Phương pháp khoảng (trục số) xét dấu biểu thức đại số một ẩn

I. Quy tắc xét dấu $\frac{{f(x)}}{{g(x)}}$

Xét dấu biểu thức: $h(x) = \frac{{f(x)}}{{g(x)}}$.

Trong đó:

  • $f(x) = a{x^n} + {a_1}{x^{n – 1}} + … + {a_n};\forall n \in N$ .
  • $ g(x) = {b}{x^n} + {b_1}{x^{n – 1}} + … + {b_m};\forall m \in N$ .

Ta gọi:

  • $\alpha $ là nghiệm bội n nếu $\alpha $ là nghiệm của f(x) và ${\left( {x – \alpha } \right)^n}$.
  • $\alpha $ là nghiệm bội m của mẫu nếu $\alpha $ là nghiệm của g(x) và ${\left( {x – \alpha } \right)^m}$
  • $\alpha $ là nghiệm bội n+m nếu $\alpha $ là nghiệm chung của f(x) và g(x) và $\frac{{{{\left( {x – \alpha } \right)}^n}}}{{{{\left( {x – \alpha } \right)}^m}}}$.

Quy tắc dấu

Bước 1. Xác định $\frac{a}{b}$.

Bước 2. Tìm nghiệm tử: $f(x) = 0$.

Bước 3. Tìm nghiệm mẫu: $g(x) = 0$ .

Bước 4. Giả sử các nghiệm: ${x_1} < {x_2} < … < {x_m}$. Sắp xếp các nghiệm theo thứ tự tăng dần trên trục số.

Bước 5. Xác định giá trị của h(x) tại các nghiệm xi; i=1; 2;..; m.Với chú ý: Tử bằng 0 và mẫu khác 0 thì h(x)=0. Nếu mẫu bằng 0 thì h(x) không xác định.

Bước 6. Xét dấu h(x) theo trình tự sau:

+ Khoảng từ nghiệm lớn nhất xm đến $ + \infty $, tức là khoảng:$\left( {{x_m}; + \infty } \right)$ h(x) luôn cùng dấu với $\frac{a}{b}$.

+ Dấu h(x) trên các khoảng còn lại:

  • Nếu nghiệm tử hoặc nghiệm mẫu hoặc nghiệm chung của tử và mẫu có bội chẵn thì hai khoảng kề với nghiệm đó Không đổi dấu.
  • Nếu nghiệm tử hoặc nghiệm mẫu hoặc nghiệm chung của tử và mẫu có bội chẵn thì hai khoảng kề với nghiệm đó đổi dấu.

Dấu h(x) thường có dạng như sau:

x$ – \infty $x1x2xn$ + \infty $
h(x)||0+||+

II. Chứng minh

Định nghĩa:

$f(x) = {a_0}{x^n} + {a_1}{x^{n – 1}} + … + {a_n};\forall n \in N$ gọi là đa thức đại số một ẩn. Trong đó x là ẩn (biến); ${a_i}$ với $i = 0;1;2;…;n$ gọi là các hệ số của đa thức; ${a_0} \ne 0$ gọi là hệ số bậc cao nhất của đa thức.

Bổ đề 1:

Cho $f(x) = a(x – {\alpha _1})\left( {x – {\alpha _2}} \right)…(x – {\alpha _m})$ và ${\alpha _1} < {\alpha _2} < … < {\alpha _m}$ thì:

  • f(x) cùng dấu a với mọi x thuộc $\left( {{\alpha _m}; + \infty } \right)$.
  • Các khoảng kề nhau thì trái dấu nhau.
Chứng minh
a)Trên khoảng: $\left( {{\alpha _m}; + \infty } \right)$.

Ta có:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x > {\alpha _1}}\\
{x > {\alpha _2}}\\
{…}\\
{x > {\alpha _m}}
\end{array}} \right.$

$ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x – {\alpha _1} > 0}\\
{x – {\alpha _2} > 0}\\
{…}\\
{x – {\alpha _m} > 0}
\end{array}} \right.$

$(x – {\alpha _1})\left( {x – {\alpha _2}} \right)…(x – {\alpha _m}) > 0$

Suy ra:

  • Nếu a>0 thì f(x)>0
  • Nếu a<0 thì f(x)<0

Vậy f(x) cùng dấu a với mới mọi x thuộc $\left( {{\alpha _m}; + \infty } \right)$.

$a.f(x) > 0;\forall x \in \left( {{\alpha _m}; + \infty } \right)$
b) Trong các khoảng $\forall x \in \left( {{\alpha _{m – 1}};{\alpha _m}} \right)$
Ta chứng minh trên khoảng $\forall x \in \left( {{\alpha _{m – 1}};{\alpha _m}} \right)$ thì f(x) trái dấu a.

Thật vậy:

$\forall x \in \left( {{\alpha _{m – 1}};{\alpha _m}} \right)$

Ta có:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x > {\alpha _1}}\\
{x > {\alpha _2}}\\
{…}\\
\begin{array}{l}
x > {\alpha _{m – 1}}\\
x < {\alpha _m} \end{array} \end{array}} \right.$

$ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x – {\alpha _1} > 0}\\
{x – {\alpha _2} > 0}\\
{…}\\
\begin{array}{l}
x – {\alpha _{m – 1}} > 0\\
x – {\alpha _m} < 0 \end{array} \end{array}} \right.$

$ \Rightarrow (x – {\alpha _1})\left( {x – {\alpha _2}} \right)…(x – {\alpha _{m – 1}})(x – {\alpha _m}) < 0$

Suy ra:

  • Nếu a>0 thì f(x) <0
  • Nếu a<0 thì f(x) >0.

Vậy: f(x) trái dấu với a trên khoảng $\forall x \in \left( {{\alpha _{m – 1}};{\alpha _m}} \right)$ . Nói cách khác f(x) đổi dấu khi qua xm.

c) Các khoảng còn lại chứng minh tương tự.

Bổ đề 2:

Giả sử $f(x) = a{(x – {\alpha 1})^{{p_1}}}{\left( {x – {\alpha _2}} \right)^{{p_2}}}…{(x – {\alpha _m})^{{p_n}}}$; ${\alpha _1} < {\alpha _2} < … < {\alpha _m}$ thì:

  • f(x) cùng dấu a với mọi x thuộc $\left( {{\alpha _m}; + \infty } \right)$.
  • Nếu ${p_i} = 2n;\forall i = 1;2;…;m.\forall n \in N$ thì các khoảng $({ \alpha _{i – 1}}; { \alpha _i})$ và khoảng $({ \alpha _i};{ \alpha _{i + 1}})$ không đổi dấu.
  • Nếu ${p_i} = 2n+1;\forall i = 1;2;…;m.\forall n \in N$ thì các khoảng $({ \alpha _{i – 1}}; – { \alpha _i})$ và khoảng $({ \alpha _i};{ \alpha _{i + 1}})$ đổi dấu.
Chứng minh

Thật vậy:

Trên khoảng $\left( {{\alpha _m}; + \infty } \right)$. Xem chứng minh bổ đề 1.

Trên các khoảng còn lại. Ta lưu ý:

Vì ${{{\left( {x – {\alpha _i}} \right)}^{2n}} \ge 0,\forall i = 1;2;…;m.\forall n \in N}$. Do đó hai khoảng kề với nghiệm xi f(x) không đổi dấu.

Vì ${{{\left( {x – {\alpha _i}} \right)}^{2n + 1}} = {{\left( {x – {\alpha _i}} \right)}^{2n}}\left( {x – {\alpha _i}} \right)}$. Do vậy f(x) đổi dấu khi qua xi.

Bổ đề 3:

Mọi đa thức f(x) đều phân tích được dưới dạng: $f(x) = a{(x – {\alpha _1})^{{p_1}}}{\left( {x – {\alpha _2}} \right)^{{p_2}}}…{(x – {\alpha _m})^{{p_n}}}.g(x)$. trong đó: $g(x) = {x^n} + {a_1}{x^{n – 1}} + … + {a_n}>0$ ; $\forall x \in R$; $\forall n \in N$.

Bổ đề 4.

Mọi bất phương trình:
$\frac{{a\left( {x – {\alpha _1}} \right)\left( {x – {\alpha _2}} \right)…\left( {x – {\alpha _m}} \right)}}{{b\left( {x – {\beta _1}} \right)\left( {x – {\beta _2}} \right)…\left( {x – {\beta _n}} \right)}} > 0$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\frac{a}{b}\left( {x – {\alpha _1}} \right)\left( {x – {\alpha _2}} \right)…\left( {x – {\alpha _m}} \right)\left( {x – {\beta _1}} \right)\left( {x – {\beta _2}} \right)…\left( {x – {\beta _n}} \right) > 0}\\
{x \ne {\beta _1};x \ne {\beta _2};…;x \ne {\beta _n}}
\end{array}} \right.$

III. Thực hành

Xem bài Giải bất phương trình giải bằng phương pháp khoảng.

—————–