HÀM SỐ LÔGARIT

HÀM SỐ LÔGARIT

1. Khái niệm hàm số logarit

Cho \(0 < a \ne 1\). Hàm số dạng \(y = {\log _a}x\) được gọi là hàm số logarit cơ số a.

2. Một số giới hạn liên quan đến hàm số logarit

Hàm số logarit liên tục tại mọi điểm mà hàm số xác định, nghĩa là: \(\forall {x_0} \in (0: + \infty ),\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {\log _a}x = {\log _a}{x_0}\)

Định lí: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (1 + x)}}{x} = 1 \to \mathop {\lim }\limits_{u(x) \to 0} \frac{{\ln (1 + u(x))}}{{u(x)}} = 1\)

3. Đạo hàm của hàm số logarit

Cho \(0 < a \ne 1\) và D là một tập con của R.

+ Hàm số \(y = {\log _a}x\) có đạo hàm tại mọi \(x \in (0; + \infty )\) và \({\left( {{{\log }_a}x} \right)^/} = \frac{1}{{x.\ln a}}\) .

Đặc biệt: \({\left( {\ln x} \right)^/} = \frac{1}{x}\)

+ Nếu \(u = u\left( x \right)\) là hàm số có đạo hàm trên D thì hàm số \(y = {\log _a}u(x)\) có đạo hàm trên D và \({\left( {{{\log }_a}u(x)} \right)^/} = \frac{{u'(x)}}{{u(x).\ln a}}\)

Đặc biệt: \({\left( {\ln u(x)} \right)^/} = \frac{{u'(x)}}{{u(x)}}\)

4. Sự biến thiên và đồ thị của hàm số logarit \(y = {\log _a}x\)

+ TXĐ: \({\rm{D}} = (0; + \infty )\)

+ Tập giá trị: \(\mathbb{R}\)

      + Đạo hàm: \(y’ = \frac{1}{{x.\ln a}}\)

Cơ số	\(a > 1\)	\(0 < a < 1\)
Dấu đạo hàm	\(y’ > 0\)	\(y’ < 0\)
Giới hạn và tiệm cận	\(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {\log _a}x = – \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {\log _a}x = + \infty \end{array} \right.\) Tiệm cận đứng: \(x = 0{\rm{ }}\left( {Oy} \right)\)	\(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {\log _a}x = + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {\log _a}x = – \infty \end{array} \right.\) Tiệm cận đứng: \(x = 0{\rm{ }}\left( {Oy} \right)\)
Bảng biến thên
Đồ thị

Nhận xét: Đồ thị các hàm số \(y = {\log _a}x\) và \(y = {\log _{\frac{1}{a}}}x,{\rm{ }}\left( {0 < a \ne 1} \right)\) thì đối xứng với nhau qua trục hoành.

Đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x\) và \(y = {a^x}\) thì đối xứng qua đường phân giác của góc phần tư thứ I (tức đường thẳng \(y = x\))

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN

Dạng 1. Tính đạo hàm hàm số logarit

Ví dụ 1: Tính đạo hàm các hàm số sau: \(y = \ln \left( {{x^2} + 1} \right)\)

Giải

\( \Rightarrow y’ = \frac{{2x}}{{{x^2} + 1}}\)

Ví dụ 2: Tính đạo hàm các hàm số sau: \(y = {\log _2}\left( {\frac{{x – 4}}{{x + 4}}} \right)\)

Giải

\( \Rightarrow y’ = \frac{{{{\left( {\frac{{x – 4}}{{x + 4}}} \right)}^/}}}{{\left( {\frac{{x – 4}}{{x + 4}}} \right).\ln 2}}\)\( = \frac{8}{{(x – 4)(x + 4).\ln 2}}\)

Cách 2: \(y = {\log _2}(x – 4) – {\log _2}(x + 4)\;\;(x > 4)\) \( \Rightarrow y’ = \frac{1}{{(x – 4).\ln 2}} – \frac{1}{{(x + 4).\ln 2}} = \frac{8}{{(x – 4)(x + 4).\ln 2}}\)

Dạng 2. Tìm tập xác định hàm số logarit

Ví dụ 1: Tìm tập xác định của hàm số: \(y = \sqrt {{{\log }_{\frac{1}{2}}}\frac{{x – 1}}{{x + 5}}} \).

Giải

Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{x – 1}}{{x + 5}} > 0\\{\log _{\frac{1}{2}}}\frac{{x – 1}}{{x + 5}} \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \in ( – \infty ; – 5) \cup (1; + \infty )\\\frac{{x – 1}}{{x + 5}} < 1\end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \in ( – \infty ; – 5) \cup (1; + \infty )\\ \frac{{ – 6}}{{x + 5}} < 0 \Leftrightarrow x > – 5\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 1\) .

Vậy tập xác định của hàm số là \((1; + \infty )\)

Ví dụ 2: Tìm Tập xác định của hàm số: \(y = \lg \left( { – {x^2} + 3x + 4} \right) + \frac{1}{{\sqrt {{x^2} – x – 6} }}\)

Giải

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} – {x^2} + 3x + 4 > 0\\{x^2} – x – 6 > 0\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \in ( – 1;4)\\x \in ( – \infty ; – 2) \cup (3; + \infty )\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow x \in ( – 1; – 2) \cup (3;4)\)

Dạng 3. Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất

Ví dụ 1: Tìm GTNN của hàm số: \(y = \frac{{\ln x}}{x}\) trên đoạn \([1;{e^2}]\)

Giải

Có \(y’ = \frac{{1 – \ln x}}{{{x^2}}} = 0 \Leftarrow x = e \in (1;{e^2})\) . Tính các giá trị: \(f(1) = 0\), \(f(e) = \frac{1}{e}\), \(f({e^2}) = \frac{2}{{{e^2}}}\)

Vậy \(\displaystyle \min\limits_{[1;e^2]}y=0\) và \(\displaystyle \max\limits_{[1;e^2]}y=\frac{1}{e}\)

Dạng 4. So sánh các cơ số

Ví dụ 1: So sánh \(a,b,c\) từ các đồ thị các hàm số trong hình sau:

Giải

Kẻ đường \(y = 1\) cắt các đồ thị tại các điểm có hoành độ là \(a,b,c\). Suy ra: \(b > a > c\)

Xem thêm: chuyên đề Hàm số mũ (nâng cao); Logarit

Phân trước: Hàm số Mũ

Phần tiếp theo: Ứng dụng của mũ và Logarit

Kiểm tra năng lực: Hàm số Logarit