Phương pháp giải phương trình có ẩn dưới dấu căn bậc hai

Kỹ thuật Hằng số biến thiên

Đặt vấn đề: Khi ra đề, người ra đề thường chọn phương trình có thể giải được bằng tích các nhân tử. Từ những phương trình tích, ví dụ: $\left( \sqrt{x+1}-1 \right)\left( \sqrt{x+1}-x+2 \right)=0. (1)$,$\left( \sqrt{2x+3}-x \right)\left( \sqrt{2x+3}-x+2 \right)=0. (2)$ thấy ngay cách trình bày lời giải rất thuận lợi.

Tuy nhiên dưới dạng khai triển việc định hướng cách giải lại vô cùng khó khăn.

Cụ thể:

$(1) \Leftrightarrow \left( {1 – x} \right)\sqrt {x + 1} = 1 – 2x. (1′)$

$(2)<=>2\left( {1 – x} \right)\sqrt {2x + 3} + {x^2} + 3 = 0. (2′)$

Để giải quyết loạt bài toán (1′) và (2′) này, ta quay lại phương trình đầu.

Cụ thể , với phương trình (1) ta đặt: $t = \sqrt {x + 1} ;t \ge 0$.

Khi đó phương trình có dạng: $(t – \alpha )(t – \beta ) = 0$.

Tương tự, với (2), ta có: $\left( {t – \lambda } \right)\left( {t – \gamma } \right) = 0;t = \sqrt {2x + 3} ;t \ge 0$.

Điều này có nghĩa, Phương trình bậc 2 ẩn t phải có biệt thức delta là số chính phương, $\left( {{\Delta _t} = {{(f(x) – a)}^2} \ge 0} \right)$.

Đây chính là nguồn gốc của phương pháp: Hằng số biến thiên.

Phương pháp: Hằng số biến thiên.

Bước 1. Đặt ẩn phụ $t = \sqrt {ax + b} ;t \ge 0$.

Bước 2. Tách hằng số tự do theo t và x.( Hằng số biến thiên theo t và x)

Bước 3. Đưa phương trình về bậc 2 ẩn t, tham số x. Tính delta theo x. Nếu delta là số chính phương thì phép phân tích thành công.

Bước 4. Giải t theo x và đưa về phương trình vô tỉ cơ bản.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1

Giải phương trình sau: $\sqrt {2 – x} = 2 – {x^2}. (1).$

Giải

ĐK:$x\le 2$

Đặt $t=\sqrt{2-x};t\ge 0\Leftrightarrow {{t}^{2}}=2-x\Leftrightarrow 2={{t}^{2}}+x$

Bình luận: Ta phân tích hằng số “2” theo t và x. Vậy “2” là “Hằng số biến thiên“.

$\begin{array}{l}
\left( 1 \right) \Leftrightarrow {t^2} – {x^2} + x – t = 0\\
\Leftrightarrow \left( {t – x} \right)\left( {t + x} \right) + x – t = 0\\
\Leftrightarrow \left( {t – x} \right)\left( {t + x – 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{t = x}\\
{t = 1 – x}
\end{array}} \right.\\
+ )t = x \Leftrightarrow \sqrt {2 – x} = x\\
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x \ge 0}\\
{{x^2} + x – 2 = 0}
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x \ge 0}\\
{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 1}\\
{x = – 2}
\end{array}} \right.}
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow x = 1\\
+ )t = 1 – x \Leftrightarrow \sqrt {2 – x} = 1 – x\\
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x \le 1}\\
{2 – x = {{\left( {1 – x} \right)}^2}}
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x \le 1}\\
{{x^2} – x – 1 = 0}
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x \le 1}\\
{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}}\\
{x = \frac{{1 – \sqrt 5 }}{2}}
\end{array}} \right.}
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow x = \frac{{1 – \sqrt 5 }}{2}
\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm: $x = 1;x = \frac{{1 – \sqrt 5 }}{2}$

Ví dụ 2

Giải phương trình: $\left( {2 + x} \right)\sqrt {{x^2} + 2} = {x^2} + 3x – 1. (2)$

Giải

Đặt: $t = \sqrt {{x^2} + 2} ;t \ge 0$

Khi đó: $t = \sqrt {{x^2} + 2} \Leftrightarrow {t^2} = {x^2} + 2 \Leftrightarrow – 1 = {t^2} – {x^2} – 3$

Phương trình $(2) \Leftrightarrow {t^2} – \left( {2 + x} \right)t – 3 + 3x = 0$

Ta có: $\Delta = {\left( {2 + x} \right)^2} – 4\left( { – 3 + 3x} \right) $$= {x^2} – 8x + 16 = {\left( {x – 4} \right)^2} \ge 0$

Suy ra phương trình có nghiệm: $t = 3;t = x – 1$

*$t = 3 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 2} = 3 \Leftrightarrow {x^2} = 7 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 7 $

$\begin{array}{l}
*t = x – 1\\
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x \ge 1}\\
{\sqrt {{x^2} + 2} = {{\left( {x – 1} \right)}^2}}
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x \ge 1}\\
{x = \frac{1}{2}}
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow x = \phi
\end{array}$

Vạy phương trình có nghiệm: $x = \pm \sqrt 7 $

Ví dụ 3

Giải phương trình: $\left( {x + 1} \right)\sqrt {{x^2} – 2x + 3} = {x^2} + 1$. (3)

Giải

Điều kiện: $x \in R$

Đăt: $\begin{array}{l}
t = \sqrt {{x^2} – 2x + 3} ;t \ge 0\\
\Leftrightarrow {t^2} = {x^2} – 2x + 3\\
\Leftrightarrow 1 = {t^2} – {x^2} + 2x – 2
\end{array}$

$\begin{array}{l}
(3) \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)t = {x^2} + \left( {{t^2} – {x^2} + 2x – 2} \right)\\
\Leftrightarrow {t^2} – \left( {x + 1} \right)t + 2x – 2 = 0
\end{array}$

$\Delta = {\left( {x + 1} \right)^2} – 4(2x – 2) = {x^2} – 6x + 9 = {(x – 3)^2} \ge 0$

Phương trình $(3) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{t = 2}\\
{t = x – 1}
\end{array}} \right.$

$\begin{array}{l}
*t = 2 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} – 2x + 3} = 2\\
\Leftrightarrow {x^2} – 2x – 1 = 0\\
\Leftrightarrow x = 1 \pm \sqrt 2
\end{array}$

$\begin{array}{l}
*t = x – 1\\
\Leftrightarrow \sqrt {{x^2} – 2x + 3} = x – 1\\
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x \ge 1}\\
{{x^2} – 2x + 3 = {{(x – 1)}^2}}
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow x = \phi
\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm: $x = 1 \pm \sqrt 2 $

————————-

Download tài liệu:

PDF: tại đây.

Word: Tại đây.

————————–

Xem thêm:

———————-