Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy chứng minh bất đẳng thức-Kỹ thuật đổi biến

Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy chứng minh bất đẳng thức-Kỹ thuật đổi biến

Quy tắc:

Đặt những biểu thức kồng kềnh bằng biến mới giúp cho bài toán trở về những dạng dễ nhận biết hoặc dễ định hướng về mặt phương pháp giải. Phương pháp đó gọi là phương pháp đổi biến.

Ví dụ 1.

Chứng minh rằng:  $\frac{c}{a+b}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}\ge \frac{3}{2}$ $\forall a,b,c>0$   (BĐT Nesbit)

Giải

Đặt: $\left\{ \begin{array}{l}
b + c = x > 0\\
c + a = y > 0\\
a + b = z > 0
\end{array} \right.{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}a = \frac{{y + z – x}}{2};{\rm{ }}b = \frac{{z + x – y}}{2};{\rm{ }}c = \frac{{x + y – z}}{2}$

Khi đó bất đẳng thức đã cho tương đương với bất đẳng thức sau:

$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \frac{{y + z – x}}{{2x}}{\rm{ }} + {\rm{ }}\frac{{z + x – y}}{{2y}}{\rm{ }} + {\rm{ }}\frac{{x + y – z}}{{2z}}{\rm{ }}\\
\ge {\rm{ }}\left( {\frac{y}{x} + \frac{x}{y}} \right) + \left( {\frac{z}{x} + \frac{x}{z}} \right) + \left( {\frac{y}{z} + \frac{z}{y}} \right)\\
\ge 2\sqrt {\frac{y}{x}.\frac{x}{y}} + 2\sqrt {\frac{z}{x}.\frac{x}{z}} + 2\sqrt {\frac{y}{z}.\frac{z}{y}} \\
= 2 + 2 + 2 = 6 \ge 6
\end{array}$

Dấu “ = ” xảy ra <=> x = y = z <=> a = b = c

Ví dụ 2. 

Cho ≥ABC. Chứng minh rằng:

$\frac{{{a}^{2}}}{b+c-a}+\frac{{{b}^{2}}}{c+a-b}+\frac{{{c}^{2}}}{a+b-c}\ge a+b+c$

Giải

Đặt:
$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
b + c – a = x > 0\\
c + a – b = y > 0\\
a + b – c = z > 0
\end{array} \right.{\rm{ }}\\
\Leftrightarrow {\rm{ }}a = \frac{{y + z}}{2};{\rm{ }}b = \frac{{z + x}}{2};{\rm{ }}c = \frac{{x + y}}{2}
\end{array}$

Khi đó bất đẳng thức đã cho tương đương với bất đẳng thức sau:

$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \frac{{{{\left( {y + z} \right)}^2}}}{{4x}}{\rm{ }} + {\rm{ }}\frac{{{{\left( {z + x} \right)}^2}}}{{4y}}{\rm{ }} + {\rm{ }}\frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{4z}}{\rm{ }}\\
\ge \frac{{yz}}{x}{\rm{ }} + {\rm{ }}\frac{{zx}}{y}{\rm{ }} + {\rm{ }}\frac{{xy}}{z}\\
\ge \frac{1}{2}\left( {\frac{{yz}}{x} + \frac{{zx}}{y}} \right) + \frac{1}{2}\left( {\frac{{zx}}{y} + \frac{{xy}}{z}} \right) + \frac{1}{2}\left( {\frac{{yz}}{x} + \frac{{xy}}{z}} \right)\\
\mathop \ge \limits^{Co{\rm{si}}} {\rm{ }}\sqrt {\frac{{yz}}{x}.\frac{{zx}}{y}} + \sqrt {\frac{{zx}}{y}.\frac{{xy}}{z}} + \sqrt {\frac{{yz}}{x}.\frac{{xy}}{z}} \\
= x + y + z
\end{array}$

Dấu “ = ” xảy ra <=> x = y = z <=> a = b = c

Ví dụ 3.

Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác. CMR : ( b + c – a ).( c + a – b ).( a + b – c ) ≥ abc    (1)

Giải

Đặt:
$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
b + c – a = x > 0\\
c + a – b = y > 0\\
a + b – c = z > 0
\end{array} \right.{\rm{ }}\\
\Leftrightarrow {\rm{ }}a = \frac{{y + z}}{2};{\rm{ }}b = \frac{{z + x}}{2};{\rm{ }}c = \frac{{x + y}}{2}
\end{array}$

Khi đó ta có BĐT (1)  tương đương với bất đẳng thức sau:

                       $xyz\le \frac{x+y}{2}.\frac{y+z}{2}.\frac{z+x}{2}$

Áp dụng BĐT Côsi ta có: $\frac{x+y}{2}.\frac{y+z}{2}.\frac{z+x}{2}\ge \sqrt{xy}.\sqrt{yz}.\sqrt{z\text{x}}=xyz$  (đpcm)

Ví dụ 4.

Cho Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác, P là nửa chu vi. CMR: $\frac{1}{{{\left( p-a \right)}^{2}}}+\frac{1}{{{\left( p-b \right)}^{2}}}+\frac{1}{{{\left( p-c \right)}^{2}}}\ge \frac{p}{\text{ }\left( p-a \right)\left( p-b \right)\left( p-c \right)}$(1)

Giải

Đặt:
$\left\{ \begin{array}{l}
p – a = x > 0\\
p – b = y > 0\\
p – c = z > 0
\end{array} \right.{\rm{ }}$

thì  (1) <=> $\frac{1}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{{{y}^{2}}}+\frac{1}{{{z}^{2}}}\ge \frac{x+y+z}{xyz\text{ }}$      (2)

Ta có:

$VT({\bf{2}})\; = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{y^2}}}} \right) + \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{{y^2}}} + \frac{1}{{{z^2}}}} \right) + \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{z^2}}}} \right){\rm{ }} \ge {\rm{ }}\sqrt {\frac{1}{{{x^2}}}.\frac{1}{{{y^2}}}} + \sqrt {\frac{1}{{{y^2}}}.\frac{1}{{{z^2}}}} + \sqrt {\frac{1}{{{x^2}}}.\frac{1}{{{z^2}}}} $

$ = \frac{1}{{xy}} + \frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{z{\rm{x}}}} = \frac{{x + y + z}}{{xyz{\rm{ }}}}$

Dấu “ = ” xảy ra <=> x = y = z <=> a = b = c <=> tam giác ABC đều.

——————–

Xem thêm

• Định nghĩa bất đẳng thức-Các bất đẳng thức kinh điển
• Kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức sử dụng bất đẳng thức Cauchy -Kỹ thuật đánh giá từ TBC sang TBN
• Kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Kỹ thuật điểm rơi
• Kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Kỹ thuật tách các cặp đối xứng
• Kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Kỹ thuật tách các cặp nghịch đảo
• Kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Kỹ thuật đổi biến
• Kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Kỹ thuật nhân thêm hằng số
• Ứng dụng bất đẳng thức vào giải phương trình- hệ phương trình.