Phương pháp giải phương trình lượng giác-Phương pháp tổng bình phương

Phương pháp giải phương trình lượng giác-Phương pháp tổng bình phương

Phương pháp tổng quát: ${{\rm{A}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}\,{{\rm{B}}^{\rm{2}}} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\rm{A}}\,{\rm{ = }}\,{\rm{0}}\\
{\rm{B}}\,{\rm{ = }}\,{\rm{0}}
\end{array} \right.$

Hệ quả: $\sum\limits_{{\rm{i = 1}}}^{\rm{n}} {{{\rm{f}}_i}\left( x \right)} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {{\rm{f}}_1}\left( x \right) = 0\\ {{\rm{f}}_{\rm{2}}}\left( x \right) = 0\\ ….\\ {{\rm{f}}_n}\left( x \right) = 0 \end{array} \right.$ Với : ${{\rm{f}}_i}\left( x \right) \ge 0,i = \overline {1,n} $.

Bài toán 1:

Giải phương trình: ${x^2} + 2x\sin \left( {xy} \right) + 1 = 0\left( 1 \right)$

Giải

${x^2} + 2x\sin \left( {xy} \right) + 1 = 0\left( 1 \right)$

$ \Leftrightarrow {\left[ {x + \sin \left( {xy} \right)} \right]^2} + {\cos ^2}x = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x + 1 = 0\\
\sin \left( {xy} \right) = 1
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x – 1 = 0\\
\sin \left( {xy} \right) = – 1
\end{array} \right.
\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x = – 1\\
y = – \frac{\pi }{2} + k2\pi
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x = 1\\
y = – \frac{\pi }{2} + l \in
\end{array} \right.
\end{array} \right.$

Với: \(\left( {k,l \in R} \right)\)

Bài 2. Giải phương trình: $3{\tan ^2}x + 4{\sin ^2}x – 2\sqrt 3 \tan x – 4\sin x + 2 = 0$.

Giải

$3{\tan ^2}x + 4{\sin ^2}x – 2\sqrt 3 \tan x – 4\sin x + 2 = 0$

$ \Leftrightarrow 3{\tan ^2}x – 2\sqrt 3 \tan x + 1 + 4{\sin ^2}x – 4\sin x + 1 = 0$

$ \Leftrightarrow {(\sqrt 3 \tan x – 1)^2} + {(2\sin x – 1)^2} = 0$

$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt 3 \tan x – 1 = 0\\
2\sin x – 1 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\tan x = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\\
\sin x = \frac{1}{2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{6} + m\pi \\
x = \frac{\pi }{6} + 2n\pi
\end{array} \right.\left( {m,n \in Z} \right)
\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm: $x = \frac{\pi }{6} + 2k\pi $; $(k \in Z)$.

—————

Xem thêm:

• Phương trình lượng giác cơ bản
• Phương trình lượng giác thường gặp-Phần 1.
• Phương trình lượng giác thường gặp-Phần 2.
• Phương trình lượng giác- Phương pháp nhóm nhân tử chung.
• Phương trình lượng giác- Phương pháp đặt ẩn phụ.
• Phương trình lượng giác- Phương pháp bất đẳng thức.
• Phương trình lượng giác-Phương pháp tổng bình phương.