Phương pháp chứng minh hai mặt phẳng song song

A. Phương pháp

– Bước 1: Tìm hai đường thẳng  a, b cắt nhau trong mặt phẳng (P)

– Bước 2: Lần lượt chứng minh a // (Q) và b // (Q)

– Bước 3: Kết luận (P)// (Q)

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1.

Cho hìh chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$, gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SA,SD$. Chứng minh $\left( OMN \right)//\left( SBC \right)$.

Giải

Ta có $M,O$ lần lượt là trung điểm của $SA,AC$ nên $OM$ là đường trung bình của tam giác $SAC$ ứng với cạnh $SC$do đó $OM\parallel SC$.

Vậy
$\left\{ \begin{array}{l}
OM\parallel SC\\
SC \subset \left( {SBC} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow OM\parallel \left( {SBC} \right){\rm{ }}\left( 1 \right).$

Tương tự, Ta có $N,O$ lần lượt là trung điểm của $SD,BD$ nên $ON$ là đường trung bình của tam giác $SBD$ ứng với cạnh $SB$do đó $OM//SB$.

Vậy
$\left\{ \begin{array}{l}
ON\parallel SB\\
SB \subset \left( {SBC} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow OM\parallel \left( {SBC} \right){\rm{ }}\left( 2 \right).$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta có

$\left\{ \begin{array}{l}
OM\parallel \left( {SBC} \right)\\
ON\parallel \left( {SBC} \right)\\
OM \cap ON = O
\end{array} \right. \Rightarrow \left( {OMN} \right)\parallel \left( {SBC} \right)$

Ví dụ 2.

Cho hai hình vuông $ABCD$ và $ABEF$ ở trong hai mặt phẳng phân biệt. Trên các đường chéo $AC$ và $BF$ lần lượt lấy các điểm $M,N$ sao cho $AM=BN$. Các đường thẳng song song với $AB$ vẽ từ $M,N$ lần lượt cắt $AD$ và $AF$ tại $M’$ và $N’$. Chứng minh:

a) $\left( ADF \right)\parallel \left( BCE \right)$.

b) $\left( DEF \right)\parallel \left( MM’N’N \right)$.

Giải

a) Ta có

$\left\{ \begin{array}{l}
AD\parallel BC\\
BC \subset \left( {BCE} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow AD\parallel \left( {BCE} \right)$

Tương tự

$\left\{ \begin{array}{l}
AF\parallel BE\\
BE \subset \left( {BCE} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow AF\parallel \left( {BCE} \right)$

Mà $\left\{ \begin{array}{l}
AD \subset \left( {ADF} \right)\\
AF \subset \left( {ADF} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow \left( {ADF} \right)\parallel {\mkern 1mu} \left( {BCE} \right).$

b) Vì $ABCD$ và $\left( ABEF \right)$ là các hìnhvuông nên $AC=BF\text{  }\left( 1 \right)$.

Ta có $MM’\parallel CD\Rightarrow \frac{AM’}{AD}=\frac{AM}{AC}\text{  }\left( 2 \right)$

$NN’\parallel AB\Rightarrow \frac{AN’}{AF}=\frac{BN}{BF}\text{   }\left( 3 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$,$\left( 2 \right)$ và $\left( 3 \right)$ta được $\frac{AM’}{AD}=\frac{AN’}{AF}\Rightarrow M’N’\parallel DF$

$\Rightarrow DF\parallel \left( MM’N’N \right)$.

Lại có $NN’\parallel AB\Rightarrow NN’\parallel EF\Rightarrow EF\parallel \left( MM’N’N \right)$. Vậy

$\left\{ \begin{array}{l}
DF\parallel \left( {MM’N’N} \right)\\
EF\parallel \left( {MM’N’N} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow \left( {DEF} \right)\parallel \left( {MM’N’N} \right)$

Ví dụ 3.

Cho hình chóp S.ABC. Các điểm I, J, K lần lượt là trọng tâm tam giác SAB, SBC, SCA. Chứng minh rằng: (IJK)//(ABC).

Giải

Gọi I’, J’, K’ lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng SI và AB, SJ và BC, SK và AC.Khi đó I’, J’, K’ lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA.

Ta có:

$\frac{{SI}}{{SI’}} = \frac{{SK}}{{SK’}} = \frac{{SJ}}{{SJ’}} = \frac{2}{3}$

=> IK//I’K’; KJ//K’J’

=> mp(IJK) // mp (I’J’K’)

Mặt khác: mp(I’J’K’)$ \equiv $ mp(ABC)

=> mp(IJK) // mp(ABC).

Ví dụ 4

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’.

a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (BDA’) và (B’D’C) song song với nhau.

b) Chứng minh rằng đường chéo AC’ đi qua trọng tâm G1 và G2 của hai tam giác BDA’ và B’D’C.

c) Chứng minh G1 và G2 chia đoạn thẳng AC’ thành ba phần bằng nhau.

Giải

a) Gọi $O,O’$ lần lượt là trọng tâm các mặt $ABCD$ và $A’B’C’D’$.

Dễ thấy $DBB’D’$ là hình bình hành nên $B’D’\parallel BD\subset \left( BDA’ \right)$

$\Rightarrow B’D’\parallel \left( BDA’ \right)\text{ }\left( 1 \right)$.

Tương tự $OCO’A’$ là hình bình hành nên $O’C//OA’\subset \left( A’BD \right)$

$\Rightarrow CO’\parallel \left( A’BD \right)\text{ }\left( 2 \right)$. Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right)$ suy ra $\left( A’BD \right)\parallel \left( CB’D’ \right)$.

b) Ta có $A’O$ là trung tuyến của tam giác $A’BD$ và $\frac{{{G}_{1}}O}{{{G}_{1}}A’}=\frac{OA}{A’C’}=\frac{1}{2}$ nên ${{G}_{1}}$ là trọng tâm của tam giác $A’BD$.

Tương tự ${{G}_{2}}$ cũng là trọng tâm của tam giác $CB’D’$.

c)Dễ thấy $O{{G}_{1}}$ và $O'{{G}_{2}}$ là đường trung bình của các tam giác $AC{{G}_{2}}$ và $A’C'{{G}_{1}}$ nên $A{{G}_{1}}={{G}_{1}}{{G}_{2}}={{G}_{1}}C’=\frac{1}{3}AC’$.

Lưu ý: Ta có thể chứng minh hai mặt phẳng (P)//(Q) bằng cách chứng minh (P), (Q) phân biệt và cùng song song với (R).

$\left\{ \begin{array}{l}
\left( \alpha \right)\parallel \left( \gamma \right)\\
\left( \beta \right)\parallel \left( \gamma \right)
\end{array} \right. \Rightarrow \left( \alpha \right)\parallel \left( \beta \right).$

3. Bài tập tự luyện

Bài tập 1: Cho mặt phẳng $(P)$ và điểm $A$ nằm ngoài $(P).$ Chứng minh rằng tất cả các đường thẳng qua $A$ và song song $(P)$ đều nằm trong mặt phẳng $(Q)$ qua $A$ và song song $(P).$

Bài tập 2: Cho hai mặt phẳng song song $(P)$ và $(Q).$ Hai đường thẳng song song $a$ và $b.$ Gọi $A$, $A’$ lần lượt là giao điểm của $a$ với $(P)$ và $(Q).$ Gọi $B$, $B’$ lần lượt là giao điểm của $b$ với $(P)$ và $(Q).$ Chứng minh $AA’ = BB’.$

Bài tập 3: Từ các đỉnh của tam giác $ABC$, vẽ các đoạn thẳng $AA’$, $BB’$, $CC’$ song song và bằng nhau không nằm trong mặt phẳng $(ABC).$ Gọi $I$, $G$, $K$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $ABC$, $ACC’$, $A’B’C’.$ Chứng minh:
a) Mặt phẳng $(IGK)$ song song mặt phẳng $(BB’C’C).$
b) Mặt phẳng $(A’GK)$ song song mặt phẳng $(AIB’).$

Bài tập 4: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Mặt phẳng $(P)$ cắt $SA$, $SB$, $SC$, $SD$ tại $A’$, $B’$, $C’$, $D’.$ Chứng minh $A’B’C’D’$ là hình bình hành khi và chỉ khi mặt phẳng $(P)$ song song mặt phẳng $(ABCD).$

Bài tập 5: Cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$ có tất cả các cạnh là hình vuông cạnh $a.$ Lấy $M$, $N$ trên $AD’$, $DB$ sao cho $AM = DN = x$ $(0 < x < a\sqrt 2 ).$
a) Chứng minh khi $x$ thay đổi thì $MN$ luôn song song mặt phẳng cố định.
b) Chứng minh khi $x = \frac{{a\sqrt 2 }}{3}$ thì $MN$ song song $A’C.$

Bài tập 6: Cho tứ diện $ABCD.$ Hai điểm $M$, $N$ di động trên $AB$ và $CD.$ Tìm tập hợp trung điểm $I$ của $MN.$

Bài tập 7: Cho hai tia $Ax$ và $By$ lần lượt nằm trên hai đường chéo nhau. Lấy $M$, $N$ trên $Ax$, $By$ sao cho $AM = BN = m.$ Chứng minh khi $m$ thay đổi thì $MN$ luôn song song một mặt phẳng cố định.

————

Xem thêm:


0 Bình luận

Trả lời

Avatar placeholder