Hàm số lũy thừa
I. Định nghĩa và tính chất
• Định nghĩa: Hàm số \(y=f\left(x\right)=x^a\) được gọi là hàm số lũy thừa.
- Tập xác định:
+ nếu α là số nguyên dương.
+ nếu α nguyên âm hoặc bằng 0.
+ D=(0;+∞) với α không nguyên.
• Đạo hàm : \(y’=a.x^{a-1}\).
+ Đạo hàm hàm hợp \(y=u^{\alpha}\) thì \(y=\alpha.u’.u^{\alpha-1}\))
• – Tính chất của hàm số lũy thừa trên khoảng (0;+∞):
+ a > 0 : Hàm số luôn đồng biến.
+ a < 0 : Hàm số luôn nghịch biến
II. Hàm số lũy thừa
Xét 2 trường hợp: \(\alpha>0\) và \(\alpha< 0\).
III. Dạng bài tập cơ bản
Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số
A. Phương pháp
* Hàm số lũy thừa :
+ Xác định với mọi nếu
nguyên dương.
+ Xác định với nếu
nguyên âm.
+ Xác định với nếu
không nguyên.
B. Ví dụ
Ví dụ 1: Tập xác định của hàm số là
A. . B.
.
C. . D.
.
Lời giải:
Hàm số xác định .
Chọn C.
Ví dụ 2: Tập xác định của hàm số là
A. . B.
.
C. . D.
.
Lời giải:
Hàm số đã cho xác định
Vậy tập xác định của hàm số là .
Chọn C.
Dạng 2. Tính đạo hàm
A. Phương pháp
– Bảng đạo hàm của các hàm số sơ cấp thường gặp:
B. Bài tập ví dụ
Ví dụ 3: Cho hàm số sau : $y = {\left( {{x^2} – 2x – 3} \right)^{ – 2}}$. Giải phương trình y’=0
Lời giải
Vì lũy thừa bằng -2 thuộc số nguyên, ta có:
ĐK: ${x^2} – 2x – 3 \ne 0 \Leftrightarrow x = – 1;x = 3$
=>TXĐ: $D = R\backslash \left\{ { – 1;3} \right\}$
$y’ = – 2.{\left( {{x^2} – 2x – 3} \right)^{ – 3}}({x^2} – 2x – 3)’$ $ = – 2.{\left( {{x^2} – 2x – 3} \right)^{ – 3}}(2x – 2)$;$\forall x > 3$.
$y’ = 0 \Leftrightarrow – 2.{\left( {{x^2} – 2x – 3} \right)^{ – 3}}(2x – 2) = 0 \Leftrightarrow x = 1$. Vậy phương trình y’=0 có nghiệm x=1.
Dạng 3. Đồ thị của hàm số lũy thừa
Ví dụ 4: Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
A. $y = {x^3}$. B. $y = {x^{ – 1}}$. C. $y = {x^2}$. D. $y = {x^{ – \frac{2}{3}}}$.
Lời giải:
Nhận thấy đồ thị của hàm số nằm bên phải 0y=>x>0.
Hàm số luôn nghịch biến nên α<0. Chọn D.
0 Bình luận