Logarit

LOGARIT

I. Kiến thức cơ bản

1. Định nghĩa

Cho số dương a \(a\ne1\) và số b dương. số thực α để a^α= b được gọi là Logarit cơ số a của b và kí hiệu là log_ab, tức là:  α=log_ab  a^α= b.

Ví dụ: log₁₀100=2 vì 10²=100; log₂8=3 vì 2³=8.

Chú ý: 

• Không có logarit của số 0 và số âm vì a^α luôn dương với mọi α.
• Cơ số của logarit phải luôn dương và khác 1.

2. Tính chất của lôgarit

a) Các công thức logarit cơ bản

• ${\log _a}1 = 0$;
• ${\log _a}a = 1$
• ${\log _a}{a^b} = b;\forall b \in R$
• ${a^{{{\log }_a}b}} = b;\forall b > 0$
• ∀a >0 (a\(\ne\) 1), \(∀b> 0\), \({a^{{{\log }_a}b}} = b\)
• \(∀a >0 (a\ne1)\), \({\log _a}{a^\alpha }= α\).
• ∀a,b_1,b₂ > 0 ( a\(\ne\)1), log_a(b₁b₂)= log_ab₁ + log_ab_2,
• log_a(b₁:b₂)= log_ab₁ – log_ab_2;
• $\forall 0 < a{\rm{}} \ne 1;b > 0$, \({\log _a}{b^\alpha } = \alpha {\log _a}b\);

                 ${\log _a}\sqrt[n]{{{b^m}}} = \frac{m}{n}{\log _a}\left| b \right|$

b) Đổi cơ số

• \(∀a,b,c >0\) (a, c\(\ne\)1), \({\log _a}b = {{{{\log }_c}b} \over {{{\log }_c}a}}\).

Đặc biệt:

• \(∀a,b\) >0 (a,b \(\ne\)1) \({\log _a}b = {1 \over {{{\log }_b}a}}\)
• \(∀a,b >0\) (a\(\ne\)1),\( ∀α, β\) (\(α\ne 0\)), \({\log _{{a^\alpha }}}b = {1 \over \alpha }{\log _a}b\);\({\log _{{a^\alpha }}}{b^\beta } = {\beta \over \alpha }{\log _a}b\)

c) Bất đẳng thức

Cho số dương a khác 1 và b,c dương.

• Khi a>1 thì ${\log _a}b > {\log _a}c \Leftrightarrow b > c$ và ${\log _a}b > 0 \Leftrightarrow b > 1$.
• Khi 0<a<1 thì ${\log _a}b > {\log _a}c \Leftrightarrow b < c$ và ${\log _a}b > 0 \Leftrightarrow 0 < b < 1$
• ${\log _a}b = {\log _a}c \Leftrightarrow b = c$

3. Loogarit thập phân và lôgarit tự nhiên

Trong đời sống và trong tự nhiên nghiên cứu, ta thường gặp và thường sử dụng loogarit thập phân và loogarit tự nhiên.

• Lôgarit cơ số 10 còn được gọi là loogarit thập phân, số log₁₀b thường được viết là logb hoặc lgb.
• Lôgarit cơ số \(e\) ( \(e= \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {\left( {1 + {1 \over n}} \right)^n}\) ≈ 2,718281828459045) còn được gọi là loogarit tự nhiên, số log_eb thường được viết là lnb.

4. Sử dụng máy tính cầm tay để tính lôgarit

Cũng giông như tính các lũy thừa, có thể sử dụng máy tính cầm tay để tính lôgarit. Để làm điều này, trước tiên các em phải bảo đảm máy tính đang làm việc trong môi trường tính toán bằng cách ấn các phím MODE, 1. Các máy CASIO fx-500 MS và CASIO fx-570 MS chỉ có chức năng tính trực tiếp các lôgarit thập phân và lôgarit tự nhiên, để tính các loogarit cơ số khác, các em phải dùng công thức đổi cơ số để đưa bài toán về việc tính hai loại loogarit đó. Máy CASIO fx-5770 ES, ngoài tính năng tính hai lại lôgarit vừa nói, còn có chức năng tính trực tiếp các loogarit với cơ số tùy ý. Các em có thể học được cách sử dụng máy tính cầm tay để tính loogarit qua tìm hiểu các ví dụ sau:

1) Tính log5,63 các em ấn liên tiếp; log, 5, ., 6, 3, màn hình hiện kết quả 0,750508395 ( máy CASIO fx-500MS và CASIO fx- 570MS) hoặc 0,7505083949 ( máy CASIO fx-50 ES).

2) Tính ln4,83 các em ấn liên tiếp: ln, 4, ., 8, 3, màn hình hiện thị kết quả 1.574846468

3) Tính log₃5:

– Dùng máy CASIO fx-500MS và CASIO fx-570 MS, các em cần đổi về loogarit thập phân hoặc tự nhiên. Ta làm như sau: viết \({\log _3}5 = {{\ln 5} \over {\ln 3}}\) Từ đó ấn liên tiếp các phím ln, 5, , ln, 3, =. Màn hình hiện kết quả 1,464973521.

– Dùng máy CASIO fx-570 ES các em ấn các phím: log_□(□), 3, , 5, =. Màn hình cũng hiện thị kết quả.

II. Các dạng toán cơ bản