Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy chứng minh bất đẳng thức-Kỹ thuật điểm rơi

Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy chứng minh bất đẳng thức-Kỹ thuật điểm rơi

Kỹ thuật chọn điểm rơi là quy tắc sử dụng dấu “ = ” trong BĐT Côsi dựa trên các quy tắc về tính đồng thời của dấu “ = ”, quy tắc biên và quy tắc đối xứng .

I. CÁC QUY TẮC CẦN CHÚ Ý

– Quy tắc song hành: hầu hết các BĐT đều có tính đối xứng do đó việc sử dụng các chứng minh một cách song hành, tuần tự sẽ giúp ta hình dung ra được kết quả nhanh chóng và định hướng cách giải nhanh hơn.

– Quy tắc dấu bằng: dấu bằng “=” trong BĐT là rất quan trọng. Nó giúp ta kiểm tra tính đúng đắn của chứng minh. Nó định hướng cho ta phương pháp giải, dựa vào điểm rơi của BĐT.

– Quy tắc về tính đồng thời của dấu bằng: Các dấu “=” phải được cùng được thỏa mãn với cùng một điều kiện của biến.

Một nguyên tắc khi áp dụng liên tiếp các BĐT phải được đồng thời xảy ra, nghĩa là các dấu “=” phải được cùng được thỏa mãn với cùng một điều kiện của biến. Giá trị của biến thoản mãn điều kiện khi dấu “=” xảy ra gọi là điểm “rơi”.

Không chỉ học sinh mà ngay cả một số giáo viên khi mới nghiên cứu và chứng minh BĐT cũng thương rất hay mắc sai lầm này. áp dụng liên tiếp hoặc song hành các BĐT nhưng không chú ý đến điểm rơi của dấu bằng.

– Quy tắc biên: Các giá trị lớn nhất, nhỏ nhất thường xảy ra ở các vị trí biên và các đỉnh nằm trên biên.

Cơ sở của quy tắc biên này là các bài toán quy hoạch tuyến tính, các bài toán tối ưu, các bài toán cực trị có điều kiện ràng buộc, giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm nhiều biến trên một miền đóng.

– Quy tắc đối xứng: Bất đẳng thức với hệ điều kiện đối xứng thì dấu “=” xảy ra khi các biến bằng nhau và mang một giá trị cụ thể.

Các BĐT thường có tính đối xứng vậy thì vai trò của các biến trong BĐT là như nhau do đó dấu “=” thường xảy ra tại vị trí các biến đó bằng nhau.

 Chiều của BĐT cũng sẽ giúp ta định hướng được cách chứng minh: đánh giá từ TBC sang TBN và ngược lại

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1.

Cho a ≥ 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của $S=a+\frac{1}{a}$

Giải

Quy tắc chọn điểm “rơi”.

Nhận xét: Theo quy tắc biên, Ta dự đoán dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a=2.

Do vậy, ta phải tách hạng tử a hoặc hạng tử $\frac{1}{a}$ để sao cho khi áp dụng BĐT Côsi dấu “ = ” xảy ra khi a = 2. Có các hình thức tách sau:

$\left( a,\frac{1}{a} \right)\Rightarrow \left[ \begin{align}
& \left( \frac{1}{\alpha }a;\frac{1}{a} \right)\text{ }(1) \\
& \left( \alpha a;\frac{1}{a} \right)\text{ (2)} \\
& \left( a;\frac{1}{\alpha a} \right)\text{ }(3) \\
& \left( a;\frac{\alpha }{a} \right)\text{ (4)} \\
\end{align} \right.\text{ }$

Chẳng hạn ta chọn sơ đồ điểm rơi (1):

$\left\{ \begin{align}
& \frac{1}{\alpha }a=\frac{2}{\alpha } \\
& \frac{1}{a}=\frac{1}{2} \\
\end{align} \right.$

=>   $\frac{2}{\alpha }=\frac{1}{2}$   => a = 4.

(sơ đồ điểm rơi (2), (3), (4) các bạn tự làm)

Lời giải

Vậy ta có: $S=\frac{a}{4}+\frac{1}{a}+\frac{3a}{4}\ge 2\sqrt{\frac{a}{4}\frac{1}{a}}+\frac{3a}{4}\ge 1+\frac{3.2}{4}=\frac{5}{2}$.

Dấu “ = ” xảy ra <=> a = 2.

Bình luận

• Ta sử dụng điều kiện dấu “ = ” và điểm rơi là a = 2 dựa trên quy tăc biên để tìm ra a = 4.

• Ở đây ta thấy tính đồng thời của dấu “ = ” trong việc áp dụng BĐT Côsi cho 2 số $\frac{a}{4},\frac{1}{a}$  và $\frac{3a}{4}$ đạt giá trị lớn nhất khi a = 2, tức là chúng có cùng điểm rơi là a = 2.

Sai lầm thường gặp của học sinh:

$S=a+\frac{1}{a}$  ≥  2$\sqrt{a\frac{1}{a}}$=2

Dấu “ = ” xảy ra <=> $a=\frac{1}{a}$<=> a = 1  => vô lí vì giả thiết là a ≥ 2.

Ví dụ 2.

Cho a ≥ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $S=a+\frac{1}{{{a}^{2}}}$

Giải

Sơ đồ chọn điểm rơi:     a = 2   

=> $\left\{ \begin{align}
& \frac{a}{\alpha }=\frac{2}{\alpha } \\
& \frac{1}{{{a}^{2}}}=\frac{1}{4} \\
\end{align} \right.$

=>   $\frac{2}{\alpha }=\frac{1}{4}$   => a = 8.

Lời giải: 

$S=a+\frac{1}{{{a}^{2}}}=\left( \frac{a}{8}+\frac{a}{8}+\frac{1}{{{a}^{2}}} \right)+\frac{6a}{8}\text{ }\overset{C\text{ }\!\!\hat{\mathrm{o}}\!\!\text{ si}}{\mathop{\ge }}\,\text{ }3\sqrt[3]{\frac{a}{8}.\frac{a}{8}.\frac{1}{{{a}^{2}}}}+\frac{6a}{8}=\frac{3}{4}+\frac{6a}{8}\ge \frac{3}{4}+\frac{6.2}{8}=\frac{9}{4}$

Với a = 2 thì Min S = $\frac{9}{4}$

Sai lầm thường gặp

$\begin{array}{l}
S = a + \frac{1}{{{a^2}}}\\
= \left( {\frac{a}{8} + \frac{1}{{{a^2}}}} \right) + \frac{{7a}}{8} \ge 2\sqrt {\frac{a}{8}.\frac{1}{{{a^2}}}} + \frac{{7a}}{8}\\
= \frac{2}{{\sqrt {8a} }} + \frac{{7a}}{8} \ge \frac{2}{{\sqrt {8.2} }} + \frac{{7.2}}{8}\\
= \frac{2}{4} + \frac{7}{4} = \frac{9}{4}
\end{array}$

=> MinS = $\frac{9}{4}$

Nguyên nhân sai lầm

Mặc dù chọn điểm rơi a = 2 và MinS = $\frac{9}{4}$ là đáp số đúng nhưng cách giải trên đã mắc sai lầm trong việc đánh giá mẫu số: Nếu a ≥ 2 thì $\frac{2}{\sqrt{8a}}\ge \frac{2}{\sqrt{8.2}}=\frac{2}{4}$ là đánh giá sai.

Để thực hiện lời giải đúng ta cần phải kết hợp với kỹ thuật tách nghịch đảo, phải biến đổi S sao cho sau khi sử dụng BĐT Côsi sẽ khử hết biến số a ở mẫu số.

Ví dụ 3.

Cho $\left\{ \begin{align}
& a,b,c>0 \\
& a+b+c\le \frac{3}{2} \\
\end{align} \right.$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $S=a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Giải

Phân tích và tìm điểm “rơi”

Do S là một biểu thức đối xứng với a, b, c nên dự đoán MinS đạt tại điểm rơi $a=b=c=\frac{1}{2}$

Sơ đồ điểm rơi:

$a=b=c=\frac{1}{2}$

=> $\left\{ \begin{align}
& a=b=c=\frac{1}{2} \\
& \frac{1}{\alpha a}=\frac{1}{\alpha b}=\frac{1}{\alpha c}=\frac{2}{\alpha } \\
\end{align} \right.$

=> $\frac{1}{2}=\frac{2}{\alpha }\text{ }\Rightarrow \text{ }\alpha =\text{4}$

Hoặc ta có sơ đồ điêm rơi sau

$a=b=c=\frac{1}{2}$

$\left\{ \begin{array}{l}
\alpha a = \alpha b = \alpha c = \frac{\alpha }{2}\\
\frac{1}{a} = \frac{1}{b} = \frac{1}{c} = 2
\end{array} \right.{\rm{ }}$

$ \Rightarrow \frac{\alpha }{2} = 2{\rm{ }} \Rightarrow {\rm{ }}\alpha = 4$

Vậy ta có cách giải theo sơ đồ 2 như sau:

$S=\left( 4a+4b+4c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)-3\left( a+b+c \right)\ge 6\sqrt[6]{4a.4b.4c.\frac{1}{a}.\frac{1}{b}.\frac{1}{c}}-3\left( a+b+c \right)$
$\ge 12-3.\frac{3}{2}=\frac{15}{2}$. Với $a=b=c=\frac{1}{2}$ thì MinS = $\frac{15}{2}$

Sai lầm thường gặp

$S=a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge 6\sqrt[6]{a.b.c.\frac{1}{a}.\frac{1}{b}.\frac{1}{c}}=6$  => Min S = 6

Nguyên nhân sai lầm :

Min S = 6 <=> $a=b=c=\frac{1}{a}=\frac{1}{b}=\frac{1}{c}=1\text{   }\Rightarrow \text{ }a+b+c=3>\frac{3}{2}$  trái với giải thiết.

Ví dụ 4.

Cho$\left\{ \begin{align}
& a,b,c>0 \\
& a+b+c\le \frac{3}{2} \\
\end{align} \right.$. Tìm GTNN của $S=\sqrt{{{a}^{2}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}}+\sqrt{{{b}^{2}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}}+\sqrt{{{c}^{2}}+\frac{1}{{{a}^{2}}}}$

Giải

Phân tích và tìm điểm “rơi”

Do S là một biểu thức đối xứng với a, b, c nên dự đoán MinS đạt tại $a=b=c=\frac{1}{2}$

$\left\{ \begin{align}
& {{a}^{2}}={{b}^{2}}={{c}^{2}}=\frac{1}{4} \\
& \frac{1}{\alpha {{a}^{2}}}=\frac{1}{\alpha {{b}^{2}}}=\frac{1}{\alpha {{c}^{2}}}=\frac{4}{\alpha } \\
\end{align} \right.\text{ }\Rightarrow \text{ }\frac{1}{4}=\frac{4}{\alpha }\text{ }\Rightarrow \text{ }\alpha =\text{16}$

Lời giải

$S=\sqrt{{{a}^{2}}\text{ }+\text{ }\underbrace{\frac{1}{16{{b}^{2}}}+…..+\frac{1}{16{{b}^{2}}}}_{16}}\text{ }+\text{ }\sqrt{{{b}^{2}}+\underbrace{\frac{1}{16{{c}^{2}}}+…..+\frac{1}{16{{c}^{2}}}}_{16}}\text{ }+\text{ }\sqrt{{{c}^{2}}+\text{ }\underbrace{\frac{1}{16{{a}^{2}}}+…..+\frac{1}{16{{a}^{2}}}}_{16}}$

$\ge \sqrt{17\sqrt[17]{{{a}^{2}}.\underbrace{\frac{1}{16{{b}^{2}}}…..\frac{1}{16{{b}^{2}}}}_{16}}}\text{ }+\text{ }\sqrt{17\sqrt[17]{{{b}^{2}}.\underbrace{\frac{1}{16{{c}^{2}}}…..\frac{1}{16{{c}^{2}}}}_{16}}}\text{ }+\text{ }\sqrt{17\sqrt[17]{{{c}^{2}}\text{. }\underbrace{\frac{1}{16{{a}^{2}}}…..\frac{1}{16{{a}^{2}}}}_{16}}}$

$\begin{align}
& =\sqrt{17\sqrt[17]{\frac{{{a}^{2}}}{{{16}^{16}}{{b}^{32}}}}}\text{ }+\text{ }\sqrt{17\sqrt[17]{\frac{{{b}^{2}}}{{{16}^{16}}{{c}^{32}}}}}\text{ }+\text{ }\sqrt{17\sqrt[17]{\frac{{{c}^{2}}}{{{16}^{16}}{{a}^{32}}}}} \\
& =\sqrt{17}\left( \sqrt[17]{\frac{a}{{{16}^{8}}{{b}^{16}}}}+\sqrt[17]{\frac{b}{{{16}^{8}}{{c}^{16}}}}+\sqrt[17]{\frac{c}{{{16}^{8}}{{a}^{16}}}} \right) \\
\end{align}$

$\begin{align}
& \ge \sqrt{17}\left[ 3\sqrt[3]{\sqrt[17]{\frac{a}{{{16}^{8}}{{b}^{16}}}}.\sqrt[17]{\frac{b}{{{16}^{8}}{{c}^{16}}}}.\sqrt[17]{\frac{c}{{{16}^{8}}{{a}^{16}}}}} \right] \\
& =3.\sqrt{17}\sqrt[17]{\frac{a}{{{16}^{8}}{{a}^{5}}{{b}^{5}}{{c}^{5}}}}=\frac{3\sqrt{17}}{2.\sqrt[17]{{{\left( 2a2b2c \right)}^{5}}}} \\
\end{align}$

$\ge \frac{3\sqrt{17}}{2.\sqrt[17]{{{\left( \frac{2a+2b+2c}{3} \right)}^{15}}}}\ge \frac{3\sqrt{17}}{2}$.

Dấu “ = ” xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{2}$ => Min S = $\frac{3\sqrt{17}}{2}$

Bình luận

• Việc chọn điểm rơi cho bài toán trên đã giải quyết một cách đúng đắn về mặt toán học nhưng cách làm trên tương đối cồng kềnh. Nếu chúng ta áp dụng việc chọn điểm rơi cho BĐT Bunhiacôpski thì bài toán sẽ nhanh gọn hơn đẹp hơn.
• Trong bài toán trên chúng ta đã dùng một kỹ thuật đánh giá từ TBN sang TBC, chiều của dấu của BĐT không chỉ phụ thuộc vào chiều đánh giá mà nó còn phụ thuộc vào biểu thức đánh giá nằm ở mẫu số hay ở tử số

Sai lầm thường gặp

$S\ge 3\sqrt[3]{\sqrt{{{a}^{2}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}}.\sqrt{{{b}^{2}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}}.\sqrt{{{c}^{2}}+\frac{1}{{{a}^{2}}}}}=3\sqrt[6]{\left( {{a}^{2}}+\frac{1}{{{b}^{2}}} \right).\left( {{b}^{2}}+\frac{1}{{{c}^{2}}} \right).\left( {{c}^{2}}+\frac{1}{{{a}^{2}}} \right)}$

$\ge 3\sqrt[6]{\left( 2\sqrt{{{a}^{2}}.\frac{1}{{{b}^{2}}}} \right).\left( 2\sqrt{{{b}^{2}}.\frac{1}{{{c}^{2}}}} \right).\left( 2\sqrt{{{c}^{2}}.\frac{1}{{{a}^{2}}}} \right)}=3\sqrt[6]{8}=3\sqrt{2}$

=> MinS = $3\sqrt{2}$.

Nguyên nhân sai lầm

MinS = $3\sqrt{2}$ <=> \[a=b=c=\frac{1}{a}=\frac{1}{b}=\frac{1}{c}=1\text{   }\Rightarrow \text{ }a+b+c=3>\frac{3}{2}\] trái với giả thiết.

Lưu ý

• Áp dụng việc chọn điểm rơi cho BĐT Bunhiacôpski thì bài toán trên được trình bày nhanh gọn hơn đẹp hơn.

Ví dụ 5.

Cho a, b, c, d > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$S=\frac{a}{b+c+d}+\frac{b}{c+d+a}+\frac{c}{a+b+d}+\frac{d}{a+b+c}+\frac{b+c+d}{a}+\frac{c+d+a}{b}+\frac{a+b+d}{c}+\frac{a+b+c}{d}$

Giải

Phân tích và tìm điểm “rơi”

Để tìm Min S ta cần chú ý S là một biểu thức đối xứng với a, b, c, d do đó Min S nếu có thường đạt tại “điểm rơi” là : a = b = c = d > 0. Vậy ta cho trước a = b = c = d>0 dự đoán   $Min\text{ }S\text{ }=\text{ }\frac{4}{3}+12=\frac{40}{3}$.

Ta có sơ đồ điểm rơi:

Cho a = b = c = d > 0 ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}
\frac{a}{{b + c + d}} = \frac{b}{{c + d + a}} = \frac{c}{{a + b + d}} = \frac{d}{{a + b + c}} = \frac{1}{3}\\
\frac{{b + c + d}}{a} = \frac{{c + d + a}}{b} = \frac{{a + b + d}}{c} = \frac{{a + b + c}}{d} = \frac{3}{\alpha }
\end{array} \right.$

$ \Rightarrow {\rm{ }}\frac{1}{3} = \frac{3}{\alpha }{\rm{ }} \Rightarrow {\rm{ }}\alpha {\rm{ }} = {\rm{ }}9$

Sử dụng BĐT Côsi ta có:

$S = \sum\limits_{a,b,c,d} {\left( {\frac{a}{{b + c + d}} + \frac{{b + c + d}}{{9a}}} \right) + } \sum\limits_{a,b,c,d} {\frac{8}{9}.\frac{{b + c + d}}{{9a}}} \ge $

$ \ge 8\sqrt[8]{{\frac{a}{{b + c + d}}.\frac{b}{{c + d + a}}.\frac{c}{{a + b + d}}.\frac{d}{{a + b + c}}.\frac{{b + c + d}}{{9a}}.\frac{{c + d + a}}{{9b}}.\frac{{a + b + d}}{{9c}}.\frac{{a + b + c}}{{9d}}}}+$

$ + \frac{8}{9}\left( {\frac{b}{a} + \frac{c}{a} + \frac{d}{a} + \frac{c}{b} + \frac{d}{b} + \frac{a}{b} + \frac{a}{c} + \frac{b}{c} + \frac{d}{c} + \frac{a}{d} + \frac{b}{d} + \frac{c}{d}} \right)$

$ \ge \frac{8}{3} + \frac{8}{9}.12.\sqrt[{12}]{{\left( {\frac{b}{a}.\frac{c}{a}.\frac{d}{a}.\frac{c}{b}.\frac{d}{b}.\frac{a}{b}.\frac{a}{c}.\frac{b}{c}.\frac{d}{c}.\frac{a}{d}.\frac{b}{d}.\frac{c}{d}} \right)}} = \frac{8}{3} + \frac{8}{9}.12 = \frac{{40}}{3}$

Với a = b = c = d > 0 thì Min S = 40/3.

Bài tập vận dụng

Bài 1. Cho a ≥ 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:$S={{a}^{2}}+\frac{18}{\sqrt{a}}$

Bài 2. Cho $0

Bài 3. Cho $\left\{ \begin{align}
& a,b>0 \\
& a+b\le 1 \\
\end{align} \right.$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $S=ab+\frac{1}{ab}$

Bài 4. Cho $\left\{ \begin{align}
& a,b,c>0 \\
& a+b+c\le 1 \\
\end{align} \right.$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $S=abc+\frac{1}{abc}$

Bài 5. Cho a, b > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S=\frac{a+b}{\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{ab}}{a+b}$

Bài 6. Cho $\left\{ \begin{align}
& a,b,c>0 \\
& a+b+c\le \frac{3}{2} \\
\end{align} \right.$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $S=a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Bài 7. Cho $\left\{ \begin{align}
& a,b,c>0 \\
& a+b+c\le \frac{3}{2} \\
\end{align} \right.$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $S={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Bài 8. Cho a, b, c, d > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $S=\left( 1+\frac{2a}{3b} \right)\left( 1+\frac{2b}{3c} \right)\left( 1+\frac{2c}{3d} \right)\left( 1+\frac{2d}{3a} \right)$

Bài 9. Cho $\left\{ \begin{align}
& a,b,c>0 \\
& a+b+c\le 1 \\
\end{align} \right.$Chứng minh rằng: $S=\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}+\frac{2}{ab}+\frac{2}{bc}+\frac{2}{ca}\ge 81$

Bài 10. Cho $\left\{ \begin{align}
& a,b,c>0 \\
& a+b+c\le 1 \\
\end{align} \right.$Chứng minh rằng:$S=\frac{{{a}^{2}}}{b}+\frac{{{b}^{2}}}{c}+\frac{{{c}^{2}}}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge 28$

——————–

Xem thêm

• Định nghĩa Bất đẳng thức và các bất đẳng thức kinh điển
• Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy chứng minh bất đẳng thức-Kỹ thuật tách các cặp nghịch đảo
• Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy chứng minh bất đẳng thức-Kỹ thuật điểm rơi
• Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy chứng minh bất đẳng thức-Kỹ thuật nhân thêm hằng số
• Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy chứng minh bất đẳng thức-Kỹ thuật ghép đối xứng
• Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy chứng minh bất đẳng thức-Kỹ thuật ghép cặp nghịch đảo cho 3 số, n số
• Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy chứng minh bất đẳng thức-Kỹ thuật đổi biến số

—————–

Xem thêm

• Định nghĩa bất đẳng thức-Các bất đẳng thức kinh điển
• Kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức sử dụng bất đẳng thức Cauchy -Kỹ thuật đánh giá từ TBC sang TBN
• Kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Kỹ thuật điểm rơi
• Kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Kỹ thuật tách các cặp đối xứng
• Kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Kỹ thuật tách các cặp nghịch đảo
• Kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Kỹ thuật đổi biến
• Kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Kỹ thuật nhân thêm hằng số
• Ứng dụng bất đẳng thức vào giải phương trình- hệ phương trình.