Góc giữa hai đường thẳng-Hai đường thẳng vuông góc

Góc giữa hai đường thẳng

Hai đường thẳng vuông góc

1. Góc giữa hai đường thẳng

1.1. Góc giữa hai vectơ

Cho \(\vec u\) và \(\vec v\) là hai vectơ trong không gian. Từ một điểm A bất kì vẽ \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow u ,\overrightarrow {AC} = \overrightarrow v\). Khi đó ta gọi góc \(\widehat {BAC}(0 \le \widehat {BAC} \le {180^0})\) là góc giữa hai vecto vectơ \(\vec u\) và \(\vec v\), kí hiệu là \(\left ( \vec u ;\vec v \right )\). Ta có: \(\left ( \vec u ;\vec v \right )=\widehat {BAC}\).

1.2. Tích vô hướng của hai vectơ

a) Định nghĩa

Tích vô hướng của hai vectơ \(\vec u\) và \(\vec v\) đều khác vectơ-không là một số được kí hiệu là \(\vec u .\vec v\) xác dịnh bởi:

\(\overrightarrow u .\overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|.c{\rm{os(}}\overrightarrow {\rm{u}} .\overrightarrow v )\)

Nếu \(\vec u= \vec0\) hoặc \(\vec v= \vec0\) thì ta quy ước \(\vec u.\vec v=0.\)

b) Tính chất

Với ba vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c\) trong không gian và với mọi số k ta có:

• \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \overrightarrow b .\overrightarrow a\) (tính chất giao hoán).
• \(\overrightarrow a (\overrightarrow b + \overrightarrow c ) = \overrightarrow a .\overrightarrow b + \overrightarrow a .\overrightarrow c\) (tính chất phân phối).
• \((k.\overrightarrow a ).\overrightarrow b = k.(\overrightarrow a .\overrightarrow b ) = \overrightarrow a .k\overrightarrow b .\)
• \({\overrightarrow a ^2} \ge 0,{\overrightarrow a ^2} = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow a = \overrightarrow 0.\)

c) Ứng dụng của tích vô hướng

Xác định góc giữa hai vectơ \(\vec u\) và \(\vec v\) bằng \(c{\rm{os(}}\overrightarrow {\rm{u}} .\overrightarrow v )\) theo công thức: \(c{\rm{os(}}\overrightarrow {\rm{u}} .\overrightarrow v ) = \frac{{\overrightarrow u .\overrightarrow v }}{{\left| {\overrightarrow u } \right|\left| {\overrightarrow v } \right|}}\).  

1.3. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Vectơ \(\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0\) được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của vectơ \(\overrightarrow a\) song song hoặc trùng với đường thẳng d.

Nếu \(\overrightarrow a\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng d thì vectơ \(k\overrightarrow a\) với \(k \ne 0\) cũng là một vectơ chỉ phương của d.

Một đường thẳng d trong không gian hoàn toàn xác định được nếu biết một điểm A thuộc d và một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow a\) của d.

2. Góc giữa hai đường thẳng

Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm bất kì lần lượt song song với a và b.

3. Hai đường thẳng vuông góc

a) Định nghĩa

Hai đường thẳng a và b gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90⁰. Ta kí hiệu là: \(b \bot a\) hoặc \(a \bot b.\)

b) Tính chất

• Nếu \(\vec u\) và \(\vec v\) lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng a và b thì: \(a \bot b \Leftrightarrow \overrightarrow u .\overrightarrow v = 0.\)
• Cho hai đường thẳng song song. Nếu một đường thẳng vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.
• Hai đường thẳng vuông góc nhau thì có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.

4.Ví dụ minh họa

Ví dụ 1:

Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa các cặp vectơ sau đây:

a) \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {EG} .\)

c) \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DH}\).

Giải:

a) Vì EG // AC nên góc giữa \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {EG}\) cũng bằng góc giữa \(\overrightarrow {AB}\) và \(\overrightarrow {AC}\)

Vậy \(\left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {EG} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right) = {45^0}.\)

b)  Vì AB // DG nên góc giữa \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DH}\) cũng bằng góc giữa \(\overrightarrow {DC}\) và \(\overrightarrow {DH}\)

Vậy \(\left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {DH} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {DH} } \right) = {45^0}.\)

Ví dụ 2:

Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB =SC và có \(\widehat {{\rm{ASB}}} = \widehat {BSC} = \widehat {CSA}.\)

Chứng minh rằng: \(SA \bot BC, SB\bot AC, SC \bot AB.\)

Giải:

Xét các tích vô hướng: \(\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {SB} .\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {SC} .\overrightarrow {AB} .\)

Ta có: 

\(\begin{array}{l} \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {SA} .(\overrightarrow {SC} – \overrightarrow {SB} ) = \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SC} – \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SB} \\ = \left| {\overrightarrow {SA} } \right|.\left| {\overrightarrow {SC} } \right|.c{\rm{os}}\widehat {{\rm{CSA}}} – \left| {\overrightarrow {SA} } \right|.\left| {\overrightarrow {SB} } \right|c{\rm{os}}\widehat {{\rm{ASB}}} \end{array}\)

Theo giả thuyết: \(\left| {\overrightarrow {SB} } \right| = \left| {\overrightarrow {SC} } \right|\)

Và: \(c{\rm{os}}\widehat {{\rm{CSA}}} = c{\rm{os}}\widehat {{\rm{ASB}}} \Rightarrow \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {BC} = 0\)

Vậy: \(SA \bot BC.\)

Chứng minh tương tự ta có: \(SB\bot AC, SC \bot AB.\)

Ví dụ 3.

Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ AC và AB ⊥ BD. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng AB và PQ là hai đường thẳng vuông góc với nhau.

Lời giải

Ta có: \(\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {PA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CQ}\)  

Và: \(\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {PB} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DQ}\)  

Do đó: \(2\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD}\)  

Vậy: \(2.\overrightarrow {PQ} .\overrightarrow {AB} = \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right).\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BD} .\overrightarrow {AB} = 0\)

Hay \(\overrightarrow {PQ} .\overrightarrow {AB} = 0\) Tức là: \(PQ \bot AB.\)

Ví dụ 4.

Cho tứ diện ABCD có AB=AC=AD=a, \(\widehat {BAC} = \widehat {BAD} = {60^0}.\).

a) Chứng minh rằng AB vuông góc CD.

b) Nếu I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD thì \(AB \bot IJ.\)  

Giải

a) Ta có:

\(\begin{array}{l} \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} \left( {\overrightarrow {AD} – \overrightarrow {AC} } \right) = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} – \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \\ = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AD} } \right|.\cos BAD – \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos BAC \end{array}\)

Mặt khác ta có: \(AB = AC = AD,\widehat {BAC} = \widehat {BAD}\)

Nên: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AD} } \right|.\cos BAD – \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos BAC = 0\)

Vậy AB vuông góc với CD.

b) ) Do I, J là trung điểm của AB và CD nên ta có: \(\overrightarrow {IJ} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} } \right)\)

Do đó: 

\(\begin{array}{l} \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {IJ} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} \overrightarrow {BC} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right)\\ = \frac{1}{2}\left( {\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AD} } \right|\cos {{60}^0} – {{\overrightarrow {AB} }^2} + \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|\cos {{60}^0}} \right)\\ = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2}{a^2} – {a^2} + \frac{1}{2}{a^2}} \right) = 0 \end{array}\)

Vậy AB và IJ vuông góc nhau.

5. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Trong không gian cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c. Khẳng định nào sau đây sai ?

A. Nếu a và b cùng nằm trong một mặt phẳng và cùng vuông góc với c thì a // b

B. nếu a || b và \(c \bot a\) thì \(c \bot b\)

C. Nếu góc giữa a và c bằng góc giữa b và c thì a || b

D. nếu a và b cùng nằm trong mặt phẳng (a) || c thì góc giữa a và c bằng góc giữa b và c

Câu 2: Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a. I và J lần lượt là trung điểm của BC và AD. Cho biết \(IJ = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\). Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD là:

A. \(30^o\)

B. \(45^o\)

C. \(60^o\)

D. \(90^o\)

Câu 3: Cho tứ diện ABCD có AC = a, BD = 3a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Biết AC vuông góc với BD. Tính MN

A. \(MN = \frac{{a\sqrt {10} }}{2}\)

B. \(MN = \frac{{a\sqrt {6} }}{3}\)

C. \(MN = \frac{{3a\sqrt {2} }}{2}\)

D. \(MN = \frac{{2a\sqrt {3} }}{3}\)

Câu 4: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Giả sử tam giác AB’C và A’DC’ đều có 3 góc nhọn. Góc giữa hai đường thẳng AC và A’D là góc:

A. \(\angle BDB’\)

B. \(\angle AB’C\)

C. \(\angle DB’B\)

D. \(\angle DA’C’\)

Câu 5: Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa cặp vec tơ $\vec{AB}$ và $\vec{DH}$?

A.45⁰

B.90⁰

C.120⁰

D.60⁰

Câu 6: Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa cặp vec tơ $\vec{AB}$ và $\vec{EG}$?

A.90⁰

B.60⁰

C.145⁰

D.120⁰

Câu 7: Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD; $\widehat {BAC} = \widehat {BAD}$ = 60⁰. Hãy chứng minh AB ⊥ CD.

Một bạn thực hiện chứng minh như sau:

1. Bước 1. $\vec{CD} = \vec{AC} -\vec{AD}$
2. Bước 2. $\vec{AB}.\vec{CD} = \vec{AB}.(\vec{AC} – \vec{AD})$
3. Bước 3. $\vec{AB}.\vec{AC} – \vec{AB}.\vec{AD} = |\vec{AB}|.|\vec{AD} |.cos⁡60 – |\vec{AB}|.|\vec{AD}|.cos⁡60 = 0〗$
4. Bước 4. Suy ra AB ⊥ CD

Theo em, lời giải trên sai từ :

A. Bước 1

B. Bước 2

C. Bước 3

D. Bước 4

Câu 8: Cho vecto $\vec{n} ≠ \vec{0}$ và hai vecto $\vec{a}$ và $\vec{b}$ không cùng phương. Nếu vecto $\vec{n}$ vuông góc với cả hai vecto $\vec{a}$ và $\vec{b}$ thì $\vec{n}$, $\vec{a}$ và $\vec{b}$:

A. Đồng phẳng

B. Không đồng phẳng

C. Có ít nhất hai vec tơ vec tơ cùng phương

D. Có cặp vec tơ vuông góc

Câu 9: Cho ba vecto $\vec{n}, \vec{a}, \vec{b}$ bất kì đều khác với vecto $\vec{0}$. Nếu vecto $\vec{n}$ vuông góc với cả hai vecto $\vec{a}$ và $\vec{b}$ thì $\vec{n}$, $\vec{a}$ và $\vec{b}$:

A. Đồng phẳng

B. Không đồng phẳng

C. Có giá vuông góc với nhau từng đôi một

D. Có ít nhất một cặp có giá song song

Câu 10: Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì hai đường thẳng đó:

A. thuộc một mặt phẳng

B. vuông góc với nhau

C. cùng song song với một mặt phẳng

D. Song song với nhau

Câu 11: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh bằng a và các góc phẳng đỉnh B đều bằng 60⁰. Cặp đường thẳng nào sau đây không vuông góc với nhau?

A. B’C và AD’

B. BC’ và A’D

C. B’C và CD’

D. AC và B’D’

Câu 12: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh bằng a và các góc phẳng đỉnh B đều bằng 60⁰. Đường thẳng B’C vuông góc với đường thẳng:

A. AC

B. CD

C. BD

D. A’A

Câu 13: Cho tứ diện ABCD. Nếu AB ⊥CD, AC ⊥ BD và BC ⊥ AD thì:

A. $\vec{AB}.\vec{AC} ≠ \vec{AC}.\vec{AD} = \vec{AB}.\vec{AD}$

B. $\vec{AB}.\vec{AC} = \vec{AC}.\vec{AD} ≠ \vec{AB}.\vec{AD}$

C. $\vec{AB}.\vec{AC} = \vec{AC}.\vec{AD} = \vec{AB}.\vec{AD}$

D. $\vec{AB}.\vec{AC} ≠ \vec{AC}.\vec{AD} ≠ \vec{AB}.\vec{AD}$

Câu 14: Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD; $\widehat {BAC} = \widehat {BAD} = {60^0}$, gọi M và N là trung điểm của AB và CD. Góc giữa $\vec{AB}$ và $\vec{CD}$ bằng:

A. 30⁰

B. 60⁰

C. 90⁰

D. 120⁰

Câu 15: Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD; $\widehat {BAC} = \widehat {BAD} = {60^0}$, gọi M và N là trung điểm của AB và CD. Kết luận nào sau đây sai?

A. MN vuông góc với AB

B. MN vuông góc với CD

C. MN vuông góc với AB và CD

D. MN không vuông góc với AB và CD

Câu 16: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Số đo góc giữa hai đường thẳng BC và SA:

A. 30⁰

B. 45⁰

C. 60⁰

D. 90⁰

Câu 17: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a, gọi M là điểm bất kì trên AC. Số đó góc giữa hai đường thẳng SM và BD bằng:

A. 30⁰

B. 45⁰

C. 60⁰

D. 90⁰

Câu 18: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a, gọi M là điểm bất kì trên AC. Đường thẳng SA vuông góc với:

A. SC

B. SB

C. SD

D. CD

Câu 19: Cho hình lâp phương ABCD.A’B’C’D’. Hãy xác định góc giữa AC và DA’?

A. 45⁰

B. 90⁰

C.120⁰

D. 60⁰

Câu 20: Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

B. Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì vuông góc với nhau.

C. Hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thú ba thì song song với nhau.

D. Hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba thì vuông góc với nhau.

————————-

Xem thêm:

• Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng