Góc giữa hai mặt phẳng

I. Định nghĩa

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q), $a \bot (P)$, $b \bot (Q)$. Góc giữa 2 mặt phẳng (P) và (Q) là góc được tạo bởi hai đường thẳng a và b. Kí hiệu $\widehat {\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right)}$.

$\widehat {\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right)} = \widehat {\left( {a,b} \right)}$

Vậy: $\widehat {\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right)} = \widehat {\left( {a,b} \right)}$.

Hệ quả:

  • ${0^0} \le \widehat {\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right)} \le {90^0}$.
  • $\widehat {\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right)} = {0^0}$ khi và chỉ khi (P)//(Q) hoặc (P)$ \equiv $(Q).
  • $\widehat {\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right)} = {90^0} \Leftrightarrow (P) \bot \left( Q \right)$.

Định nghĩa 2.

Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc khi và chỉ khi góc giữa chúng bằng 900 .

II. 3 phương pháp xác định và tính góc giữa hai mặt phẳng

2.1. Phương pháp 1. Xác định góc giữa hai mặt phẳng bằng định nghĩa

2.2. Phương pháp 2. Xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau

\((P) ∩ (Q) = c\). Trong \((P)\) từ \(I ∈ c\) vẽ \(a’ ⊥ c\); trong \((Q)\) từ \(I\) vẽ \(b’ ⊥ c\). Góc giữa \(a’\) và \(b’\) là góc giữa \(mp(P)\) và \(mp(Q)\)

Chứng minh: Giả sử a⊥(P); b⊥(Q) =>$\widehat {\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right)} = \left( {a,b} \right)$. Theo cách dựng, a⊥ (P)=>a⊥b’; b⊥(Q)=>b⊥a’. suy ra: $\widehat {\left( {a,b} \right)} = \widehat {\left( {a’,b’} \right)} = \varphi $ (góc có cạnh tương ứng vuông góc). Vậy: $\widehat {\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right)} = \widehat {\left( {a’,b’} \right)} = \varphi $.

2.3. Phương pháp 3. Xác định góc giữa hai mặt phẳng qua diện tích hình chiếu

Hình vẽ: Diện tích hình chiếu

Định lý: Cho đa giác (H) có diện tích S nằm trong mặt phẳng (Q) hợp với (P) một góc $\varphi $. Gọi (H’) là hình chiếu vuông góc của (H) trên (P) và (H’) có diện tích S’. Khi đó ta luôn có: $S’ = S.\cos \varphi $.

2.4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1.

Cho hình chóp S.ABC, có SA vuông góc đáy, SA=a, tam giác ABC vuông tại B và $AB = a\sqrt 3 ;{\rm{ }}BC = a.$. Gọi H là hình chiếu của A trên SB.

a) CMR $AH \bot (SBC)$.

b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (SBC).

Giải

Cách 1. Phương dùng định nghĩa

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{SA \bot (ABC) \Rightarrow SA \bot BC}\\
{BC \bot AB}
\end{array}} \right. \Rightarrow BC \bot (SAB)$

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{BC \bot (SAB)}\\
{AH \subset (SAB)}
\end{array}} \right. \Rightarrow BC \bot AH$

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{BC \bot AH}\\
{AH \bot SB}
\end{array}} \right. \Rightarrow AH \bot (SAB)$

$ = > \left( {\left( {ABC} \right),\left( {SAB} \right)} \right) = \left( {SA,AH} \right) = \alpha $

$ = > \tan \alpha = \tan B$ $ = \frac{{SA}}{{AB}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \alpha = {30^0}$.

Cách 2. Góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau

Ta có:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{(ABC) \cap (SBC) = BC}\\
\begin{array}{l}
AB \subset (ABC);AB \bot BC\\
SB \subset (SBC);SB \bot BC
\end{array}
\end{array}} \right. \Rightarrow \left( {(ABC),(SBC)} \right) = (AB,SB)$

Do tam giác SAB vuông tại A=> $\widehat {SBA} < {90^0}$

$ \Rightarrow \left( {(ABC),(SBC)} \right) = (AB,SB) = \widehat {SBA} = \alpha $

$ = > \tan \alpha = \tan B$ $ = \frac{{SA}}{{AB}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \alpha = {30^0}$.

Cách 3. Sử dụng diện tích hình chiếu

Ta có: $SA \bot (ABC)$; $B,C \in (ABC)$ => Tam giác ABC là hình chiếu của tam giác SBC trên (ABC).

Gọi S là diện tích tam giác ABC, $S = {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}BA.BC = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}$

Gọi S’ là diện tích của tam giác SBC, ta có:

$SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}} = 2a$

$S’ = {S_{\Delta SBC}} = \frac{1}{2}SB.BC = \frac{1}{2}.2a.a = {a^2}$

Ta có: $S’ = S.cos\alpha $ $ \Leftrightarrow \cos \alpha = \frac{{S’}}{S} = \frac{{\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}}}{{{a^2}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ $ \Rightarrow \alpha = {30^0}$

Lưu ý:

Thông thường cách 2 xác định góc giữa hai mặt phẳng qua giao của hai mặt phẳng được sử dụng nhiều và hiệu quả nhất.

Ví dụ 2

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là ABCD là hình vuông cạnh a, SA = SB = SC = SD = a. Tính cos góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAD).

Giải

Gọi I là trung điểm đoạn SA. Ta có tam giác SAD và tam giác SAB đều

Suy ra BI ⊥SA, DI ⊥SA $\left( {\widehat {\left( {SAB} \right),\left( {SAD} \right)}} \right) = \left( {\widehat {BI,\;DI}} \right)$

Áp dụng định lý cosin vào tam giác BID ta được:

$\cos \widehat {BID} = \frac{{\left( {I{B^2} + I{D^2} – B{D^2}} \right)}}{{2.IB.ID}}$ $ = \frac{{{{\left( {\frac{{\sqrt 3 a}}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 3 a}}{2}} \right)}^2} – {{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2}}}{{2.\frac{{\sqrt 3 a}}{2}.\frac{{\sqrt 3 a}}{2}}} = \frac{1}{3}$

III. Luyện tập

3.1. Tự luận

Bài 1. Cho hình chóp S.ABC, có SA vuông góc đáy, SA=a, tam giác ABC vuông tại B và $AB = a\sqrt 3 ;{\rm{ }}BC = a.$. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SAC).

Bài 2. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là ABCD là hình vuông cạnh a, SA = SB = SC = SD = a. Tính cos góc giữa hai mặt phẳng (IDB) và (SBD).

3.2. Trắc nghiệm

Câu 1. Trong không gian cho tam giác đều SAB và hình vuông ABCD cạnh a nằm trên hai mặt phẳng vuông góc. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB, CD. Ta có tan của góc tạo bởi hai mặt phẳng (SAB)  và ( SCD) bằng :

A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$.                   

B.$\frac{2\sqrt{3}}{3}$.                  

C. $\frac{\sqrt{3}}{3}$.                                    

D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Câu 2. Cho hình chóp tứ giác .S ABCD, có đáy ABCD là hình thoi tâm I cạnh bằng a và góc $\widehat{A}={{60}^{0}}$, cạnh $SC=\frac{a\sqrt{6}}{2}$ và SC vuông góc với mặt phẳng (ABCD) . Trong tam giác SAC kẻ IK^SA tại K. Tính số đo góc \(\widehat{BKD}\).

A. 600 .

B. 450 .

C. 900 .

D. 300.

Câu 3. Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA= a. Góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng (ABCD) là a , khi đó tan a nhận giá trị nào trong các giá trị sau?

A.$\tan \alpha =\sqrt{2}$.     

B.$\tan \alpha =\frac{\sqrt{2}}{2}$.

C.$\tan \alpha =\sqrt{3}$.            

D.$\tan \alpha =1$.

Câu 4. Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD, có đáy ABCD là hình vuông tâm O. Các cạnh bên và các cạnh đáy đều bằng a. Gọi M là trung điểm SC. Góc giữa hai mặt phẳng (MBD) và (ABCD) bằng:

A. 900 .                        B. 600 .                                    C. 450 .                        D. 300 .

Câu 5. Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD có SA=SB. Góc giữa (SAB) và (SAD) bằng a. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

A.$\cos \alpha =-\frac{1}{3}$.          B. $\cos \alpha =\frac{2}{5}$.                      

C. $\cos \alpha =\frac{1}{2}$.                                    D. $\cos \alpha =\frac{2}{3}$.

Câu 6. Cho hình chóp tam giác đều .S ABC có cạnh đáy bằng a và đường cao SH bằng cạnh đáy. Tính số đo góc hợp bởi cạnh bên và mặt đáy.

A. 300 .                        B.600 .                         C. 450 .                                    D.750 .

Câu 7. Cho hình chóp  S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD cạnh a có góc $\widehat{BAD}={{60}^{0}}$và SA= SB= SD=$\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Xác đị nh số đo góc giữa hai mặt phẳ ng (SAC) và (ABCD) .

A. 300 .                        B. 600 .                        C. 450 .                        D. 900

Câu 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD cạnh a có góc $\widehat{BAD}={{60}^{0}}$và SA= SB= SD=$\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Tính tan a với a  là góc giữa (SBD) và (ABCD) .

A.$\sqrt{5}$.              B. 1.                            C.$\sqrt{3}$.               D. $\frac{1}{\sqrt{3}}$

Câu 9. Hı̀nh chóp .S ABCD có đáy là hı̀nh thang vuông ABCD vuông tại A và D, có AB=2a, AD=DC=a, có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA=a . Gọi a là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) . tan a có giá trị là:

 A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$.                   B. 1.                C.$\sqrt{3}$.               D. $\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Câu 10. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với SA=2AB. Góc giữa (SAB) và (ABC) bằng  a. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

A.$\alpha $ =600.         

B.$\cos \alpha =\frac{1}{3\sqrt{5}}$.         

C.$\cos \alpha =\frac{1}{4\sqrt{5}}$.            

D.$\cos \alpha =\frac{1}{2\sqrt{5}}$.

—————————

Tài liệu đính kèm: Góc giữa hai mặt phẳng – Word