{array}} \right.$

$ \Rightarrow {A_4} = \frac{{{a_m}}}{{m.{{\left[ {h(1)} \right]}^{m – 1}}}} = \frac{2}{{{{3.1}^2}}} = \frac{3}{2}$

Dạng 4. $\mathop {\lim }\limits_{u\left( x \right) \to 0} \frac{{\sqrt[m]{{{a_m}.u(x) + {{\left[ {h(x)} \right]}^m}}} – \sqrt[n]{{{a_n}.u(x) + {{\left[ {h(x)} \right]}^n}}}}}{{u(x)}}$

Ví dụ 5. Tính ${A_5} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt[3]{{2x – 6}} – \sqrt {3x + 1} }}{{x – 1}}$

Giải

Ta có: ${A_5} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt[3]{{2\left( {x – 1} \right) + {2^3}}} – \sqrt {3(x – 1) + {2^2}} }}{{x – 1}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {\sqrt[3]{{2\left( {x – 1} \right) + {2^3}}} – 2} \right) – \left( {\sqrt {3(x – 1) + {2^2}} – 2} \right)}}{{x – 1}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {\frac{{\sqrt[3]{{2\left( {x – 1} \right) + {2^3}}} – 2}}{{x – 1}} – \frac{{\sqrt {3(x – 1) + {2^2}} – 2}}{{x – 1}}} \right)$

• Nhẩm nghiệm: ${A_5} = \frac{2}{3} – \frac{3}{2} = – \frac{5}{6}$
• Tự luận: (Liên hợp tứng lim ta được kết quả)

Dạng 5. $\mathop {\lim }\limits_{u\left( x \right) \to 0} \frac{{\sqrt[m]{{{a_m}.u(x) + 1}}.\sqrt[n]{{{a_n}.u(x) + 1}} – 1}}{{u(x)}}$

Ví dụ 6. Tính: ${A_6} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[3]{{2x + 1}}.\sqrt[4]{{3x + 1}} – 1}}{x}$

Giải

Ta biến đổi: $\sqrt[3]{{2x + 1}}.\sqrt[4]{{3x + 1}} – 1$ $ = \sqrt[3]{{2x + 1}}.\sqrt[4]{{3x + 1}} – \sqrt[4]{{3x + 1}} + \sqrt[4]{{3x + 1}} – 1  $ $ = \sqrt[4]{{3x + 1}}\left( {\sqrt[3]{{2x + 1}}. – 1} \right) + \left( {\sqrt[4]{{3x + 1}} – 1} \right)$

Khi đó:$ \Rightarrow {A_6} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \sqrt[4]{{3x + 1}}\frac{{\sqrt[3]{{2x + 1}} – 1}}{x} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[4]{{3x + 1}} – 1}}{x} = \frac{2}{3} + \frac{3}{4} = \frac{{17}}{{12}}$

• Tự luận: Ta tiếp tục liên hợp thì được kết quả.

C. Trắc nghiệm

Câu 1. Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[5]{{5x + 1}} – 1}}{x}$ bằng:

A. $1$

B. $\frac{3}{2}$

C. $\frac{5}{2}$

D. $\frac{3}{4}$

Câu 2. Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to – 1} \frac{{\sqrt[3]{{5x + 6}} – 1}}{{x + 1}}$ bằng:

A. $\frac{8}{15}$

B. $\frac{5}{8}$

C. $-\frac{5}{3}$

D. $\frac{5}{3}$

Câu 3. Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[3]{{{x^3} + 3{x^2} + 5x + 1}} – x – 1}}{x}$ bằng:

A. $-\frac{3}{2}$

B. $\frac{3}{2}$

C. $-\frac{2}{3}$

D. $\frac{2}{3}$

Câu 4. Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[3]{{2{x^2} + 1}} – \sqrt {3{x^2} + 1} }}{{{x^3} + 2{x^2}}}$ bằng:

A. $ – \frac{13}{{12}}$

B. $ – \frac{12}{{5}}$

C. $ – \frac{5}{{12}}$

D. $ \frac{13}{{12}}$

Câu 5. Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[4]{{3{x^2} + 1}}\sqrt[5]{{2{x^2} + 1}} – 1}}{{{x^2}}}$ bằng

A. $\frac{{23}}{{20}}$

B. $\frac{{2}}{{5}}$

C. $\frac{{3}}{{4}}$

D. $\frac{{3}}{{20}}$

Câu 6. Cho $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt[3]{{2x + a}} – \sqrt {3x + b} }}{{{x^2} – 1}} = – \frac{5}{12};(a;b \in N^*)$ và có dạng $\frac{0}{0}$ .Tính $T = 2a + b$.

A. 13

B. 1

C. 10

D. 8

C. Tài liệu đính kèm

---

Xem thêm:

+ Giới hạn hàm số dạng $\frac{0}{0}$