Phép chiếu song song

Phép chiếu song song

Lý thuyết

1. Phép chiếu song song

Định nghĩa 1.

Cho mặt phẳng (α) và một đường thẳng Δ cắt (α). Với mỗi điểm M trong không gian, đường thẳng đi qua M và song song với Δ cắt (α) tại điểm M′ xác định.

Điểm M′ được gọi là hình chiếu song song của điểm M trên mặt phẳng (α) theo phương Δ.

Mặt phẳng (α) được gọi là mặt phẳng chiếu, phương của Δ gọi là phương chiếu.

Phép đặt tương ứng mỗi điểm M với hình chiếu M′ của nó trên (α) được gọi là phép chiếu song song lên (α) theo phương Δ.

Định nghĩa 2.

Hình chiếu // của hình H là hình H’ gồm tất cả những điểm M’là hình chiếu của mọi điểm M$\in $H

Ta kí hiệu Ch_Δ,(α)(M)=M′.

Nếu

2. Các tính chất của phép chiếu song song

Định lý 1.

Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó.

Hệ quả:

a) Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, tia thành tia, đoạn thẳng thành đoạn thẳng.

b) Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.

c) Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc cùng nằm trên một đường thẳng.

$\frac{{AB}}{{CD}} = \frac{{A’B’}}{{C’D’}};\frac{{CD}}{{EF}} = \frac{{C’D’}}{{E’F’}}$

Đặc biệt:

Nếu đường thẳng d // phương chiếu Δ thì ảnh của d trên (α) là một điểm.

Thật vậy: Gọi m’, N’ lần lượt là hình chiếu của M, N trên (P). Vì M, M’, N, N’ thẳng hàng (do cùng thuộc d), mặt khác có $M’ = d \cap (P),N’ = d \cap (p) \Rightarrow N’ \equiv M’$.

3. Hình biểu diễn của một số hình không gian trên mặt phẳng

Hình biểu diễn của một hình H trong không gian là hình chiếu song song của hình H lên một mặt phẳng nào đó theo một phương chiếu nào đó hoặc hình đồng dạng với hình chiếu đó.

Chú ý:

a) Hình biểu diễn của hình bình hành nói chung là hình bình hành.

Trường hợp đặc biệt: Nếu mặt phẳng chứa hình bình hành // với phương chiếu thì hình biểu diễn của hình bình hành là một đoạn thẳng.

b) Hình biểu diễn của hình thang là một hình thang

Trường hợp đặc biệt: Nếu mặt phẳng chứa hình thang // với phương chiếu thì hình biểu diễn của nó là một đoạn thẳng.

c) Hình biểu diễn của hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông đều là hình bình hành.

Trường hợp đặc biệt: Nếu mặt phẳng chứa hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông // với phương chiếu thì hình biểu diễn của chúng là một đoạn thẳng.

Để chính xác hóa ta cần thêm các ký hiệu: Độ dài đoạn thẳng bằng nhau, góc vuông,…

d) Một tam giác bất kì đều có thể xem là hình biểu diễn của tam giác cân, tam giác vuông, tam giác đều

Để chính xác hóa ta cần thêm các ký hiệu: Độ dài đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau trong tam giác cân, đều; góc vuông trong tam giác vuông,…

e) Hình biểu diễn của một đường tròn là một đường elip hoặc một đường tròn.

Trường hợp đặc biệt: Nếu mặt phẳng chứa hình Elip // với phương chiếu thì hình biểu diễn của chúng là một đoạn thẳng.

Bài tập minh họa

Ví dụ 1:

Hình thang có thể là hình biểu diễn của một hình bình hành không.

Giải

Hình thang không thể coi là hình biểu diễn của hình bình hành vì hai cạnh bên của hình thang không song song còn cặp cạnh đối của hình bình hành thì song song ( tính song song không được bảo toàn).

Ví dụ 2:

Vẽ hình biểu diễn của tứ diện \(ABCD\) lên mặt phẳng \(\left( P \right)\)theo phương chiếu \(AB\)( \(AB\) không song song với \(\left( P \right)\)).

Giải

Vì phương chiếu \(l\) là đường thẳng \(AB\) nên hình chiếu của \(A\) và \(B\) chính là giao điểm của \(AB\) và \(\left( P \right)\).

Do đó \(AB \cap \left( P \right) = A’ \equiv B’\)

Các đường thẳng lần lượt đi qua \(C,D\) song song với \(AB\) cắt \(\left( P \right)\) tại \(C’,D’\)

thì \(C’,D’\) chính là hình chiếu của \(C,D\) lên \(\left( P \right)\) theo phương \(AB\).

Vậy hình chiếu của tứ diện \(ABCD\) là tam giác \(A’C’D’\).

Ví dụ 3:

Cho hình hộp \(ABCD.A’B’C’D’\). Xác định các điểm \(M,N\) tương ứng trên các đoạn \(AC’,B’D’\) sao cho \(MN\) song song với \(BA’\) và tính tỉ số \(\frac{{MA}}{{MC’}}\).

Giải

Xét phép chiếu song song lên mặt phẳng \(\left( {A’B’C’D’} \right)\) theo phương chiếu \(BA’\). Ta có \(N\) là ảnh của \(M\) hay \(M\) chính là giao điểm của \(B’D’\) và ảnh \(AC’\) qua phép chiếu này. Do đó ta xác định \(M,N\) như sau:

Trên \(A’B’\) kéo dài lấy điểm \(K\) sao cho \(A’K = B’A’\) thì \(ABA’K\) là hình bình hành nên \(AK//BA’\) suy ra \(K\) là ảnh của \(A\) trên \(AC’\) qua phép chiếu song song.

Gọi \(N = B’D’ \cap KC’\). Đường thẳng qua \(N\) và song song với \(AK\) cắt \(AC’\) tại \(M\). Ta có \(M,N\) là các điểm cần xác định.

Theo định lí Thales, ta có \(\frac{{MA}}{{MC’}} = \frac{{NK}}{{NC’}} = \frac{{KB’}}{{C’D’}} = 2\).

Ví dụ 4

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CD và CC’.

a. Xác định đường thẳng d qua M cắt AN và cắt A’B

b. Gọi E, F lần lượt là giao điểm của d với AN và A’b. Tính   $\frac{EM}{E\text{F}}$

Giải

a) Phân tích: Giả sử ta dựng được đường thẳng d thoả mãn yêu cầu bài toán tức là d  $\cap $ AN = E, d  $\cap $ A’B = F và d đi qua M.

+ Xét phép chiếu song song lên

mặt phẳng (ABCD) theo phương

 A’B. Khi đó 3 điểm M, E, F lần

lượt có hình chiếu là M, G, B suy

ra M, G, B thẳng hàng.

Gọi H là hình chiếu của N

suy ra AH là hình chiếu của AN.

 Vì E $\in $ AN nên G $\in $ AH

suy ra G = AH $\cap $BM.                                                                                      

          Lưu ý rằng A’B // D’C // NH

suy ra H $\in $  DC

     Cách dựng:

          + Kẻ NH // D’C, cắt DC tại H

          + Dựng G = AH$\cap $ BM

          + Trong mặt phẳng (ANH) kẻ GE //HN, E $\in $ AN.

          + Vẽ đường thẳng ME, đó là đường thẳng d cần tìm.

Dễ thấy d cắt A’B.

   b) + Ta có CM = CH   MH = CD = AB  $\to $ ABHM là hình bình hành $\to $ G là trung điểm của BM.

        + Mà GE // BF  $\to $ E là trung điểm của MF.

Vậy   $\frac{EM}{EF}=1$

Trắc nghiệm

Câu 1: Khẳng định nào sau đây là đúng.

A.  Hình biểu diễn của một hình bình hành là một hình bình hành.

B. Hình biểu diễn của một hình chữ nhật là một hình chữ nhật.

C. Hình biểu diễn của một hình vuông là một hình vuông.

D. Hình biểu diễn của một hình thoi là một hình thoi.

Câu 2: Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Phép chiếu song song biến trung điểm của đoạn thẳng thành trung điểm của đoạn thẳng hình chiếu.

B. Phép chiếu song song biến trọng tâm tam giác thành trọng tâm tam giác hình chiếu.

C. Phép chiếu song song biến tam của hình bình hành thành tâm của hình bình hành.

D. Phép chiếu song song có thể biến trọng tâm tam giác thành một điểm không phải là trọng tâm tam giác hình chiếu.

Câu 3: Cho tứ diện ABCD. M là trọng tâm của tam giác ABC. Hình chiếu song song của điểm M theo phương CD lên mặt phẳng (ABD) là điểm nào? 

A. Điểm A

B. Điểm B

C. Trọng tâm tam giác ABD

D.  Trung điểm của đường trung tuyến kẻ từ D của tam giác ABD

Câu 4: Mệnh đề nào sau đây đúng:

A. Hình chiếu song song của 2 đường thẳng chéo nhau có thể song song với nhau

B. Hình chiếu song song của 2 đường thẳng cắt nhauthì song song

C. Hình chiếu song song của 1 hình vuông là 1 hình vuông

D. Hình chiếu song song của 1 lục giác đề là 1 lục giác đều

Câu 5: Hình chiếu song song của 1 hình thang ABCD không thể là hình nào dưới đây?

A. Hình bình hành                                           B. Hình tam giác cân

C. Đoạn thẳng                                                  D. Bốn điểm thẳng hàng

Câu 6: Hình vẽ nào sau đây không phải là hình biểu diễn của hình chóp tứ giác S.ABCD?

Xem thêm:

• Hai đường thẳng song song.
• Đường thẳng song song mặt phẳng.
• Hai mặt phẳng song song.