Phương pháp tính giới hạn dãy số- Các kỹ thuật cơ bản

Phương pháp tính giới hạn dãy số- Các kỹ thuật cơ bản

A. Các phương pháp và các kỹ thuật cơ bản tính giới hạn dãy

Dạng 1. $\frac{\infty }{\infty }$

Nhận dạng: Nếu sau khi thay $\infty $ vào cả tử và mẫu, kết quả thu được có dạng $\frac{\infty }{\infty }$.

Phương pháp giải:

Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất của n.

Vi dụ 1. Tính gới hạn sau

\(\lim \dfrac{6n – 1}{3n +2}\)

Lời giải:

\(\lim \dfrac{{6n – 1}}{{3n + 2}} \) \(= \lim \dfrac{{n\left( {6 – \dfrac{1}{n}} \right)}}{{n\left( {3 + \dfrac{2}{n}} \right)}}\) \( = \lim \dfrac{{6 – \dfrac{1}{n}}}{{3 + \dfrac{2}{n}}} \) \(= \dfrac{{\lim \left( {6 – \dfrac{1}{n}} \right)}}{{\lim \left( {3 + \dfrac{2}{n}} \right)}}\) \( = \dfrac{{6 – \lim \dfrac{1}{n}}}{{3 + \lim \dfrac{2}{n}}} \) \(= \dfrac{{6 – 0}}{{3 + 0}} = 2\)

Chú ý: Sử dụng máy tính cầm tay casio fx 570 VN Plus.

Bước 1. Nhập biểu thức (sau dấu lim) vào máy, nhớ thay n bằng X.

Bước 2. Dùng lệnh calc, chọn $X = {10^8}$, chọn nút “=” ta được kết quả.

Hệ quả 1.

Nếu bậc của tử bé hơn bậc của mẫu thì $\lim \frac{{f\left( n \right)}}{{g(n)}} = 0.$

Ví dụ 2. Tính gới hạn sau

\(\lim \dfrac{3n^{2}+n-5}{2n^{2}+1}\)

Lời giải:

Ví dụ 3. Tính gới hạn sau

\(\lim\dfrac{\sqrt{9n^{2}-n+1}}{4n -2}\)

Lời giải:

Chú ý: Sử dụng máy tính cầm tay casio fx 570 VN Plus.

Bước 1. Nhập biểu thức (sau dấu lim) vào máy, nhớ thay n bằng X.

Bước 2. Dùng lệnh calc, chọn $X = {10^8}$, chọn nút “=” ta được kết quả.

Hệ quả 2.

Nếu bậc của tử = bậc của mẫu thì $\lim \frac{{f\left( n \right)}}{{g(n)}}$ luôn bằng hệ số của n với số mũ cao nhất của tử chia cho hệ số của n với số mũ cao nhất của mẫu.

Ví dụ 4. Tính giới hạn sau

$\lim \frac{{{n^3} + 2{n^2} + 1}}{{{n^2} + 1}}$.

Lời giải:

Cách 1: Chia cả tử và mẫu cho $n^3$, ta được:

$\lim \frac{{{n^3} + 2{n^2} + 1}}{{{n^2} + 1}} = \lim \frac{{1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{\frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^3}}}}}$

Do: $\lim \left( {1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} \right) = 1 > 0$.

$\lim \left( {\frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^3}}}} \right) = 0$.

Và: $\frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^3}}} > 0;\forall n$

Áp dụng định lý về giới hạn, ta được: $\lim \frac{{{n^3} + 2{n^2} + 1}}{{{n^2} + 1}} = + \infty $.

Cách 2. $\lim \frac{{{n^3} + 2{n^2} + 1}}{{{n^2} + 1}}$ $ = \lim n.\frac{{{n^2} + 2n + \frac{1}{n}}}{{{n^2} + 1}}$ $ = \lim \left( {n.\frac{{1 + \frac{2}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{n^3}}}}}{{1 + \frac{1}{{{n^2}}}}}} \right) = + \infty .1 = + \infty $.

Chú ý: Sử dụng máy tính cầm tay casio fx 570 VN Plus.

• Bước 1. Nhập biểu thức (sau dấu lim) vào máy, nhớ thay n bằng X.
• Bước 2. Dùng lệnh calc, chọn $X = {10^8}$, chọn nút “=” ta được kết quả.
• Bước 3. Đọc kết quả:

+ Nếu số xuất hiện là số dương thì đáp số bằng ${ + \infty }$.

+ Nếu số xuất hiện là số âm thì đáp số bằng ${ – \infty }$.

Hệ quả 3.

Nếu bậc của tử > bậc của mẫu thì $\lim \frac{{f\left( n \right)}}{{g(n)}}$ luôn bằng ${ \pm \infty }$.

Quy tắc chia phân phối:

Ví dụ: Tính gới hạn sau

$\lim \frac{{\left( {n + 1} \right)\left( {2{n^2} + 2} \right)\left( {3{n^6} + 1} \right)}}{{\left( {4{n^3} + 3} \right)\left( {{n^5} + 2} \right)\left( {5n + 4} \right)}}$

Giải

$\lim \frac{{\left( {n + 1} \right)\left( {2{n^2} + 2} \right)\left( {3{n^6} + 1} \right)}}{{\left( {4{n^3} + 3} \right)\left( {{n^5} + 2} \right)\left( {5n + 4} \right)}}$

$ = \lim \frac{{\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)\left( {2 + \frac{2}{{{n^2}}}} \right)\left( {3 + \frac{1}{{{n^6}}}} \right)}}{{\left( {4 + \frac{3}{{{n^3}}}} \right)\left( {1 + \frac{2}{{{n^5}}}} \right)\left( {5 + \frac{4}{n}} \right)}}$

$ = \frac{{\left( {1 + 0} \right)\left( {2 + 0} \right)\left( {3 + 0} \right)}}{{\left( {4 + 0} \right)\left( {1 + 0} \right)\left( {5 + 0} \right)}} = \frac{3}{{10}}$

Dạng 2. Dạng chứa ${c^n}$

Phương pháp: Chia cả tử và mẫu cho ${c^n}$, với c lớn nhất.

Ví dụ 4. Tính gới hạn sau

\(\lim \dfrac{3^{n}+5.4^{n}}{4^{n}+2^{n}}\).

Lời giải:

Dạng 3. Dạng $\infty $

Phương pháp: Nhóm ${n^\alpha }$ với $\alpha $ là số mũ lớn nhất.

Ví dụ 5. Tính các giới hạn sau

\(\lim({n^3} + {\rm{ }}2{n^2}-{\rm{ }}n{\rm{ }} + {\rm{ }}1)\);

Lời giải:

\(\begin{array}{l}
\lim \left( {{n^3} + 2{n^2} – n + 1} \right) \\= \lim {n^3}\left( {1 + \dfrac{2}{n} – \dfrac{1}{{{n^2}}} + \dfrac{1}{{{n^3}}}} \right)
\end{array}\)

Vì \(\lim {n^3} = + \infty \) và

\(\lim \left( {1 + \dfrac{2}{n} – \dfrac{1}{{{n^2}}} + \dfrac{1}{{{n^3}}}} \right) \)

\( = 1 + \lim \dfrac{2}{n} – \lim \dfrac{1}{{{n^2}}} + \lim \dfrac{1}{{{n^3}}}\)

\(=1>0\)

\(\Rightarrow \lim \left( {{n^3} + 2{n^2} – n + 1} \right) = + \infty \)

Ví dụ 6. Tính giới hạn sau.

\(\lim{\rm{ }}( – {n^2} + {\rm{ }}5n{\rm{ }}-{\rm{ }}2)\);

Lời giải:

\(\begin{array}{l}
\lim \left( { – {n^2} + 5n – 2} \right) \\= \lim {n^2}\left( { – 1 + \dfrac{5}{n} – \dfrac{2}{{{n^2}}}} \right)
\end{array}\)

Vì \(\lim {n^2} = + \infty \) và
\(\lim \left( { – 1 + \dfrac{5}{n} – \dfrac{2}{{{n^2}}}} \right) \)

\( = – 1 + \lim \dfrac{5}{n} – \lim \dfrac{2}{{{n^2}}}\)

\(=-1<0\)
\(\Rightarrow \lim \left( { – {n^2} + 5n – 2} \right) = – \infty \)

Dạng 5. Dạng $\infty + \infty $

Nhận dạng: Nếu thay $ + \infty $ vào biểu thức sau dấu lim, ta được kết quả có dạng $ + \infty + \infty $ hoặc $ – \infty – \infty $.

Phương pháp: Nhóm ${n^\alpha }$ với $\alpha $ là số mũ lớn nhất.

Ví dụ 7. Tính giới hạn sau

\(\lim (\sqrt{n^{2}-n} + n)\).

Lời giải:

\(\begin{array}{l}
\,\,\lim \left( {\sqrt {{n^2} – n} + n} \right) = \lim n\left( {\sqrt {1 – \dfrac{1}{n}} + 1} \right)\\
\lim n = + \infty \\
\lim \left( {\sqrt {1 – \dfrac{1}{n}} + 1} \right) =1+1= 2 > 0\\
\Rightarrow \lim \left( {\sqrt {{n^2} – n} + n} \right) = + \infty
\end{array}\)

6. Dạng $\infty – \infty $

Nhận dạng: Nếu thay $ + \infty $ vào biểu thức sau dấu lim, ta được kết quả có dạng $ + \infty – \infty $ hoặc $ – \infty + \infty $.

Thông thường nó có chứa biểu thức dạng: $\sqrt {{n^2}} + n;\sqrt[3]{{{n^3}}} + n;…$

Phương pháp: Nhân chia với biểu thức liên hợp của biểu thức sau dấu lim sau đó đưa về dạng $\frac{\infty }{\infty }$.

Ví dụ 8. Tính giới hạn sau

\(\lim (\sqrt{n^{2}-n}- n)\)

Lời giải:

\(\lim (\sqrt{n^{2}-n} – n) \) \(= \lim \dfrac{(\sqrt{n^{2}-n}-n)(\sqrt{n^{2}-n}+n)}{\sqrt{n^{2}-n}+n}\)
\(= \lim \dfrac{n^{2}-n-n^{2}}{\sqrt{n^{2}-n}+n} \) \(= \lim \dfrac{-n}{\sqrt{{n^2}\left( {1 – {1 \over n}} \right)}+ n} \) \(= \lim \dfrac{-1}{\sqrt{1-\dfrac{1}{n}}+1} = \dfrac{-1}{2}\).

B. Kết hợp các kỹ thuật cơ bản

Dạng 1. Kết hợp giữa liên hợp và chia phân phối.

Ví dụ: Tính gới hạn sau

$\lim \frac{{\sqrt[3]{{{n^3} + 3{n^2} + 1}} – n}}{{n + 1}}$

Giải

$\lim \frac{{\sqrt[3]{{{n^3} + 3{n^2} + 1}} – n}}{{n + 1}}$

$ = \lim \frac{{3{n^2} + 1}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {\sqrt[3]{{{n^3} + 2{n^2} + 1}} + n} \right)}}$

$ = \lim \frac{{3 + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)\left( {\sqrt[3]{{1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}}} + 1} \right)}}$

$ = \frac{{3 + 0}}{{(1 + 0)(1 + 1)}} = \frac{3}{2}$

Lưu ý: Khi chia cả tử và mẫu cho ${{n^2}}$, phía dưới mẫu chia nhóm 1 là ${\left( {n + 1} \right)}$ cho n, nhóm 2 là ${\left( {\sqrt[3]{{{n^3} + 2{n^2} + 1}} + n} \right)}$ cho n. Thường gọi là chia phân phối.

Dạng 2. Kết hợp với tổng cấp số cộng, cấp số nhân.

Ví dụ: Tính giới hạn sau

$\lim \frac{{1 + 3 + 5 + … + (2n – 1)}}{{4{n^2} + 3}}$

Giải

Ta có: $1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = \frac{n}{2}\left[ {(2n – 1) – 1} \right] = {n^2}$

Do đó: $\lim \frac{{1 + 3 + 5 + … + (2n – 1)}}{{4{n^2} + 3}}$ $ = \lim \frac{{{n^2}}}{{4{n^2} + 3}}$ $ = \lim \frac{1}{{4 + \frac{3}{{{n^3}}}}} = \frac{1}{4}$

——————

Xem thêm:

• Lý thuyết về giới hạn dãy số.
• Ứng dụng dãy số vào các bài toán thực tế.