Hai mặt phẳng song song-Chứng minh quan hệ đồng phẳng

A. Chứng minh 4 điểm đồng phẳng, Hai đường thẳng thuộc cùng mặt phẳng

Phương pháp:

  • Áp dụng định lý Menelaus.
  • Chứng minh A, B, C, D đồng phẳng ta chứng minh điểm D nằm trên đường thẳng là các cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC.
  • Chứng minh A, B, C, D đồng phẳng ta chứng minh điểm D thuộc mặt phẳng chứa tam giác ABC.
  • Phương pháp véc tơ.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1.

Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M,N,P,Q$ theo thứ tự là các điểm trên các cạnh $AB,BC,CD,DA$( $M,N,P,Q$ khác với các đỉnh của tứ diện) sao cho $\frac{MA}{MB}=\frac{PD}{PC}$ và $\frac{NB}{NC}=\frac{QA}{QD}$. Chứng minh bốn điểm $M,N,P,Q$ đồng phẳng.

Giải
Áp dụng định lý Menelaus chứng minh 4 điểm đồng phẳng.

Ta có $\frac{MA}{MB}=\frac{PD}{PC}\Rightarrow \frac{MA}{MB}.\frac{PC}{PD}=1\text{   }\left( 1 \right)$

Tương tự $\frac{NB}{NC}=\frac{QA}{QD}\Rightarrow \frac{NB}{NC}.\frac{QD}{QA}=1\text{   }\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$

suy ra $\frac{MA}{MB}.\frac{NB}{NC}.\frac{PC}{PD}.\frac{QD}{QA}=1\text{   }$

theo định lí Menelaus thì bốn điểm $M,N,P,Q$ đồng phẳng.

Ví dụ 2

Cho tứ diện $ABCD$ và một điểm $S$ trong không gian ( $S$ không trùng với $A,B,C,D$). Gọi $E,F,H,K$ lần lượt là chân các đường phân giác trong góc $S$ của các tam giác $SAB, SBC, SCD, SDA$.

Chứng minh bốn điểm $E,F,H,K$ đồng phẳng.

Giải

Theo tính chất đường phân giác ta có

$\begin{array}{l}
\frac{{EA}}{{EB}} = \frac{{SA}}{{SA}},\frac{{KD}}{{KA}} = \frac{{SD}}{{SA}}\\
\frac{{HC}}{{HD}} = \frac{{SC}}{{SD}},\frac{{FB}}{{FC}} = \frac{{SB}}{{SC}}
\end{array}$

Suy ra $\frac{{EA}}{{EB}}.\frac{{FB}}{{FC}}.\frac{{HC}}{{HD}}.\frac{{KD}}{{KA}}$
$\frac{{EA}}{{EB}}.\frac{{FB}}{{FC}}.\frac{{HC}}{{HD}}.\frac{{KD}}{{KA}}$

theo định lí Menelaus thì bốn điểm $E,F,H,K$ đồng phẳng.

Ví dụ 3.

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA=SB=SC$. Chứng minh các đường phân giác ngoài tại $S$ của các tam giác $SAB,SAC,SBC$ cùng nằm trong một mặt phẳng.

Giải

Gọi ${{d}_{C}}$là đường phân giác ngoài của góc $S$ trong tam giác $SAB$ và $I$ là trung điểm của $AB$.

Do tam giác $SAB$ cân tại $S$ nên $SI\bot AB$ và $SI$ là phân giác trong của góc $S$ nên $SI\bot {{d}_{C}}$. Vậy trong $\left( SAB \right)$, ta có

$\left\{ \begin{array}{l}
{d_C} \bot SI\\
AB \bot SI
\end{array} \right. \Rightarrow {d_C}\parallel AB \Rightarrow {d_C}\parallel \left( {ABC} \right)$

Gọi $\left( \alpha  \right)$ là mặt phẳng qua $S$ và song song với $\left( ABC \right)$.

Vậy: $\left\{ \begin{array}{l}
S \in {d_C}\\
{d_C}\parallel \left( {ABC} \right)\\
\left( \alpha \right)\parallel \left( {ABC} \right)\\
S \in \left( \alpha \right)
\end{array} \right. \Rightarrow {d_C} \subset \left( \alpha \right)$

Tương tự , gọi ${{d}_{A}},{{d}_{B}}$ là các đường phân giác ngoài góc $S$ của các tam giác $SBC,SCA$ thì ${{d}_{A}}$ và ${{d}_{B}}$ cũng nằm trong mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ nên các đường thẳng ${{d}_{A}},{{d}_{B}},{{d}_{C}}$ cùng nằm trong mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ qua $S$ và song song với mặt phẳng $\left( ABC \right)$.

Ví dụ 4.

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi o’ là tâm của hình bình hành A’B’C’D’; E là trung điểm của BO’; F là trung điểm của O’D. Chứng minh rằng E thuộc mp(ABC’), F thuộc mp(ACD’).

Giải

Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD. dễ thấy B’O’OB là hình bình hành, nên trung điểm E của BO’ cũng là trung điểm của OB’.

Do đó E thuộc OB’. Mặt khác OB’ nằm trong mp(ACB’).

Vậy E thuộc mp(ABC’).

Tương tự cho điểm F.

Ví dụ 5.

Cho hình chóp cụt tứ giác ABCD. A’B’C’D’ có đáy lớn ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P, Q lần lượt là các giao điểm của các cặp đường thẳng AD’ và BC’, B’C và DA’, BA’ và CD’, AB’ và DC’. Chứng minh 4 điểm M, N, P, Q đồng phẳng.

Giải

Gọi S là điểm đồng quy của các cạnh AA’, BB’, CC’, DD’.

Ta có: M, S, N cùng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng (BCC’B’) và (ADA’D’) suy ra M,N,S thẳng hàng.

Tương tự: P, S, Q cùng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng (ABB’A’) và (CDD’C’) suy ra P, S, Q thẳng hàng.

Do NM cắt PQ tại S suy ra M, N, P, Q đồng phẳng.

——————-

Xem thêm: