Phương pháp giải bất phương trình có ẩn dưới dấu căn bậc hai thường gặp (bất phương trình vô tỷ)
I. Bất phương trình vô tỷ thường gặp
Dạng 1. $\sqrt[{2n + 1}]{{f(x)}} > \sqrt[{2n + 1}]{{g(x)}}$.
Phương pháp
$\sqrt[{2n + 1}]{{f(x)}} > \sqrt[{2n + 1}]{{g(x)}} \Leftrightarrow f(x) > g(x)$
Ví dụ
Giải bất phương trình: $\sqrt[3]{{{x^2} + x – 1}} > \sqrt[3]{{2 – x}}$.
Giải
$\begin{array}{l}
Bpt \Leftrightarrow \sqrt[3]{{{x^2} + x – 1}} > \sqrt[3]{{2 – x}}\\
\Leftrightarrow {x^2} + x – 1 > 2 – x\\
\Leftrightarrow {x^2} + 2x – 3 > 0\\
\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x < - 3}\\
{x > 1}
\end{array}} \right.
\end{array}$
Dạng 2. $\sqrt[{2n}]{{f(x)}} > \sqrt[{2n}]{{g(x)}}$
Phương pháp:
$\sqrt[{2n}]{{f(x)}} > \sqrt[{2n}]{{g(x)}} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{g(x) \ge 0}\\
{f(x) > g(x)}
\end{array}} \right.$
Ví dụ
Giải bất phương trình:$\sqrt {{x^2} + x – 1} > \sqrt {2 – x} $.
Giải
$\begin{array}{l}
Bpt \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + x – 1} > \sqrt {2 – x} \\
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{2 – x \ge 0}\\
{{x^2} + x – 1 > 2 – x}
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x \le 2}\\
{{x^2} + 2x – 3 > 0}
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x \le 2}\\
{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x < - 3}\\
{x > 1}
\end{array}} \right.}
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow x \in \left( { – \infty ; – 3} \right) \cup \left( {1;2} \right]
\end{array}$
Dạng 3. $\sqrt {f\left( x \right)} > g\left( x \right)$
Phương pháp giải
$\sqrt {f\left( x \right)} > g\left( x \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\left\{ \begin{array}{l}
g\left( x \right) < 0\\
f\left( x \right) \ge 0
\end{array} \right.}\\
{\left\{ \begin{array}{l}
g(x) \ge 0\\
f\left( x \right) > {g^2}\left( x \right)
\end{array} \right.}
\end{array}} \right.$
Ví dụ:
Giải bất phương trình: $4{{\left( x+1 \right)}^{2}}\ge \left( 2x+10 \right){{\left( 1-\sqrt{3+2x} \right)}^{2}}$.
Giải
ĐK: $x\ge -\frac{3}{2}$
$\begin{array}{l}
pt \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 1 \ge \left( {x + 5} \right)\left( {2 + x – \sqrt {3 + 2x} } \right)\
\Leftrightarrow (x + 5)\sqrt {3 + 2x} \ge 9 + 5x
\end{array}$ (1)
Với $x\ge -\frac{3}{2}$ hai vế (1) đều không âm nên ta bình phương 2 vế:
x3 – x2 – 5x – 3 $\ge 0$$\Leftrightarrow \left( x-3 \right){{\left( x+1 \right)}^{2}}\ge 0$
Xét dấu vế trái:
- $VT = 0 \Leftrightarrow x = – 1;x = 3$.
x | $ – \infty $ | -1 | 3 | $ + \infty $ | |
VT | – | 0 | – | 0 | + |
Vậy bất phương trình có nghiệm: $x \in \left[ {3; + \infty } \right) \cup { – 1} $
Ví dụ 2.
Giải bất phương trình sau: $\sqrt {2{x^2} – 3x + 1} \ge 2x + 1$.
Giải
$\begin{array}{l}
\sqrt {2{x^2} – 3x + 1} \ge 2x + 1\\
\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{2x + 1 < 0}\\
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{2x + 1 \ge 0}\\
{2{x^2} - 3x + 1 \ge {{\left( {2x + 1} \right)}^2}}
\end{array}} \right.}
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x < - \frac{1}{2}}\\
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x \ge - \frac{1}{2}}\\
{ - \frac{7}{2} \le x \le 0}
\end{array}} \right.}
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x < - \frac{1}{2}}\\
{ - \frac{1}{2} \le x \le 0}
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow x \le 0
\end{array}$
Vậy bất phương trình có nghiệm: $x \in \left( { – \infty ;0} \right]$
Dạng 4.$\sqrt {f\left( x \right)} \le g\left( x \right)$
Phương pháp
$\sqrt {f\left( x \right)} \le g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
f(x) \ge 0\\
g\left( x \right) \ge 0\\
f\left( x \right) \le {g^2}\left( x \right)
\end{array} \right.$
Ví dụ 1 :
Giải các bất phương trình sau : $\sqrt {x – 3} < 2x – 7$
Giải
$\begin{array}{l}
Bpt \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x – 3 \ge 0}\\
{x – 3 < {{\left( {2x - 7} \right)}^2}}
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x \ge 3}\\
{4{x^2} - 29x + 52 > 0}
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x \ge 3}\\
{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x > 4}\\
{x < \frac{{13}}{4}}
\end{array}} \right.}
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{3 \le x < \frac{{13}}{4}}\\
{x > 4}
\end{array}} \right.
\end{array}$
Vậy bất phương trình có nghiệm:$x \in \left[ {3;\frac{{13}}{4}} \right) \cup \left( {4; + \infty } \right)$.
Ví dụ 2.
Giải bất phương trình: $\sqrt {2{x^2} – 6x + 1} < x – 2$
Giải
$\begin{array}{l}
Bpt \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x – 2 > 0\\
2{x^2} – 6x + 1 \ge 0\\
2{x^2} – 6x + 1 < x - 2
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x > 2\\
\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x \le \frac{{3 – \sqrt 7 }}{2}}\\
{x \ge \frac{{3 + \sqrt 7 }}{2}}
\end{array}} \right.\\
– 1 < x < 3
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \frac{{3 + \sqrt 7 }}{2} \le x \le 3
\end{array}$
II. Luyện tập
Giải các bất phương trình sau:
$a)\sqrt[3]{{x + 3}} \ge \sqrt[3]{{3x – 1}}$
$b)\sqrt {x + 3} < \sqrt {{x^2} + 5x – 2} $
$c)\sqrt {{x^2} – 5x + 6} \ge 3x – 2$
$d)\sqrt {5x – 1} \le 3x + 1$
—————
0 Bình luận