Chủ đề. MẶT CẦU

                    ——@&@——

 A. Kiến thức cốt lõi

1/.  Định nghĩa 

Cho điểm O cố định và một số thực dương R. Tập hợp tất cả những điểm M  trong không gian cách O một khoảng R được gọi là mặt cầu tâm O, bán kính R.

                   Kí hiệu:   $S\left( O;R \right)$

Cho nửa đường tròn đường kính AB. l là đường thẳng chứa AB. quay nửa đường tròn quanh trục l ta tạo thành hình tròn xoay gọi là mặt cầu đường kính AB.

Trong đó:

• l là trục của mặt cầu.
• AB là đường kính.
• Trung điểm O của AB là tâm cầu.
• Bán kính $R = \frac{{AB}}{2}$.

2/.  Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng

Cho mặt cầu $S\left( O;R \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right)$. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên $\left( P \right)$  $\Rightarrow \text{  }d=OH$ là khoảng cách từ O đến mặt phẳng $\left( P \right)$. Khi đó:

• Nếu $d>R$  :  mặt cầu và mặt phẳng không có điểm chung.
• Nếu $d=R$  :  mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu.

                                     Lúc đó: $\left( P \right)$ tiếp diện của mặt cầu

H :  tiếp điểm.

• Nếu $d<R$  :  mặt phẳng cắt mặt cầu theo thiết diện là đường tròn có tâm H và bán kính $r=\sqrt{{{R}^{2}}-O{{H}^{2}}}$

3/.  Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng

Cho mặt cầu $S\left( O;R \right)$ và đường thẳng $\Delta $. Gọi H là hình chiếu của O lên $\Delta $. Khi đó:

• $OH>R$: $\Delta $ không cắt mặt cầu.
• $OH=R$: $\Delta $ tiếp xúc với mặt cầu.
• $OH<R$: $\Delta $ cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt.

4/.  Diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu

      Cho $S\left( O;R \right)$. Khi đó:

• Diện tích mặt cầu:   $S=4\pi {{R}^{2}}$
• Thể tích khối cầu:           $V=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}$

B. Phân loại bài tập

Dạng 1. Tính diện tích toàn phần của hình cầu.

Dạng 2. Tính thể tích khối cầu.

Dạng 3. mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng.

Dạng 4. Mặt cầu tiếp xúc với đường thẳng.

Dạng 5. Mặt cầu nội tiếp.

Dạng 6. Mặt cầu ngoại tiếp.

Dạng 7. Ứng dụng thực tế.

Bài tập minh họa

Bài 1:  Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC  là tam giác vuông tại B và $SA\bot \left( ABC \right)$.

1. Chứng minh hình chóp ABC nội tiếp trong một mặt cầu.
2. Cho $SA=BC=a$ và $AB=a\sqrt{2}$. Tính bán kính mặt cầu nói trên.

đs: $R = a$

Bài 2:  Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD  là hình vuông cạnh a, $SA\bot \left( ABCD \right)$ và $SA=a\sqrt{3}$. Gọi O là tâm hình vuông ABCD và k là hình chiếu của B trên SC.

1. Chứng minh hình chóp SOAKB nội tiếp trong một mặt cầu.
2. Xác đinh tâm và bán kính mặt cầu nói trên.

đs: $R = a$

Bài 3:  Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy và cạnh bên đều bằng a. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đi qua 5 điểm S,A,B,C,D.

đs: $R = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$

Bài 4:  Chứng minh 8 đỉnh của một hình hộp chữ nhật cùng nằm trên một mặt cầu. Tính bán kính của mặt cầu ấy, biết hình hộp chữ nhật có ba kích thước là a,b,c.

đs: $R = \frac{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}{2}$

Bài 5:  Tìm tập hợp các điểm M sao cho tổng bình phương khoảng cách từ M  đến hai điểm A, B cố định bằng một hằng số ${{k}^{2}}$.

đs: Đường tròn tâm H, bán kính $r = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}$

Bài 6:  Xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng $\left( P \right)$với mặt cầu $S\left( O;R \right)$biết khoảng cách từ O đến $\left( P \right)$ là $\frac{R}{2}$.

Bài 7:  Cho tam giác ABC  có độ dài ba cạnh là 13, 14, 15. Một mặt cầu tâm O, bán kính $R=5$ tiếp xúc với ba cạnh của tam giác ABC  tại các tiếp điểm nằm trên ba cạnh đó. Tính khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng chứa tam giác.

đs: $d = 3$

Bài 8:  Cho mặt cầu $S\left( O;a \right)$ và một điểm A, biết $OA=2a$, qua A kẻ một tiếp tuyến tiếp xúc với $\left( S \right)$ tại B và cũng qua A kẻ một cát tuyến cắt $\left( S \right)$ tại C  và D, biết $CD=a\sqrt{3}$.

1. Tính AB.
2. Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng CD.

đs: a)$AB = a\sqrt 3 $; b)$d = \frac{a}{2}$

Bài 9:  Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, mặt bên hợp với mặt đáy một góc $\varphi $. Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

đs: $R = \frac{{\sqrt 3 a\left( {4 + {{\tan }^2}\varphi } \right)}}{{12\tan \varphi }}$

Bài 10:  Cho tứ diện S.ABC có SA, SB, SC  vuông góc với nhau đôi một và có độ dài lần lược là a, b, c. Hãy xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.

đs: $R = \frac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} $

Bài 11:  Cho hình chóp tam giác đều S.ABC  có cạnh đáy bằng a  và cạnh bên bằng b. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

đs:$R = \frac{{{b^2}\sqrt {3\left( {3{b^2} – {a^2}} \right)} }}{{2\left( {3{b^2} – {a^2}} \right)}}$

Bài 12:  Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, có cạnh đáy bằng a và góc hợp bởi mặt bên và đáy bằng 30⁰. Gọi O là tâm của tam giác ABC. Trong tam giác SAO dựng đường trung trực của cạnh SA cắt SO tại k.

1. Tính SO, SA.
2. Chứng minh $\Delta SMK\sim \Delta SOA$ ( với M là trung điểm của SA). Tính KS.
3. Chứng minh hình chóp ABC là hình chóp đều.
4. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ABC.

đs: a)$SO = \frac{a}{2}{\rm{ }};{\rm{ }}SA = \frac{{a\sqrt 7 }}{{\sqrt {12} }}$

b)$KS = \frac{{7a}}{{12}}$

d)$R = KS = \frac{{7a}}{{12}}$

Bài 13:  Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Chứng minh rằng hình chóp đó có mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.

đs: $R = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$

Bài 14:  Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và góc hợp bởi mặt bên và mặt đáy bằng 60⁰. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

đs: $R = \frac{{5a\sqrt 3 }}{{12}}$

Bài 15:  Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và đường cao  h. Gọi O là tâm của ABCD và H là trung điểm của BC. Đường phân giác trong của góc $\widehat{SHO}$ cắt SO tại I. Chứng minh rằng I  là tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp. Tính bán kính mặt cầu này.

đs: $R = \frac{{ah}}{{a + \sqrt {4{h^2} + {a^2}} }}$

Bài 16:  Cho tứ diện đều ABCD có cạnh là a.

1. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
2. Tính diện tích mặt cầu.
3. Tính thể tích khối cầu tương ứng.

đs: a)$R = \frac{{a\sqrt 6 }}{4}$; b) $S = \frac{{3\pi {a^2}}}{2}$ c) $V = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 6 }}{8}$

Bài 17:  Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy là a, cạnh bên hợp với đáy một góc 60⁰.

1. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
2. Tính diện tích mặt cầu.
3. Tính thể tích khối cầu tương ứng.

đs: a)$R = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}$; b) $S = \frac{{8\pi {a^2}}}{3}$; c) $V = \frac{{8\pi {a^3}\sqrt 6 }}{{27}}$

 C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Diện tích S của một mặt cầu có bán kính r được xác định bởi công thức nào sau đây:

A. $S=4\pi r$

B. $S=4\pi {{r}^{2}}$.

C. $S=4{{\pi }^{2}}{{r}^{2}}$

D. $S=4{{r}^{2}}$

Câu 2.Thể tích V của một mặt cầu có bán kính r được xác định bởi công thức nào sau đây:

A. $V=\frac{4\pi r}{3}$

B. $V=\frac{4{{\pi }^{2}}{{r}^{2}}}{3}$

C. $V=\frac{4\pi {{r}^{3}}}{3}$.

D. $V=\frac{4{{\pi }^{2}}{{r}^{3}}}{3}$

Câu 3. Một hình hộp chữ nhật có ba kích thước là a, b, c. Khi đó mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật có bán kính r bằng:

A. $\frac{1}{2}\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}$.

B. $\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}$

C. $\sqrt{2({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}})}$

D. $\frac{1}{3}\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}$

Câu 4. Hình chóp S.ABC có SA, AB, BC đôi một vuông góc, SA = a, AB = b, BC = c. Mặt cầu đi qua các đỉnh S, A, B, C có bán kính r bằng:

A. $\frac{2(a+b+c)}{3}$

B.$2\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}$

C.$\frac{1}{2}\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}$ .

D.$\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}$

Câu 5. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc nhau và OA = a, OB = b, OC= c. Bán kính của mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện OABC bằng:

A. $\frac{1}{2}\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}$.

B. $\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}$

C. $\sqrt{2({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}})}$

D. $\frac{1}{3}\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}$

Xem thêm:

• MẶT NÓN TRÒN XOAY.
• Mặt trụ tròn xoay.