Phần 1. GTLN-GTNN của hàm số không tham số

Dạng 1. Tìm Max-Min khi biết đồ thị hàm số

Ví dụ 1.

Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ -1;3 \right]$ và có đồ thị như hình vẽ bên.

Gọi $M$ và $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn $\left[ -1;3 \right]$. Giá trị của $M-m$ bằng

A. $1$                            

B. $4$                          

C. $5$                          

D. $0$

Hướng dẫn và Lời giải

Chọn C

Dựa và đồ thị suy ra $M=f\left( 3 \right)=3;\,\,\,m=f\left( 2 \right)=-2$

Vậy $M-m=5$

Ví dụ 2.

Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$ có đồ thị như hình vẽ bên.

Tìm giá trị nhỏ nhất $m$ và giá trị lớn nhất $M$ của hàm số $y=f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ -2\,;\,2 \right]$.

A. $m=-5\,;\,M=-1$.      

B. $m=-2\,;\,M=2$.     

C. $m=-1\,;\,M=0$.     

D. $m=-5\,;\,M=0$.

Hướng dẫn và Lời giải

Chọn A

Nhìn vào đồ thị ta thấy:

$M=\underset{\left[ -2\,;\,2 \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)=-1$ khi $x=-1$ hoặc $x=2$.

$m=\underset{\left[ -2\,;\,2 \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)=-5$ khi $x=-2$ hoặc $x=1$.

Dạng 2. Tìm max-Min khi biết bảng biến thiên

Ví dụ 1.

Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ -3;2 \right]$ và có bảng biến thiên như sau.

Gọi $M,\,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ -1;\,2 \right]$. Tính $M+m$.

A. $3$.                           

B. $2$.                         

C. $1$.                         

D. $4$.

Hướng dẫn và Lời giải

Trên đoạn $\left[ -1;\,2 \right]$ ta có giá trị lớn nhất $M=3$ khi $x=-1$ và giá trị nhỏ nhất $m=0$ khi $x=0$.

Khi đó $M+m=3+0=3$.

Ví dụ 2.

Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, có bảng biến thiên như hình sau:

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. Hàm số có hai điểm cực trị.

B. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng $2$ và giá trị nhỏ nhất bằng $-3$.

C. Đồ thị hàm số có đúng một đường tiệm cận.

D. Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $\left( -\infty ;-1 \right),\,\,\left( 2;+\infty  \right)$.

Hướng dẫn và Lời giải

Chọn B

Dựa vào BBT ta thấy hàm số không có GTLN, GTNN.

Dạng 3. Tìm max-Min trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$

Ví dụ 1.

Giá trị lớn nhất của hàm số $f(x)=-{{x}^{4}}+12{{x}^{2}}+1$ trên đoạn $\left[ -1;2 \right]$bằng:

A. $1$.                           

B. $37$.                       

D. $33$.                       

D. $12$.

Lời giải

Chọn C

$f(x)=-{{x}^{4}}+12{{x}^{2}}+1$ liên tục trên $\left[ -1;2 \right]$

$f'(x) = – 4{x^3} + 24{x^2} = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} }\\ {x = \sqrt 6 {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (L)}\\ {x = – \sqrt 6 {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (L)} \end{array}} \right.$

Ta có:

$f(-1)=12;f(2)=33;f(0)=1$

Vậy: giá trị lớn nhất của hàm số $f(x)=-{{x}^{4}}+12{{x}^{2}}+1$ trên đoạn $\left[ -1;2 \right]$bằng 33 tại $x=2$

Ví dụ 2.

Giátrị nhỏ nhất của hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}-24x$ trên đoạn $\left[ 2;19 \right]$ bằng

A. $32\sqrt{2}$.             

B. $-40$.                      

C. $-32\sqrt{2}$.         

D. $-45$.

Lời giải

Chọn C.

Ta có ${f}’\left( x \right)=3{{x}^{2}}-24=0$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 2\sqrt 2 \in \left[ {2;19} \right]\\ x = – 2\sqrt 2 \notin \left[ {2;19} \right] \end{array} \right.$

$f\left( 2 \right)={{2}^{3}}-24.2=-40$;$f\left( 2\sqrt{2} \right)={{\left( 2\sqrt{2} \right)}^{3}}-24.2\sqrt{2}=-32\sqrt{2}$; $f\left( 19 \right)={{19}^{3}}-24.19=6403$.

Vậy giátrị nhỏ nhất của hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}-24x$ trên đoạn $\left[ 2;19 \right]$ bằng $-32\sqrt{2}$.

Ví dụ 3.

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $f\left( x \right)=\sin x+\cos 2x$ trên $\left[ 0;\pi  \right]$ là

A. $\frac{9}{8}$.           

B. $\frac{5}{4}$.         

C. $2$.                         

D. $1$.

Lời giải

Chọn A

$f\left( x \right)=\sin x+\cos 2x$$=\sin x+1-2{{\sin }^{2}}x$

Đặt $\sin x=t$ $\left( 0\le t\le 1 \right)$

$f\left( t \right)=-2{{t}^{2}}+t+1$, ${f}’\left( t \right)=-4t+1$

${f}’\left( t \right)=0$$\Leftrightarrow t=\frac{1}{4}$

$f\left( 0 \right)=1$, $f\left( 1 \right)=0$, $f\left( \frac{1}{4} \right)=\frac{9}{8}$

Vậy $\underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)=\frac{9}{8}$.

Ví dụ 4.

Giá trị lớn nhất của hàm số $y=2\cos x-\frac{4}{3}c\text{o}{{\text{s}}^{3}}x$ trên $\left[ 0;\pi  \right]$.

A. $\underset{\left[ 0;\pi  \right]}{\mathop{m\text{ax}}}\,y=\frac{2}{3}$.      

B. $\underset{\left[ 0;\pi  \right]}{\mathop{m\text{ax}}}\,y=\frac{10}{3}$.                         

C. $\underset{\left[ 0;\pi  \right]}{\mathop{m\text{ax}}}\,y=\frac{2\sqrt{2}}{3}$.                        

D. $\underset{\left[ 0;\pi  \right]}{\mathop{m\text{ax}}}\,y=0$.

Lời giải

Chọn C

Đặt: $t=\cos x$$\Rightarrow t\in \left[ -1;1 \right]$ $\Rightarrow y=2t-\frac{4}{3}{{t}^{3}}$.

$y’=2-4{{t}^{2}}$$y’=0$ .

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{{ – 1}}{{\sqrt 2 }} \in \left[ { – 1;1} \right]\\ x = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \in \left[ { – 1;1} \right] \end{array} \right.$

Tính:$y\left( -1 \right)=\frac{-2}{3}$, $y\left( \frac{-1}{\sqrt{2}} \right)=\frac{-2\sqrt{2}}{3}$, $y\left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)=\frac{2\sqrt{2}}{3}$, $y\left( 1 \right)=\frac{2}{3}$. Vậy: $\underset{\left[ 0;\pi  \right]}{\mathop{m\text{ax}}}\,y=\frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Dạng 4. Tìm max-Min trên khoảng $\left( {a;b} \right)$

Ví dụ 1.

Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=3x+\frac{4}{{{x}^{2}}}$ trên khoảng $\left( 0;+\infty  \right)$.

A. $\underset{\left( 0;+\infty  \right)}{\mathop{\min }}\,y=\frac{33}{5}$      

B. $\underset{\left( 0;+\infty  \right)}{\mathop{\min }}\,y=2\sqrt[3]{9}$                             

C. $\underset{\left( 0;+\infty  \right)}{\mathop{\min }}\,y=3\sqrt[3]{9}$                             

D. $\underset{\left( 0;+\infty  \right)}{\mathop{\min }}\,y=7$

Lời giải

Chọn C

Cách 1:

$y=3x+\frac{4}{{{x}^{2}}}=\frac{3x}{2}+\frac{3x}{2}+\frac{4}{{{x}^{2}}}\ge 3\sqrt[3]{\frac{3x}{2}.\frac{3x}{2}.\frac{4}{{{x}^{2}}}}=3\sqrt[3]{9}$

Dấu $”=”$ xảy ra khi $\frac{3x}{2}=\frac{4}{{{x}^{2}}}\Leftrightarrow x=\sqrt[3]{\frac{8}{3}}$.

Vậy $\underset{\left( 0;+\infty  \right)}{\mathop{\min }}\,y=3\sqrt[3]{9}$

Cách 2:

Xét hàm số $y=3x+\frac{4}{{{x}^{2}}}$ trên khoảng $\left( 0;+\infty  \right)$

Ta có $y=3x+\frac{4}{{{x}^{2}}}\Rightarrow y’=3-\frac{8}{{{x}^{3}}}$

Cho $y’=0\Leftrightarrow \frac{8}{{{x}^{3}}}=3\Leftrightarrow {{x}^{3}}=\frac{8}{3}\Leftrightarrow x=\sqrt[3]{\frac{8}{3}}$

$\Rightarrow \underset{\left( 0;+\infty  \right)}{\mathop{\min }}\,y=y\left( \sqrt[3]{\frac{8}{3}} \right)=3\sqrt[3]{9}$

Ví dụ 2.

Gọi $m$ là giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=x+\frac{4}{x}$ trên khoảng $\left( 0;+\infty  \right)$. Tìm $m$.

A. $m=3$.                      

B. $m=4$.                    

C. $m=2$.                   

D. $m=1$.

Lời giải

Chọn B

Cách 1:

Hàm số $y=x+\frac{4}{x}$ liên tục và xác định trên $\left( 0;+\infty  \right)$.

Ta có

$y’ = 1 – \frac{4}{{{x^2}}} = \frac{{{x^2} – 4}}{{{x^2}}} \Rightarrow y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 2 \in \left( {0; + \infty } \right)\\ x = – 2 \notin \left( {0; + \infty } \right) \end{array} \right.$

Bảng biến thiên

Vậy giá trị nhỏ nhất là $m=4$ khi $x=2.$

Cách 2:

Với $x\in \left( 0;\,+\infty  \right)\Rightarrow x;\,\frac{4}{x}>0.$ Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: $x+\frac{4}{x}\ge 2\sqrt{x.\frac{4}{x}}=4.$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

$\left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ x = \frac{4}{x} \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2.$

Vậy $m=4$ khi $x=2.$

Phần 2. Giải toán ứng dụng Max-Min

Dạng 1. Điều kiện tham số để hàm số bậc 1/bậc 1 đơn điệu trên khoảng $\left( {a;b} \right)$.

Phương pháp

Xét hàm số nhất biến $y=f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}\cdot $

– Bước 1. Tập xác định: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -\frac{d}{c} \right\}\cdot $

– Bước 2. Tính đạo hàm ${y}’={f}'(x)=\frac{a.d-b.c}{{{(cx+d)}^{2}}}\cdot $

+ Để $f(x)$ đồng biến trên $D\Leftrightarrow {y}’={f}'(x)>0,\text{ }\forall x\in D\Leftrightarrow a.d-b.c>0\Rightarrow m\text{ }?$

+ Để $f(x)$ nghịch biến trên $D\Leftrightarrow {y}’={f}'(x)<0,\text{ }\forall x\in D\Leftrightarrow a.d-b.c<0\Rightarrow m\text{ }?$

Ví dụ 1.

Cho hàm số $f\left( x \right)=\frac{mx-4}{x-m}$ ($m$ là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left( 0\,;\,+\infty  \right)$?

A. $5$.                           

B. $4$.                         

C. $3$.                         

D. $2$.

Lời giải

Chọn D

Tập xác định $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ m \right\}$.

Đạo hàm ${f}’\left( x \right)=\frac{-{{m}^{2}}+4}{{{\left( x-m \right)}^{2}}}$.

Hàm số đồng biến trên $\left( 0\,;\,+\infty  \right)$ khi và chỉ khi

$f’\left( x \right) > 0{\mkern 1mu} ;\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – {m^2} + 4 > 0\\ m \notin \left( {0{\mkern 1mu} ;{\mkern 1mu} + \infty } \right) \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – 2 < m < 2\\ m \le 0 \end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow – 2 < m \le 0$

Do $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m=\left\{ -1\,;\,0 \right\}$. Vậy có hai giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn đề bài.

Ví dụ 2.

Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y=\frac{x+4}{x+m}$ đồng biến trên khoảng $\left( -\infty \,;\,-7 \right)$ là

A. $\left[ 4\,;\,7 \right)$. 

B. $\left( 4\,;\,7 \right]$.                                    

C. $\left( 4\,;\,7 \right)$.                                       

D. $\left( 4\,;\,+\infty  \right)$.

Lời giải

Chọn B

Tập xác định: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -m \right\}$.

Ta có: ${y}’=\frac{m-4}{{{\left( x+m \right)}^{2}}}$. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left( -\infty \,;\,-7 \right)$ $\Leftrightarrow {y}’>0$, $\forall x\in \left( -\infty \,;\,-7 \right)$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m – 4 > 0\\ – m \notin \left( { – \infty \,;\, – 7} \right) \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m > 4\\ – m \ge – 7 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m > 4\\ m \le 7 \end{array} \right. \Leftrightarrow 4 < m \le 7$

Dạng 2. Hàm đa thức bậc 3 Đồng biến-Nghịch biến trên $\left( {a;b} \right)$.

Phương pháp:

Xét hàm số bậc ba $y=f(x)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d.$

– Bước 1. Tập xác định: $D=\mathbb{R}.$

– Bước 2. Tính đạo hàm ${y}’={f}'(x)=3a{{x}^{2}}+2bx+c.$

+ Để f(x) đồng biến trên $\mathbb{R}\Leftrightarrow$

$y’ = f'(x) \ge 0,{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {a_{f'(x)}} = 3a > 0\\ {\Delta _{f'(x)}} = 4{b^2} – 12ac \le 0 \end{array} \right. \Rightarrow m{\rm{ }}?$

+ Đề  nghịch biến trên $\mathbb{R}$ $ \Leftrightarrow y’ = f'(x) \le 0,\forall x \in \mathbb{R}$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {a_{f'(x)}} = 3a < 0\\ {\Delta _{f'(x)}} = 4{b^2} - 12ac \le 0 \end{array} \right. \Rightarrow m{\rm{ }}?$

Ví dụ 1.

Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+\left( 4-m \right)x$ đồng biến trên khoảng $\left( 2;+\infty  \right)$ là

A. $\left( -\infty ;1 \right]$                                   

B. $\left( -\infty ;4 \right]$      

C. $\left( -\infty ;1 \right)$                            

D. $\left( -\infty ;4 \right)$

Lời giải

Chọn B

Ta có.

${{y}^{‘}}=3{{x}^{2}}-6x+4-m$.$ycbt\Leftrightarrow {{y}^{‘}}\ge 0,\forall x\in \left( 2;+\infty  \right)$

$\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-6x+4-m\ge 0,\forall x\in \left( 2;+\infty  \right)$$\Leftrightarrow m\le 3{{x}^{2}}-6x+4,\forall x\in \left( 2;+\infty  \right)$

$\Leftrightarrow m\le \underset{\left( 2;+\infty  \right)}{\mathop{\min }}\,g\left( x \right)$ với $g\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6x+4$

Ta có.

${{g}^{‘}}\left( x \right)=6x-6$

${{g}^{‘}}\left( x \right)=0\Leftrightarrow 6x-6=0\Leftrightarrow x=1$

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra: $m\le 4$ thỏa yêu cầu bài toán.

Vậy: $m\in \left( -\infty ;4 \right]$ thì hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 2;+\infty  \right)$.

Ví dụ 2.

Tập hợp tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+\left( 5-m \right)x$ đồng biến trên khoảng $\left( 2;+\infty  \right)$ là

A. $\left( -\infty ;2 \right)$.                                  

B. $\left( -\infty ;5 \right)$.     

C. $\left( -\infty ;5 \right]$.                           

D. $\left( -\infty ;2 \right]$.

Lời giải

Chọn C

Ta có ${y}’=3{{x}^{2}}-6x+5-m$.

Hàm số đã cho đồng biến trên $\left( 2;+\infty  \right)$ khi và chỉ khi ${y}’\ge 0,\forall x\in \left( 2;+\infty  \right)$

$\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-6x+5-m\ge 0,\forall x>2\Leftrightarrow m\le 3{{x}^{2}}-6x+5,\forall x>2$.

Xét hàm số $f\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6x+5$ trên khoảng $\left( 2;+\infty  \right)$.

Có ${f}’\left( x \right)=6x-6$, ${f}’\left( x \right)=0\Leftrightarrow 6x-6=0\Leftrightarrow x=1\text{ (lo}{}^\text{1}\text{i)}$.

Bảng biến thiên

Từ bàng biến thiên ta có $m\le 3{{x}^{2}}-6x+5,\forall x>2$$\Leftrightarrow m\le 5$.

Vậy $m\in \left( -\infty ;5 \right]$.

Ví dụ 3.

Tìm $m$ để hàm số $y=-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+3mx+m-1$ nghịch biến trên $\left( 0;+\infty  \right)$.

A. $m\le -1$.                  

B. $m\le 1$.                 

C. $m<1$.                    

D. $m>-1$.

Lời giải

Chọn A

Ta có ${y}’=-3{{x}^{2}}+6x+3m=3\left( -{{x}^{2}}+2x+m \right)$.

Vì hàm số liên tục trên nửa khoảng $\left[ 0;+\infty  \right)$ nên hàm số nghịch biến trên $\left( 0;+\infty  \right)$ cũng tương đương hàm số nghịch trên $\left[ 0;+\infty  \right)$ khi chỉ khi ${y}’\le 0,\,\,\forall x\in \left[ 0,+\infty  \right)$.

$ \Leftrightarrow – {x^2} + 2x + m \le 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} ;\forall x \in \left[ {0; + \infty } \right)$

$ \Leftrightarrow m \le {x^2} – 2x = f\left( x \right){\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} ;\forall x \in \left[ {0; + \infty } \right)$

$ \Leftrightarrow m \le \mathop {\min f\left( x \right)}\limits_{\left[ {0; + \infty } \right)} {\mkern 1mu} = f\left( 1 \right) = – 1$

Phần 3. GTLN-NN hàm ẩn -Hàm hợp

Ví dụ 1.

Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$, đồ thị của hàm số $y={f}’\left( x \right)$ như hình vẽ.

Giá trị lớn nhất của hàm số $y=f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ -1;2 \right]$ là

A.$f\left( 1 \right)$ .          

B.$f\left( { – 1} \right)$ .      

C. $f\left( 2 \right)$.       

D.$f\left( 0 \right)$ .

Lời giải

$f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = – 1}\\ {x = 1}\\ {x = 2} \end{array}} \right.$

Từ đồ thị hàm $y={f}’\left( x \right)$ ta có bảng biến thiên

Từ đó suy ra giá trị lớn nhất của hàm số trên $ \left[ -1;\,2 \right]$ là $f\left( 1 \right)$.

Ví dụ 2.

Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình dưới đây.

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $g\left( x \right)$=$f\left( 4x-{{x}^{2}} \right)$+$\frac{1}{3}{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+8x+\frac{1}{3}$ trên đoạn $\left[ 1\,;\,3 \right]$.

A. 15.                             

B.$\frac{{25}}{3}$ .           

C.$\frac{{19}}{3}$ .           

D. 12.

Lời giải

${g}’\left( x \right)$=$\left( 4-2x \right)$;${f}’\left( 4x-{{x}^{2}} \right)$+${{x}^{2}}-6x+8$=$\left( 2-x \right)$$\left[ 2{f}’\left( 4x-{{x}^{2}} \right)+4-x \right]$.

Với $x\in \left[ 1\,;\,3 \right]$ thì $4-x>0$; $3\le 4x-{{x}^{2}}\le 4$ nên ${f}’\left( 4x-{{x}^{2}} \right)>0$.

Suy ra $2{f}’\left( 4x-{{x}^{2}} \right)$+4-x>0, $ \forall x\in \left[ 1\,;\,3 \right]$.

Bảng biến thiên

Suy ra $\mathop {\max }\limits_{\left[ {1{\kern 1pt} ;{\kern 1pt} 3} \right]} {\mkern 1mu} g\left( x \right) = g\left( 2 \right) = f\left( 4 \right) + 7 = 12$.

——————————–