MỘT SỐ DẠNG THƯỜNG GẶP KHI TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN LOẠI 1
I. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số
Định lý:
Nếu $\int{f(t)dt=F(t)+C}$và $u=u(x)$ là hàm số có đạo hàm liên tục thì:
$\int{f(u(x))u'(x)dx=F(u(x))+C}$
2. Hệ quả: Nếu $u(x)=ax+b\,\,(a\ne 0)$ thì:
$\int{f(ax+b)dx=\frac{1}{a}F(ax+b)+C\,\,(a\ne 0)}$
Ví dụ: Tính
$a)\int{{{(2x+1)}^{5}}dx}$
$b)\int{\sin (3x+1)dx}$
Giải
a) Đặt $u=2x+1\Rightarrow du=2dx\Rightarrow dx=\frac{du}{2}$
Khi đó: $\int{{{(2x+1)}^{5}}dx}=\frac{1}{2}\int{{{u}^{5}}du=\frac{1}{2}.\frac{1}{6}{{u}^{6}}+C=\frac{1}{12}{{(2x+1)}^{6}}+C}$
b) Đặt $u=3x+1\Rightarrow du=3dx\Rightarrow dx=\frac{du}{3}$
Khi đó: $\int{sin(3x+1)dx}=\frac{1}{3}\int{\sin udu=-\frac{1}{3}.c\text{osu}+C=-\frac{1}{3}\text{cos}(3x+1)+C}$
II. Các kỹ thuật đổi biến thường gặp trong tìm nguyên hàm
Dạng 1. ${{\int{(ax+b)}}^{\beta }}dx;\left( \beta \ne -1 \right)$
Định lý: ${{\int{(ax+b)}}^{\beta }}dx=\frac{1}{a}.\frac{1}{\beta +1}{{(ax+b)}^{\beta +1}}+C$
Thật vậy: Đặt $u=ax+b\Rightarrow du=a.dx\Rightarrow dx=\frac{du}{a}$
Khi đó: ${{\int{(ax+b)}}^{\beta }}dx=\frac{1}{a}\int{{{u}^{\beta }}du}=\frac{1}{a}.\frac{1}{\beta +1}{{u}^{\beta +1}}+C=\frac{1}{a}.\frac{1}{\beta +1}{{(ax+b)}^{\beta +1}}+C$
Ví dụ: Tính
$a)I=\int{{{(3x+1)}^{3}}dx}$
$b)J=\int{{{(5x+1)}^{2015}}dx}$
Giải
a) Đặt $u=3x+1\Rightarrow du=3dx\Rightarrow dx=\frac{du}{3}$
Khi đó: $I=\int{{{(3x+1)}^{3}}dx}=\frac{1}{3}\int{{{u}^{3}}du=\frac{1}{3}.\frac{1}{4}{{u}^{4}}+C=\frac{1}{12}{{(3x+1)}^{4}}+C}$
b) Đặt $u=5x+1\Rightarrow du=5dx\Rightarrow dx=\frac{du}{5}$
Khi đó: $J=\int{{{(5x+1)}^{2015}}dx}=\frac{1}{5}\int{{{u}^{2015}}du=\frac{1}{5}.\frac{1}{2015}{{u}^{2016}}+C=\frac{1}{10075}{{(5x+1)}^{2016}}+C}$
Dạng 2. ${{\int{(f(x))}}^{\beta }}.f'(x)dx$
Định lý: ${{\int{f'(x).(f(x))}}^{\beta }}dx=\frac{1}{\beta +1}{{(f(x))}^{\beta +1}}+C$
Thật vậy: Đặt $u=f(x)\Rightarrow du=f'(x).dx$
Khi đó: ${{\int{(f(x))}}^{\beta }}.f'(x)dx={{\int{\left( f(x) \right)}}^{\beta }}d(f(x))=\frac{1}{\beta +1}{{u}^{\beta +1}}+C=\frac{1}{\beta +1}{{(f(x))}^{\beta +1}}+C$
Ví dụ: Tính
$a)I=\int{x.\sqrt{{{x}^{2}}+1}dx}$
$b)J=\int{{{x}^{2}}.\sqrt{{{x}^{3}}+1}dx}$
Giải
a) Đặt $u={{x}^{2}}+1\Rightarrow du=2xdx\Rightarrow xdx=\frac{du}{2}$
Khi đó: $I=\int{x.\sqrt{{{x}^{2}}+1}dx=\frac{1}{2}}\int{{{u}^{\frac{1}{2}}}du}=\frac{1}{2}.\frac{3}{2}{{u}^{\frac{3}{2}}}+C=\frac{3}{4}{{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)}^{3}}+C$
b) Đặt $u={{x}^{3}}+1\Rightarrow du=3{{x}^{2}}dx\Rightarrow {{x}^{2}}dx=\frac{du}{3}$
Khi đó: $\int{{{x}^{2}}.\sqrt{{{x}^{3}}+1}dx}=\frac{1}{3}\int{{{u}^{\frac{3}{2}}}du=\frac{1}{3}.\frac{2}{5}{{u}^{\frac{5}{2}}}+C=\frac{2}{15}{{(\sqrt{{{x}^{3}}+1})}^{5}}+C}$
Lưu ý: Ta có thể không trình bày bước đặt ẩn phụ mà thực hiện trực tiếp biến đổi (Phần đặt ẩn phụ thực hiện ngoài nháp). Kỹ thật đó được gọi là “Kỹ thuật đưa vào vi phân” nhằm loại bỏ động tác đặt ẩn phụ và tiết kiệm thời gian. Tất cả các bài toán đặt ẩn phụ đều có thể áp dụng kỹ thuật này.
Cụ thể trong các ví dụ trên ta thực hiện như sau:
$a)\int{x.\sqrt{{{x}^{2}}+1}dx=\frac{1}{2}}\int{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{\frac{1}{2}}}d\left( {{x}^{2}}+1 \right)}=\frac{1}{2}.\frac{3}{2}{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{\frac{3}{2}}}+C=\frac{3}{4}{{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)}^{3}}+C$
$b)\int{{{x}^{2}}.\sqrt{{{x}^{3}}+1}dx}=\frac{1}{3}\int{{{\left( {{x}^{3}}+1 \right)}^{\frac{3}{2}}}d\left( {{x}^{3}}+1 \right)}=\frac{1}{3}.\frac{2}{5}{{\left( {{x}^{3}}+1 \right)}^{\frac{5}{2}}}+C=\frac{2}{15}{{(\sqrt{{{x}^{3}}+1})}^{5}}+C$
Dạng 3. $\int{\frac{dx}{ax+b}}$
Định lý: $\int{\frac{dx}{ax+b}}=\frac{1}{a}\int{\frac{d(ax+b)}{ax+b}=\frac{1}{a}\ln (ax+b)+C}$
Ví dụ: Tính $\begin{align}
& I=\int{\frac{dx}{2x+1}}=\frac{1}{2}\int{\frac{d(2x+1)}{2x+1}=\frac{1}{2}\ln (2x+1)+C} \\
& u=2x+1=>dx=\frac{1}{2}du=>I=\int{\frac{dx}{2x+1}}=\frac{1}{2}\int{\frac{du}{u}=\frac{1}{2}\ln \left| u \right|+C=}\frac{1}{2}\ln \left| 2x+1 \right|+C \\
\end{align}$
Bài tập thực hành
Tính:
$a)\int{\frac{dx}{3x+2}}$
$b)\int{\frac{dx}{5x-1}}$
$c)\int{(\frac{1}{x+1}}-\frac{1}{2x-1})dx$
$d)\int{(\frac{1}{2x+1}}-\frac{1}{2x-1})dx$
Dạng 4. ${{\int{e}}^{ax+b}}dx$
Định lý: ${{\int{e}}^{ax+b}}dx=\frac{1}{a}{{\int{e}}^{ax+b}}d(ax+b)=\frac{1}{a}.{{e}^{ax+b}}+C$
Ví dụ: Tính $I={{\int{e}}^{2x+1}}dx$
Giải: Đặt $u={{e}^{2x+1}}$
Ta có: $I={{\int{e}}^{2x+1}}dx=\frac{1}{2}\int{{{e}^{2x+1}}d(2x+1)=\frac{1}{2}{{e}^{2x+1}}+C}$
Bài tập thực hành
Tính:
$a)\int{{{e}^{3x+2}}dx}$
$b)\int{{{e}^{-x}}dx}$
$c)\int{({{e}^{-x}}}-{{e}^{x}})dx$
$d)\int{{{e}^{2015x+1}}}dx$
Dạng 5. $I=\int{\sin (ax+b)dx}$; $J=\int{\text{cos}(ax+b)dx}$
Định lý:
$\int{\sin (ax+b)dx}=\frac{1}{a}\int{\sin (ax+b)d(ax+b)=-\frac{1}{a}\cos (ax+b)+C}$
$\int{cos(ax+b)dx}=\frac{1}{a}\int{\text{cos}(ax+b)d(ax+b)=\frac{1}{a}\sin (ax+b)+C}$
Ví dụ: Tính
$a)I=\int{\sin (2x-1)dx}$
$b)J=\int{\text{cos(x-}\frac{\pi }{6}})dx$
Giải:
$a)\int{\sin (2x-1)dx}=\frac{1}{2}\int{\sin (2x-1)d(2x-1)=-\frac{1}{2}\text{cos(2x-1)+C}}$
$b)J=\int{\text{cos(x-}\frac{\pi }{6}})dx=\int{\text{cos(x-}\frac{\pi }{6}})d(x-\frac{\pi }{6})=\sin (x-\frac{\pi }{6})+C$
Dạng 6. $I=\int{\frac{dx}{si{{n}^{2}}(ax+b)}};J=\int{\frac{dx}{\text{co}{{\text{s}}^{2}}(ax+b)}}$
Định lý:
$I=\int{\frac{dx}{{{\sin }^{2}}(ax+b)}}=\frac{1}{a}\int{\frac{d(ax+b)}{si{{n}^{2}}(ax+b)}}=-\frac{1}{a}\cot (ax+b)+C$
$J=\int{\frac{dx}{\text{co}{{\text{s}}^{2}}(ax+b)}}=\frac{1}{a}\int{\frac{d(ax+b)}{\text{co}{{\text{s}}^{2}}(ax+b)}}=\frac{1}{a}\tan (ax+b)+C$
Ví dụ: Tính
$a)\int{\frac{dx}{si{{n}^{2}}(2x+1)}}$
$b)J=\int{\frac{dx}{\text{co}{{\text{s}}^{2}}(3x+\frac{\pi }{3})}}$
Giải
$a)I=\int{\frac{dx}{si{{n}^{2}}(2x+1)}}=\frac{1}{2}\int{\frac{d(2x+1)}{si{{n}^{2}}(2x+1)}=-\frac{1}{2}\cot (2x+1)+C}$
$b)\int{\frac{dx}{\text{co}{{\text{s}}^{2}}(3x+\frac{\pi }{3})}}=\frac{1}{3}\int{\frac{d(3x+\frac{\pi }{3})}{\text{co}{{\text{s}}^{2}}(3x+\frac{\pi }{3})}}=\frac{1}{3}\tan (3x+\frac{\pi }{3})+C$
Bài tập thực hành
$a)\int{\frac{dx}{si{{n}^{2}}(3x+1)}}$
$b)\int{\frac{dx}{si{{n}^{2}}(x+\frac{\pi }{6})}}$
$c)\int{\frac{dx}{\text{co}{{\text{s}}^{2}}(2x+3)}}$
$d)\int{\frac{dx}{\text{co}{{\text{s}}^{2}}(2x-\frac{\pi }{3})}}$
0 Bình luận