Nhận dạng tam giác

1. Phương pháp giải.

Sử dụng định lí côsin; sin; công thức đường trung tuyến; công thức tính diện tích tam giác để biến đổi giả thiết về hệ thức liên hệ cạnh(hoặc góc) từ đó suy ra dạng của tam giác.

2. Các ví dụ.

Ví dụ 1: Cho tam giác $ABC$ thoả mãn $\sin C=2\sin B\cos A$. Chứng minh minh rằng tam giác $ABC$ cân .

Lời giải:

Áp dụng định lí côsin và sin ta có:

$\sin C=2\sin B\cos A\Leftrightarrow \frac{c}{2R}=2.\frac{b}{2R}.\frac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}}}{2bc}$

${{c}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}}\Leftrightarrow a=b$

Suy ra tam giác $ABC$ cân tại đỉnh C.

Ví dụ 2: Cho tam giác $ABC$ thoả mãn  $\sin A=\frac{\sin B+\sin C}{\cos B+\cos C}$ . Chứng minh rằng tam giác $ABC$ vuông.

Lời giải:

Ta có: $\sin A=\frac{\sin B+\sin C}{\cos B+\cos C}\Leftrightarrow \sin A(\cos B+\cos C)=\sin B+\sin C$

$\Leftrightarrow \frac{a}{2R}(\frac{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}{2ca}+\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}}}{2ab})=\frac{b+c}{2R}$

$\Leftrightarrow b({{c}^{2}}+{{a}^{2}}-{{b}^{2}})+c({{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}})=2{{b}^{2}}c+2{{c}^{2}}b$

$\Leftrightarrow {{b}^{3}}+{{c}^{3}}+{{b}^{2}}c+b{{c}^{2}}-{{a}^{2}}b-{{a}^{2}}c=0\Leftrightarrow (b+c)({{b}^{2}}+{{c}^{2}})-{{a}^{2}}(b+c)=0$${{b}^{2}}+{{c}^{2}}={{a}^{2}}\Leftrightarrow \Delta ABC$ vuông tại A.

Ví dụ 3: Nhận dạng tam giác $ABC$ trong các trường hợp sau:

a) $a.\sin A+b\sin B+c\sin C={{h}_{a}}+{{h}_{b}}+{{h}_{c}}$

b) $\frac{{{\cos }^{2}}A+{{\cos }^{2}}B}{{{\sin }^{2}}A+{{\sin }^{2}}B}=\frac{1}{2}({{\cot }^{2}}A+{{\cot }^{2}}B)$

Lời giải:

a) Áp dụng công thức diện tích ta có $S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}a{{h}_{a}}$ suy ra

$a.\sin A+b\sin B+c\sin C={{h}_{a}}+{{h}_{b}}+{{h}_{c}}\Leftrightarrow $$a.\frac{2S}{bc}+b.\frac{2S}{ca}+c.\frac{2S}{ab}=\frac{2S}{a}+\frac{2S}{b}+\frac{2S}{c}$

$\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=ab+bc+ca\Leftrightarrow {{\left( a-b \right)}^{2}}+{{\left( b-c \right)}^{2}}+{{\left( c-a \right)}^{2}}=0$

$\Leftrightarrow a=b=c$

Vậy tam giác $ABC$ đều

b)  Ta có: $\frac{{{\cos }^{2}}A+{{\cos }^{2}}B}{{{\sin }^{2}}A+{{\sin }^{2}}B}=\frac{1}{2}({{\cot }^{2}}A+{{\cot }^{2}}B)$

$\Leftrightarrow \frac{{{\cos }^{2}}A+{{\cos }^{2}}B+{{\sin }^{2}}A+{{\sin }^{2}}B}{{{\sin }^{2}}A+{{\sin }^{2}}B}=\frac{1}{2}({{\cot }^{2}}A+1+{{\cot }^{2}}B+1)$

$\Leftrightarrow \frac{2}{{{\sin }^{2}}A+{{\sin }^{2}}B}=\frac{1}{2}(\frac{1}{{{\sin }^{2}}A}+\frac{1}{{{\sin }^{2}}B})\Leftrightarrow {{({{\sin }^{2}}A+{{\sin }^{2}}B)}^{2}}=4{{\sin }^{2}}A{{\sin }^{2}}B$

$\Leftrightarrow {{\sin }^{2}}A={{\sin }^{2}}B\Leftrightarrow {{\left( \frac{a}{2R} \right)}^{2}}={{\left( \frac{b}{2R} \right)}^{2}}\Leftrightarrow a=b\Leftrightarrow \Delta ABC$ cân tại C.

3. Bài tập luyện tập.

Bài 1:

Cho tam giác $ABC$. Chứng minh tam giác $ABC$ cân nếu ${{h}_{a}}=c.\sin A$

Lời giải:

Sử dụng công thức  $S=\frac{1}{2}a{{h}_{a}}=\frac{1}{2}bc\sin A$ ta có

${{h}_{a}}=c.\sin A\Leftrightarrow b{{h}_{a}}=a{{h}_{a}}\Leftrightarrow a=b$ suy ra tam giác $ABC$ cân tại C

Bài 2:

Cho tam giác $ABC$. Chứng minh tam giác $ABC$ cân nếu $4m_{a}^{2}=b\left( b+4c.\cos A \right)$

Lời giải:

Sử dụng công thức đường trung tuyến và định lí sin.

$4m_{a}^{2}=b\left( b+4c.\cos A \right)\Leftrightarrow 4\frac{2\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)-{{a}^{2}}}{4}=b\left( b+4c.\frac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}}}{2bc} \right)\Leftrightarrow a=b$

Bài 3:

Chứng minh rằng tam giác $ABC$ đều khi và chỉ khi ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=36{{r}^{2}}$

Lời giải:

Ta có ${{r}^{2}}=\frac{{{S}^{2}}}{{{p}^{2}}}=\frac{\left( p-a \right)\left( p-b \right)\left( p-c \right)}{p}$

Theo Cauchy  $\left( p-a \right)\left( p-b \right)\left( p-c \right)\le {{\left( \frac{3p-a-b-c}{3} \right)}^{3}}={{\left( \frac{p}{3} \right)}^{3}}$

Suy ra $36{{r}^{2}}\le \frac{4{{p}^{3}}}{3p}=\frac{{{\left( a+b+c \right)}^{2}}}{3}\le {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$ hay tam giác $ABC$ đều.

Bài 4:

Cho tam giác $ABC$. Tìm góc A trong tam giác biết các cạnh a, b, c thoả mãn hệ thức:

$b({{b}^{2}}-{{a}^{2}})=c({{c}^{2}}-{{a}^{2}}),(b\ne c)$.

Lời giải:

$b({{b}^{2}}-{{a}^{2}})=c({{c}^{2}}-{{a}^{2}})\Leftrightarrow {{b}^{3}}-{{c}^{3}}={{a}^{2}}\left( b-c \right)\Leftrightarrow {{b}^{2}}+bc+{{c}^{2}}={{a}^{2}}$

Theo định lí côsin thì ${{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}-2bc\cos A$

Do đó ${{b}^{2}}+bc+{{c}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}-2bc\cos A\Leftrightarrow \cos A=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \widehat{A}={{60}^{0}}$

Bài 5:

  Cho $\Delta ABC$ thoả mãn điều kiện:

$\left\{ \begin{align}
& \frac{{{a}^{3}}+{{c}^{3}}-{{b}^{3}}}{a+c-b}={{b}^{2}} \\
& a=2b\cos C \\
\end{align} \right.$.

Chứng minh rằng $\Delta ABC$ đều.

Lời giải:

Ta có $\frac{{{a}^{3}}+{{c}^{3}}-{{b}^{3}}}{a+c-b}={{b}^{2}}\Leftrightarrow \left( b+c \right)\left( {{b}^{2}}-bc+{{c}^{2}} \right)={{a}^{2}}\left( b+c \right)$

$\Leftrightarrow \cos A=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \widehat{A}={{60}^{0}}$

$a=2b\cos C\Leftrightarrow a=2b\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}}}{2ab}\Leftrightarrow b=c$

Vậy tam giác $ABC$ đều.

Bài 6:

Trong tam giác $ABC$, chứng minh rằng nếu diện tích tính theo công thức $S=\frac{1}{4}\left( a+b-c \right)\left( a-b+c \right)$ thì tam giác ABC đều.

Lời giải:

 Ta có $S=\frac{1}{4}\left( a+b-c \right)\left( a-b+c \right)$$=\frac{1}{4}\left[ {{a}^{2}}-{{\left( b-c \right)}^{2}} \right]$

$=\frac{1}{4}\left[ \left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}}-2\cos A \right)-{{\left( b-c \right)}^{2}} \right]$$=\frac{1}{4}\left( 2bc \right)\left( 1-\cos A \right)$$=\frac{1}{2}bc\left( 1-\cos A \right)$

Mặt khác ta lại có$S=\frac{1}{2}bc\sin A$ nên $1-\cos A=\sin A\Leftrightarrow 1-2\cos A+{{\cos }^{2}}A={{\sin }^{2}}A$

$\Leftrightarrow \cos A\left( \cos A-1 \right)=0\Leftrightarrow \cos A=0\Leftrightarrow A={{90}^{0}}$

Vậy $\Delta ABC$ vuông tại $A$

Bài 7:

Cho $\Delta ABC$ thỏa mãn: $\frac{1+\cos B}{\sin B}=\frac{2a+c}{\sqrt{4{{a}^{2}}-{{c}^{2}}}}$. Chứng minh rằng tam giác $ABC$ là tam giác cân.

Lời giải:

Ta có: $\frac{1+\cos B}{\sin B}=\frac{2a+c}{\sqrt{4{{a}^{2}}-{{c}^{2}}}}\Leftrightarrow \frac{{{(1+\cos B)}^{2}}}{{{\sin }^{2}}B}=\frac{2a+c}{2a-c}$

$\begin{align}
& \Leftrightarrow \frac{(1+2\cos B+{{\cos }^{2}}B)+{{\sin }^{2}}B}{{{\sin }^{2}}B}=\frac{2a+c+2a-c}{2a-c} \\
& \Leftrightarrow \frac{1+\cos B}{1-{{\cos }^{2}}B}=\frac{2a}{2a-c}\Leftrightarrow 2a-c=2a-2a.\cos B \\
\end{align}$

$\Leftrightarrow 2a\frac{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}{2ac}=c\Leftrightarrow {{a}^{2}}-{{b}^{2}}=0\Leftrightarrow a=b$

$\Leftrightarrow \Delta ABC$ là tam giác cân tại C.

Bài 8:

Chứng minh rằng tam giác $ABC$ vuông tại A hoặc B khi và chỉ khi $\sin C=\cos A+\cos B$.

Lời giải:

Ta có:

$\cos A+\cos B=\frac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}}}{2bc}+\frac{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}{2ca}=\frac{2(a+b)(p-a)(p-b)}{abc}$

Vậy $\sin C=\cos A+\cos B\Leftrightarrow \frac{c}{2R}=\frac{2(a+b)(p-a)(p-b)}{abc}$

$\Leftrightarrow \frac{2cS}{abc}=\frac{2(a+b)(p-a)(p-b)}{abc}$$\Leftrightarrow {{c}^{2}}[{{(a+b)}^{2}}-{{c}^{2}}]={{(a+b)}^{2}}[{{c}^{2}}-{{(a-b)}^{2}}]$

$\Leftrightarrow {{c}^{4}}={{({{a}^{2}}-{{b}^{2}})}^{2}}\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
& {{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}} \\
& {{b}^{2}}={{c}^{2}}+{{a}^{2}} \\
\end{align} \right.\Leftrightarrow \Delta ABC$ vuông tại A hoặc B.

Bài 9:

Cho tam giác $ABC$ có hai trung tuyến kẻ từ B và C vuông góc với nhau và có$R.r=\frac{bc}{2\left( 1+\sqrt{10} \right)}$ . Chứng mình rằng tam giác $ABC$ cân

Lời giải:

Gọi G là trọng tâm, khi đó tam giác $GBC$ vuông tại G. Theo định lí pitago và công thức đường trung tuyến suy ra ${{b}^{2}}+{{c}^{2}}=5{{a}^{2}}$.

 Sử dụng $R.r=\frac{bc}{2\left( 1+\sqrt{10} \right)}$, trong đó  $R=\frac{abc}{4S},r=\frac{S}{p}$ suy ra $b+c=a\sqrt{10}$

Từ 2 giả thiết trên suy ra $b=c=a\sqrt{5}$

Bài 10:

Chứng minh rằng tam giác $ABC$ đều khi và chỉ khi $\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}=\frac{\sqrt{ab}}{4c}$.

Lời giải:

HD: Ta có: $\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}=\frac{\sqrt{ab}}{4c}\Leftrightarrow \sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{bc}}\sqrt{\frac{(p-c)(p-a)}{ca}}=\frac{\sqrt{ab}}{4c}$

$\begin{align}
& \Leftrightarrow {{(p-c)}^{2}}(p-a)(p-b)=\frac{{{a}^{2}}{{b}^{2}}}{16} \\
& \Leftrightarrow [(a+b-c)(b+c-a)][(a+b-c)(c+a-b)]={{a}^{2}}{{b}^{2}} \\
\end{align}$

$\Leftrightarrow [{{b}^{2}}-{{(c-a)}^{2}}][{{a}^{2}}-{{(b-c)}^{2}}]={{a}^{2}}{{b}^{2}}\text{     (1)}$

Nhận thấy: $0<{{b}^{2}}-{{(c-a)}^{2}}<{{b}^{2}}$ và $0<{{a}^{2}}-{{(b-c)}^{2}}<{{a}^{2}}$

Nên $[{{b}^{2}}-{{(c-a)}^{2}}][{{a}^{2}}-{{(b-c)}^{2}}]\le {{a}^{2}}{{b}^{2}}$

Vậy $(1)\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& c-a=0 \\
& b-c=0 \\
\end{align} \right.\Leftrightarrow a=b=c\Leftrightarrow \Delta ABC$ đều.

Bài 11:

Chứng minh rằng tam giác$ABC$ cân tại tại B khi và chỉ khi

$p\tan \frac{B}{2}\tan \frac{C}{2}=p-c$.

Lời giải:

Ta có $p\tan \frac{B}{2}\tan \frac{C}{2}=p-c\Leftrightarrow p\sqrt{\frac{(p-c)(p-a)}{p(p-b)}}\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)}{p(p-c)}}=p-c$

$\Leftrightarrow p-a=p-c\Leftrightarrow a=c\Leftrightarrow \Delta ABC$ cân


0 Bình luận

Trả lời

Avatar placeholder