Chủ đề. MẶT NÓN TRÒN XOAY

                 ——@&?——-

A. Kiến thức cốt lõi

1/. Định nghĩa

 Cho đường thẳng $\Delta $. Một đường thẳng l cắt $\Delta $ tại O và tạo với $\Delta $ một góc $\alpha $ không đổi $\left( {{0}^{0}}<\alpha <{{90}^{0}} \right)$. Mặt tròn xoay sinh bởi đường thẳng l khi quay quanh $\Delta $ gọi là mặt nón tròn xoay (hay đơn giản là mặt nón).

Trong đó:

• $\Delta $:  trục của mặt nón.
• l   :  đường sinh của mặt nón.
• O :  đỉnh của mặt nón.
• $2\alpha $:  góc ở đỉnh.

2/.  Hình nón và khối nón

a/.   Hình nón 

 

Cho mặt nón N  với trục $\Delta $, đỉnh O và góc ở đỉnh là $2\alpha $.

      Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng vuông góc với $\Delta $ tại I $\left( I\ne O \right)$, cắt mặt phẳng theo thiết diện là đường tròn (C )  ; $\left( P’ \right)$ là mặt phẳng vuông góc với $\Delta $ tại O.

      Khi đó phần của mặt nón N  giới hạn bởi hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( P’ \right)$ cùng với đường tròn (C ) được gọi là hình nón.

b/.   Khối nón  

Là phần không gian giới hạn bởi hình nón, kể cả hình nón đó.

3/.  Diện tích hình nón và thể tích khối nón

Cho hình nón N  có chiều cao h, đường sinh l và bán kính đáy R.

• Diện tích xung quanh của hình nón

        ${{S}_{xq}}=\pi Rl$

• Diện tích toàn phần của hình nón

${S_{TP}} = {S_{xq}} + {S_d} = \pi Rl + \pi {R^2} = \pi R\left( {l + R} \right)$

• Thể tích khối nón

$V=\frac{1}{3}\pi {{R}^{2}}h$

B. Phân loại dạng bài tập cơ bản

1. Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích của khối nón

Ví dụ  Trong không gian cho tam giác  OAB vuông tại A, góc $\widehat {OBA} = {45^0}$ và cạnh AB=a. Khi quay tam giác OAB quanh cạnh OA thì đường gấp khúc OAB tạo thành một hình nón tròn xoay .

a/. Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón.

b/. Tính thể tích khối nón.

Giải

a/. Do AB=a, suy ra: $l = OB = a\sqrt 2 $; $R = AB = a$

Khi đó:

• ${S_{xq}} = \pi Rl = \pi .a.a\sqrt 2 = \pi {a^2}\sqrt 2 $
• ${S_d} = \pi {R^2} = \pi {a^2}$
• ${S_{TP}} = {S_{xq}} + {S_d} = \pi {a^2}\sqrt 2 + \pi {a^2} = \pi \left( {1 + \sqrt 2 } \right)$

b/. Theo giả thiết, có AB=AO=h và $h = OA = a$; $R=a$. Suy ra:

${V_n} = \frac{1}{3}.S_d^2.h = \frac{1}{3}.\pi .{a^2}.a = \frac{{\pi {a^3}}}{3}$.

Bài tập

Bài 1:  Cho hai điểm $A,B$ cố định. Một đường thẳng d  thay đổi luôn đi qua A và cách B một đoạn không đổi $a=\frac{AB}{2}$. Chứng minh rằng d  luôn nằm trên một mặt nón tròn xoay.

Bài 2:  Trong mặt phẳng $\left( P \right)$ cho điểm O cố định. Xét những đường thẳng d thay đổi luôn đi qua O và hợp với $\left( P \right)$ một góc 30⁰. Chứng minh rằng d luôn nằm trên một mặt nón xác định.

Bài 3:  Cho khối nón tròn xoay có đường cao $h=20cm$, bán kính đáy $R=25cm$. Một mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua đỉnh của khối nón và có khoảng cách đến tâm O của đáy là $12cm$. Hãy xác định thiết diện của $\left( P \right)$ với khối nón và tính diện tích thiết diện đó.

Đs: ${S_{SAB}} = 500\left( {c{m^2}} \right)$

Bài 4:  Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO, A và B là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao cho khoảng cách từ O đến AB bằng a và $\widehat{SAO}={{30}^{0}},\widehat{SAB}={{60}^{0}}$. Tính độ dài đường sinh của hình nón theo a.

Đs:$l = a\sqrt 2 $

Bài 5:  Cho hình lập phương $ABCD.A’B’C’D’$ cạnh a. Tính diện tích xung quanh của hình nón có đỉnh là tâm O của hình vuông ABCD và đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông $A’B’C’D’$.

đs:${S_{xq}} = \frac{{\pi {a^2}\sqrt 5 }}{4}$

Bài 6:  Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a.

1. Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón.
2. Tính thể tích của khối nón tương ứng.
3. Một thiết diện qua đỉnh và tạo với đáy một góc 60⁰. Tính diện tích của thiết diện này.

Đs: a)${S_{xq}} = \frac{{\pi {a^2}\sqrt 2 }}{2}$; ${S_{tp}} = \frac{{\pi {a^2}}}{2}\left( {\sqrt 2 + 1} \right)$

b) $V = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 2 }}{{12}}$

c)$S = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{3}$

Bài 7:  Cho S.ABC  là hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng a và có góc giữa các mặt bên và mặt đáy là $\alpha $. Một hình nón đỉnh S có đường tròn đáy nội tiếp tam giác đều ABC. Hãy tính diện tích xung quanh của hình nón này theo a và $\alpha $.

đs: ${S_{xq}} = \frac{{\pi {a^2}}}{{\cos \alpha \left( {{{\tan }^2}\alpha + 4} \right)}}$

C. Bài tập Trắc nghiệm

Câu 1. Cho hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông cạnh $a$ , cạnh bên của hình hộp bằng $2a$.Xét khối nón có đáy là đường tròn ngoại tiếp một mặt đáy của hình hộp và đỉnh là tâm của đáy còn lại của hình hộp. Tính thể tích khối nón.

A. $\frac{\pi {{a}^{3}}}{3}$

B. $\frac{\pi {{a}^{3}}}{2}$

C. $\pi {{a}^{3}}$

D. $2\pi {{a}^{3}}$

Câu 2. Một hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông cạnh 1 , cạnh bên của bằng 2. Xét hình nón có đáy là đường tròn nội tiếp một mặt đáy của hình hộp và đỉnh là tâm của mặt đáy còn lại của hình hộp. Tính diện tích xung quanh của hình nón.

A. $\frac{\pi \sqrt{17}}{2}$

B. $\frac{\pi \sqrt{17}}{4}$

C. $\frac{3\pi }{2}$

D. $3\pi $

Câu 3. Cho hình lập phương $ABCD.{{A}^{‘}}{{B}^{‘}}{{C}^{‘}}{{D}^{‘}}$có cạnh bằng 1. Tính diện tích xung quanh của hình tròn xoay sinh bởi đường gấp khúc $A{{C}^{‘}}{{A}^{‘}}$ khi quay quanh $A{{A}^{‘}}$

A. $\pi \sqrt{6}$

B. $\pi \sqrt{3}$

C. $\pi \sqrt{2}$

D. $\pi \sqrt{5}$

Câu 4. Một hình nón có bán kính đáy $r=1$ , chiều cao $\frac{4}{3}$. Kí hiệu góc ở đỉnh của hình nón là $2\alpha $. Trong các mệnh đề sau đây, tìm mệnh đề đúng.

A. $\sin \alpha =\frac{3}{5}$

B. $\cos \alpha =\frac{3}{5}$

C. $\tan \alpha =\frac{3}{5}$

D. $\cot \alpha =\frac{3}{5}$

Câu 5. Cho tứ diện $ABCD$ có $AB,BC,CD$ đôi một vuông góc, $AB=1$ , $BC=2$ ,$CD=3$ . Quay tứ diện đó quanh trục $BC$. Tính tổng thể tích của các khối nón tạo thành.

A. $\frac{20\pi }{81}$

B. $\frac{20\pi }{3}$

C. $\frac{20\pi }{9}$

D. $\frac{20\pi }{27}$

---

Xem thêm:

• Mặt trụ tròn xoay.
• Mặt cầu.