Giới hạn hàm số (P1)

GIỚI HẠN HÀM SỐ

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Giới hạn hữu hạn

• Cho khoảng K chứa điểm x₀ và hàm số $y = f(x)$ xác định trên K hoặc trên K \ {x₀}.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L$ khi và chỉ khi với dãy số (x_n) bất kì, x_n ∈ K \ {x₀} và x_n →x₀ , ta có $\lim f({x_n}) = L$

• Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng (x₀; b).

$limf(x) = L$ khi và chỉ khi dãy số (x_n) bất kì, x₀ < x_n < b và x_n → x₀, ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L$.

• Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng (a ; x₀).

$limf(x) = L$ khi và chỉ khi dãy số (x_n) bất kì, a < x_n < x₀ và x_n, ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L$.

• Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng (a ; +∞).

$limf(x) = L$ khi và chỉ khi dãy số (x_n) bất kì, x_n > a và x_n → +∞ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L$.

• Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng (-∞ ; a).

$limf(x) = L$ khi và chỉ khi dãy số (x_n) bất kì, x_n < a và x_n → -∞ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L$.

2. Giới hạn vô cực

Sau đây là hai trong số nhiều loại giới hạn vô cực khác nhau:

• Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng (a ; +∞).

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f(x) = – \infty $ khi và chỉ khi với dãy số (x_n) bất kì, x_n > a và x_n → +∞, ta có $limf({x_n}) = – \infty $

• Cho khoảng $K$ chứa điểm x₀  và hàm số $y = f(x)$  xác định trên $K$ hoặc trên $K\mathrm{\setminus \{x0\}.}$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = + \infty $ khi và chỉ khi với dãy số (x_n) bất kì, x_n ∈ $K\mathrm{\setminus \{x0\}\; và\; xn \to \; x0,\; ta\; có \$\backslash mathop\; \{\backslash lim\; \}\backslash limits\_\{\}\; f(x)\; =\; +\; \backslash infty\; \$}$

Nhận xét:  có giới hạn $+\infty$ khi và chỉ khi  có giới hạn $-\infty$.

3. Các giới hạn đặc biệt

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} x = {x_0}$

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} c = c$

c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } c = c$

d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{c}{x} = 0$ (c là hằng số)

e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^k} = + \infty $ , với k nguyên dương.

f) $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {x^k} = – \infty $, với k là số lẻ

g) $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {x^k} = + \infty $, với k là số chẵn

4. Định lí về giới hạn hữu hạn

Định lí 1

a) Nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g(x) = M$, thì

• $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f(x) + g(x)} \right] = L + M$
• $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f(x) – g(x)} \right] = L – M$
• $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f(x).g(x)} \right] = L.M$
• $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {\frac{{f(x)}}{{g(x)}}} \right] = \frac{L}{M}$

b) Nếu $f(x) \ge 0$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L$, thì $L \ge 0$ và $\sqrt {f(x)} = \sqrt L $

Chú ý: Định lí 1 vẫn đúng khi \(x_n\rightarrow +\infty\) hoặc \(x_n\rightarrow -\infty\).

Định lí 2.

\(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{lim} f(x) = L\) khi và chỉ khi \(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}^{+}}{lim}\) f(x) = \(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}^{-}}{\lim} f(x) = L\).

5. Quy tắc về giới hạn vô cực

a) Quy tắc giới hạn của tích \(f(x).g(x)\)

b) Quy tắc tìm giới hạn của thương \(\frac{f(x)}{g(x)}\)

(Dấu của \(g(x)\) xét trên một khoảng \(K\) nào đó đang tính giới hạn, với \(x ≠ x_0\) ).